2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第11章微点探索 概率与数列、导数的交汇

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布微点探索概率与数列、导数的交汇

1.能将概率递推关系转化为等差或等比数列模型，能完整完成“概率建模→构建递推关系→数列求解→概率解释”的全流程.2.能将概率问题中“变量变化引发的概率或期望变化”转化为函数关系，并利用导数解决“概率优化”问题．重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1概率与数列的交汇考法2概率与导数的交汇概率与统计中涉及概率或数字特征的最值问题，通常先提炼信息，建立函数模型或概率模型，然后再求导，利用函数的单调性求解．

(2026·山西大学附属中学高三阶段练习)“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动．某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B，C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至抽到写有B或C的卡片为止，在该顾客最后一次抽到的是写有C的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率；课时作业中档题(占比30%)拔高题(占比70%)题号1234难度★★★★★★★★★★★考点概率与数列的交汇概率与导数的交汇概率与数列的交汇概率与导数的交汇；超几何分布1.(2025·湖北黄冈二模)在某场乒乓球比赛中，甲、乙两名运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10∶10，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利．已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6.比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为p(0<p<0.8)．记甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为pn.(1)求甲以12∶10的比分赢得比赛的概率；(2)求pn与pn＋1的关系；(3)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6，求p的取值范围．(参考知识：当c∈(0，1)时，若n→＋∞，则cn→0)解：(1)记“第一球比赛甲运动员获胜”为事件A，“第二球比赛甲运动员获胜”为事件B，由题意知P(B|A)＝0.8，且P(A)＝0.6，可知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.48，即甲以12∶10的比分赢得比赛的概率为0.48.(2)由甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为pn，知乙运动员在第n球比赛中获胜的概率为1－pn，所以pn＋1＝0.8pn＋p(1－pn)＝(0.8－p)pn＋p，即pn＋1＝(0.8－p)pn＋p.解：(1)乙在第二题得分的事件是甲在第一题答对、第二题答错的事件与甲在第一题答错、乙在第二题答对的事件和，所以乙在第二题得分的概率为p(1－p)＋(1－p)q＝(1－p)(p＋q)．4．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]．根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值大于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品．现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．(2)(ⅰ)从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为X′，求X′的分布列和数学期望；(ⅱ)该企业为节省生产成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装．已知一