2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第1章第1讲 集合

第一章集合与常用逻辑用语第1讲

集合1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．集合的概念(1)集合中元素的三个特征：________、_________、_________．(2)元素与集合的关系是_____或_______两种，用符号___或____表示．(3)集合的表示法：________、________、________．(4)常见数集的记法确定性集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号_________________________________互异性无序性属于不属于∈

列举法描述法图示法NN*(或N＋)ZQR

表示关系文字语言符号语言相等构成两个集合的元素是______________且______⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素_____________真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉A____________结论空集是______集合的子集，是__________集合的真子集∅⊆A∅

B(B≠∅)一样的A⊆BB⊆AA⊆B或B⊇AA

B或B

A任何任何非空并集交集补集图形符号A∪B＝_________________A∩B＝________________∁UA＝___________________{x|x∈A，或x∈B}3.集合的基本运算{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}重点考法突破考法1

集合的概念、集合中元素的特性(1)(2025·广东清远模拟)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a＋b，a∈A，b∈B}中的元素个数为(

)A．3 B．4C．5 D．6(2)(2026·海南海口阶段练习)已知集合M＝{1,m+2,m2+4}，且5∈M，则m的值为_______．解析：由题意，可得m＋2＝5或m2＋4＝5，解得m＝3或m＝1或m＝－1.当m＝3时，M＝{1，5，13}，符合题意；当m＝1时，M＝{1，3，5}，符合题意；当m＝－1时，M＝{1，1，5}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．综上可得，m＝3或m＝1.3或1理解集合的概念的两个关注点(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合．(2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么．注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．1.(2025·内蒙古包头二模)已知集合M＝{2，3，4}，N＝{x|x<3}，若T＝{x|x∈M，且x∉N}，则T＝(

)A．{4} B．{3，4}C．{2} D．{2，4}解析：因为M＝{2，3，4}，N＝{x|x<3}，所以T＝{x|x∈M，且x∉N}＝{3，4}．故选B.(2026·四川成都诊断考试)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}的关系是(

)A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆MC．S⊆P＝M D．P＝M⊆S考法2

集合间的基本关系判断两集合间关系的三种方法解析：对于①，因为0是{0}的元素，所以0∈{0}，故①正确；对于②，因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}，故②正确；对于③，因为集合{0，1}的元素为0，1，集合{(0，1)}的元素为(0，1)，两个集合的元素不相同，所以{0，1}，{(0，1)}之间不存在包含关系，故③错误；对于④，因为集合{(a，b)}的元素为(a，b)，集合{(b，a)}的元素为(b，a)，两个集合的元素不一定相同，所以{(a，b)}，{(b，a)}不一定相等，故④错误．故选B.{x|1≤x≤5}(答案不唯一)(1)(2026·江西抚州模拟)已知集合M满足{1，2，3}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，那么这样的集合M的个数为(

)A．4 B．5C．7 D．8考法3

子集个数问题解析：因为集合M满足{1，2，3}⊆M，所以1∈M，2∈M，3∈M，又集合M满足M⊆{1，2，3，4，5}，所以集合M有{1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，4，5}，共4个．故选A.求解子集个数的两种方法(1)列举法：逐一列举出满足条件的集合即可．(2)公式法：若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.1.(2026·河北承德模拟)集合M＝{a，b，c，d，e}的子集中，不含元素a的非空真子集共有(

)A．14个 B．15个C．16个 D．31个2．(2026·河南开封摸底考试)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合A＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则集合A的子集的个数为______．解析：因为定义集合A＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，且P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，又0＋1＝1，0＋2＝2，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋3＝5，所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5，共5个，所以集合A的子集的个数为25＝32.32(1)(2025·新课标Ⅱ卷，3)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(

)A．{0，1，2} B．{1，2，8}C．{2，8} D．{0，1}考法4

集合的交、并、补运算(2)设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(

)A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM)C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN)集合交、并、补运算的策略(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．1.(2025·天津卷，1)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(

)A．{1，2，3，4} B．{2，3，4}C．{2，4} D．{4}(1)(2026·湖南娄底模拟)已知集合A＝{2a＋3}，B＝{1，a2}，若A⊆B，则a＝(

)A．－1 B．3C．－1或3 D．1考法5

集合中的求参数问题(2)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围为(

)A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)集合中求参数问题的解题策略及注意事项(1)根据两集合的关系或运算结果求参数时，将问题转化为方程或不等式的求解问题，注意集合中元素的互异性和端点值能否取到．(2)涉及集合之间的关系时，要考虑空集的情况，分类进行讨论．1.(2026·湖南株洲开学摸底)已知集合A＝{1，a}，B＝{－1，a2}，若A∩B＝{a}，则实数a的取值集合为(

