2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第7章微点探索 子数列问题

第七章数列微点探索子数列问题

1.掌握子数列问题的核心类型(奇偶项问题、公共项问题、增减项问题).2.将原数列转化为子数列问题一般适用于由几个有规律的数列组合而成的数列，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化.重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1奇偶项问题数列中的奇、偶项问题的常见题型(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或anan＋1＝f(n)).(2)含有(－1)n的类型.(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型.注意：对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求S2k－1.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝24－8＝8；当n≥2时，由Sn＝2n＋3－8，得Sn－1＝2n＋2－8，两式相减，得an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n＋2＝2n＋2.因为a1＝8＝21＋2，所以an＝2n＋2.(2025·河南安阳模拟)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且bn∈N*，若a1＝b2＝2，a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3＋b4＝15.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设由{an}，{bn}的公共项构成的新数列记为{cn}，求数列{cn}的前5项和S5.考法2公共项问题

(2025·湖北宜昌模拟)已知{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1.(1)证明{bn－n}是等比数列，并求{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{an}与{bn}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn.解：(1)由题意可得an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，而b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1，变形可得bn＋1－(n＋1)＝3bn－3n＝3(bn－n)，又b1－1＝3，故{bn－n}是首项为3，公比为3的等比数列，从而bn－n＝3n，即bn＝3n＋n(n∈N*).考法3增减项问题(2025·安徽芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*).(1)求{an}的通项公式；(2)保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55.解：(1)由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4，则a2＝2a1，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差、等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点公共项问题增减项问题奇偶项问题公共项问题增减项问题公共项问题增减项问题公共项问题增减项问题连续k项子数列问题一、单项选择题1.(2026·河南焦作期末)已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝4n－3，bn＝5n－4，由{an}，{bn}的公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则c100＝(

)A.1941 B.1961C.1981 D.2001解析：由题意，可知数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，数列{bn}是首项为1，公差为5的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的数列{cn}是首项为1，公差为20的等差数列，故c100＝1＋(100－1)×20＝1981.故选C.2.(2026·湖北武汉模拟)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，则不等式Pn≥2025的解集为(

)A.{n|n≥10，n∈N*} B.{n|n>10，n∈N*}C.{n|n>11，n∈N*} D.{n|n≥9，n∈N*}解析：数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，经第(n＋1)次“和扩充”后增加的项数为Pn－1，则Pn＋1＝Pn＋(Pn－1)＝2Pn－1，整理得Pn＋1－1＝2Pn－2＝2(Pn－1)，其中数列a，b，c经过1次“和扩充”后，得到a，a＋b，b，b＋c，c，P1＝5，P1－1＝4，因此{Pn－1}是首项为4，公比为2的等比数列，Pn－1＝4×2n－1＝2n＋1，Pn＝2n＋1＋1，则2n＋1＋1≥2025，即2n＋1≥2024，又n∈N*，解得n≥10，所以不等式Pn≥2025的解集为{n|n≥10，n∈N*}.故选A.6.(2026·广东深圳阶段练习)设所有被3除余2的自然数从小到大构成数列{an}，所有被4除余1的自然数从小到大构成数列{bn}，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2025，n∈N*}中元素的个数为______.169四、解答题7.(2025·湖北武汉模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－1(n∈N*)，bn＝log2(an－1).(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原来的顺序构成数列{cn}，求数列{cn}的前50项和S50.8.(2026·河南新乡月考)在数列{an}中，已知a1＝3，an＋1＝4an＋3n－1.(1)证明数列{an＋n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2n－1，若数列{an}与{bn}的公共项为bm，记m由小到大排列构成数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)由an＋1＝4an＋3n－1，得an＋1＋n＋1＝4(an＋n)，又a1＋1＝4≠0，所以数列{an＋n}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an＋n＝4×4n－1＝4n，所以an＝4n－n，即数列{an}的通项公式为an＝4n－n.10.(2025·湖南湘潭适应性联考)已知k为正整数且k≥2，d为非零实数，数列{an}满足a1＝1，且a1，a2，…，ak是公差为1的等差数列，ak，ak＋1，…，a2k是公差为d的等差数列，a2k，a2k＋1，…，a3k是公差为d2的等差数列，以此类推.(1)当k＝10，a20＝40时，求d；(2)求a3k的最小值(用含k的代数式表示)；(3)记n