2026届高三二轮高效复习主题巩固卷数学概率统计中的递推关系含解析

[课下巩固检测练(三十六)]概率统计中的递推关系(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)1.A，B，C，D四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从A开始，5次传球后球回到A手中，则不同的传球方法种数为()A.24 B.60C.92 D.144解析：选B.设有k个人A1，A2，…，Ak互相传球，从A1开始，每人每次可以把球传给其他任何一个人，设第n(n≥2)次传球后球回到A1手中的方法有an种，则第(n－1)次传球后球回到A1手中的方法有an－1种，且易知a2＝k－1，则第(n－1)次传球后，共有(k－1)n若此时球在A1手中，则第n次传球，球不可能回到A1手中，故数列{an}的递推关系式为an＝(k－1)n－1－an－1(n≥3)所以a2＝3，a3＝(4－1)3－1－a2＝6，a4＝(4－1)4－1－a3＝21，a5＝(4－1)5－1－a4＝60.2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成()A.10块 B.11块C.15块 D.16块解析：选D.设n刀最多能将饼切成an块，前n－1刀我们已经得到an－1块，对于第n刀，要使切出的块数最多，则这一刀的刀痕必须与前n－1刀的刀痕都相交，在此刀痕上有n－1个交点，则最多增加n块，从而得到递推公式为an＝an－1＋n从而累加得到an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋2＝1＋n(n+1)2.当n＝5时，3.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为13.记第n次推送时不购买此商品的概率为Pn，当n≥2时，Pn≤M恒成立，则M的最小值为A.97132 B.C.97120 D.解析：选A.由题意知，根据第(n－1)次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率，第n次(n≥2)推送时不购买此商品的概率Pn＝34Pn－1＋23(1－P所以Pn－811＝1由题意知P1＝911，则P1－811＝所以Pn－811是首项为111所以Pn－811＝111×即Pn＝811＋111×显然数列{Pn}递减，所以当n≥2时，Pn≤P2＝811＋111×112所以M的最小值为971324.甲、乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得－1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令Pi表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则P1＝()A.55－355C.2×555解析：选C.由题意可知，i的取值集合为{0，1，2，3，4，5，6}，且P0＝0，P6＝1，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.5P2，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.2P1，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为0.3P0，根据全概率公式可得P1＝0.5P2＋0.2P1＋0.3P0，整理得P2＝85P1－35P变形得P2－P1＝35(P1－P0)因为P1－P0＞0，则P2－P同理可得P3－P2P2－P1所以{Pi+1－Pi}(i＝0，1，2，…，5)是公比为3所以Pi+1－Pi＝35i(P1－P0)(i＝0，1，2，…各项求和得∑i=15(Pi+1则P6－P1＝(P1－P0)·35即1－P1＝P1·35－3561－5.(多选)水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制(即先赢2局者胜)，首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.以下说法正确的是()A.在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量X，则PX＝2B.记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量Y，则PY＝3C.甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为1D.记事件Cn＝“第n轮甲轮空”，则PCn＝13解析：选ACD.对于A，在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜两局包括两类互斥的事件：①第一、二局甲全胜；②甲在第一和第三局胜或者在第二和第三局胜，故PX=2＝(12)2＋2×(12对于B，依题意，易得PY=3＝(12)3＝18≠对于C，设Ai＝“甲在第i轮获胜”，依题，甲在第三轮获胜包括甲在第一、二、三轮均胜；或者第一轮输，第三轮胜两类情况.则甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为P(A2｜A3)＝P(A2A3)P(A3)对于D，因Cn＝(Cn－1Cn)∪(Cn－1Cn)，且Cn－1Cn与Cn由全概率公式，P(Cn)＝P(Cn－1Cn)＋P(Cn－1Cn)＝P(Cn－1)P(Cn｜Cn－1)＋P(Cn－1)P(Cn｜Cn－1)＝12(故P(Cn)－13＝－12［P(Cn－1)－13］，又P(C1)则{P(Cn)－13}组成一个首项为－13，公比为－1于是，P(Cn)－13＝－13×(－12)n－1，即P(Cn)＝16.(多选)投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的“射”就是指“投壶”这个游戏.现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶.无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为23，乙每次投壶的命中率均为12，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为12，则A.第3次投壶的人是甲的概率为43B.在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为21C.前4次投壶中甲只投1次的概率为1D.第10次投壶的人是甲的概率为35－110解析：选ABD.设第i次投壶的人是甲为事件Ai，第i次投壶的人是乙为事件Bi.因为PAi＝23PAi－1＋12[1－P(Ai－1)]，所以PAi所以PAi－35＝16PAi－1－35，而PA1＝所以PAi－35是首项为－1所以PAi－35＝－110×16i－1，所以PA对于A，PA3＝35－110×162＝35－1360＝215对于D，PA10＝35－110×169对于B，PA3B1＝12×12×12＋12×12×23＝724，故P对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为P＝12×13×12×12＋12×12×13×12＋12×12×12×13＋127.若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在3次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是.解析：每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，记事件Ai＝“第i次运动后停留在下底面”，则Ai＝“第i次运动后停留在上底面”，i＝1，2，…，n，…设P(An)＝an，则P(An)＝1－an，则P(An＋1)＝P(An)·P(An＋1｜An)＋P(An)P(An＋1｜A所以an＋1＝23an＋13(1－an)，即an＋1＝13an＋13，整理可得an＋1－12＝13(由a1＝23，a1－12＝16，即{an－12}是首项为16则an－12＝16·(13)n－1，即a故n＝3时a3＝16·(13)2答案：148.(2025·福建福州模拟)在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格O出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边(如第1次运动，机器人可以运动到Q1，Q2，Q3或Q4).若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为.解析：如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2025次后机器人在O处的概率为an，在①处的概率为bn，在②处的概率为cn，在③处的概率为dn.则cn＝14bn－1，dn＝12bn－1，an＝14bn－1，bn＝14cn－1＋12dn－1＋将cn＝14bn－1，dn＝12bn－1，an＝14bn－1代入到bn＝14cn－1＋12dn－1＋an－1中，得bn＝9又由题意得b1＝1，b2＝0，则bn＝9所以b2025＝9161012＝342024，则a2025＝14b2024＝0，c2025＝14b2024＝0，d2所以概率P＝a2025＋b2025＋c2025＋d2025＝34答案：39.(2025·河北廊坊高三期末)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第i(i∈N*)次投篮的人是甲的概率是.解析：记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，设P(Ai)＝pi，则P(Bi)＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1｜Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1｜Bi)，于是pi＋1＝0.8pi＋(1－0.6)(1－pi)＝0.4pi＋0.4，即pi＋1－23＝25(pi－2由p1＝12，得p1－23＝－16，因此数列{pi－23}是首项为－16则pi－23＝－16·(25)i－1，即p所以第i次投篮的人是甲的概率为23－16·答案：23－1610.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题(即每名同学至少答对1题).若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为.解析：记答题的两位同学答对的题数分别为x1，y1，则x1，y1∈{1，2，3，4，5，6}，当x1，