)A．{0} B．{－1，0}C．{0，1} D．{－1，0，1}2．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为_____________________．(1)(2025·吉林部分重点中学二模)设全集U＝Z，集合A＝{－1，0，1}，B＝{x∈N||x|≤2}，则图中阴影部分表示的集合是(

)A．{1} B．{－1，2}C．{0，1} D．{－1，0，2}考法6

Venn图、有交叉的计数问题解析：因为B＝{x∈N||x|≤2}，所以B＝{0，1，2}，因为A＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2}，又阴影部分表示的集合是{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，则图中阴影部分表示的集合是{－1，2}．故选B.(2)(2026·四川成都模拟)某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14，10.若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是(

)A．4 B．5C．16 D．15解析：设仅第一天开车上班的职工人数为a，仅第二天开车上班的职工人数为b，两天都开车上班的职工人数为x，则由图可知a＋x＋b＋x＝14＋10，a＋b＋x＝20，两式相减，得x＝4，所以a＋b＝16.故选C.解决Venn图、有交叉的计数问题的策略(1)当集合的运算比较复杂或比较抽象时，画Venn图将题中文字信息转化到图形中解决．(2)利用容斥定理解决计数问题时，常用到以下公式：①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．1.(2026·河北衡水模拟)已知集合M＝{x|x(x－2)＜0}，N＝{x|x－1＜0}，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合{x|1≤x＜2}的是(

)解析：因为x(x－2)＜0⇔0＜x＜2，所以M＝{x|0＜x＜2}，x－1＜0⇔x＜1，所以N＝{x|x＜1}．对于A，阴影部分表示M∩N＝{x|0＜x＜1}，故A不符合题意；对于B，阴影部分表示在M中把M∩N去掉后余下的部分，为{x|1≤x＜2}，故B符合题意；对于C，阴影部分表示在N中把M∩N去掉后余下的部分，为{x|x≤0}，故C不符合题意；对于D，阴影部分表示M∪N＝{x|x＜2}，故D不符合题意．故选B.2．(2026·重庆八中高三阶段考试)求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社、动漫社和地理社最受欢迎，某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的学生有(

)A．16人 B．18人C．20人 D．24人解析：设参加心理社的学生构成集合A，参加地理社的学生构成集合B，参加动漫社的学生构成集合C，则card(A∪B∪C)＝35，card(A∩B∩C)＝0，card(A)＝19，card(B)＝16，card(C)＝15，card(A∩B)＝6，card(B∩C)＝5，由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，得35＝19＋16＋15－6－5－card(A∩C)，解得card(A∩C)＝4，所以只参加了一个社团的学生有19－(4＋6)＋16－(6＋5)＋15－(4＋5)＝20(人)．故选C.课时作业基础题(占比70%)中档题(占比20%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点补集运算集合中元素的特性并集运算交集、补集运算集合间的基本关系利用Venn图进行集合的基本运算子集个数问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★考点Venn图、有交叉的计数问题集合相等集合的综合应用集合的概念、集合中元素的特性集合的概念、集合中元素的特性交集、并集、补集运算集合中的求参数问题一、单项选择题1．(2025·新课标Ⅰ卷，2)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中的元素个数为(

)A．0 B．3C．5 D．8解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，则∁UA中的元素个数为5.故选C.2．(2026·湖北武汉二中模拟)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为(

)A．3 B．1C．－3 D．－1解析：若a＝1，则2a－1＝1，不满足集合元素的互异性；若2a－1＝1，则a＝1，不满足集合元素的互异性，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍去)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，M中所有元素之和为－3.故选C.3．(2026·甘肃白银模拟)已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则A∪B＝(

)A．{x|x>－2} B．{x|x<2}C．{x|－2<x<1} D．{x|－2<x<2}解析：由题意得B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，所以A∪B＝{x|x<2}．故选B.4．(2025·江苏泰州二模)已知全集U＝{x|0≤x≤5，x∈N}，集合A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，则A∩(∁UB)＝(

)A．{2，3} B．{2，4}C．{0，4} D．{3，5}解析：由题意，得U＝{0，1，2，3，4，5}，则∁UB＝{0，2，3，4}，所以A∩(∁UB)＝{2，3}．故选A.5．(2025·浙江杭州二模)集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}，则(

)A．A⊆B B．B⊆AC．A＝B D．A∩B＝A解析：因为A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}＝{x|x＝3×2k－1，k∈Z}，所以B⊆A.故选B.6．(2025·广东珠海模拟)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是(

)A．{1，3，4} B．{2，3，5}C．{2，6} D．{1，6}解析：M＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，则题图中阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)＝{1，6}．故选D.7．(2025·河南南阳三模)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{y|y＝x2－x－6，x∈M}，则集合N的真子集个数为(

)A．7 B．8C．15 D．16解析：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，则N＝{y|y＝x2－x－6，x∈M}＝{－6，－4，0}，所以集合N的真子集个数为23－1＝7.故选A.8．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(

)A．最多人数是55 B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携