2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第3章微点探索 嵌套函数的零点问题

第三章函数微点探索嵌套函数的零点问题1.理解嵌套函数的含义及类型，能正确识别嵌套函数的定义域、值域、对应关系.2.会用“换元解套”的方法将复杂函数拆解为两个简单函数，借助函数的图象与性质求解.3.体会数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想在解题中的应用．重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1

内外自复合型f(f(x))的零点问题7

y＝f(f(x))型函数零点问题的求解思路(1)将“内层函数”换元，即设f(x)＝t.(2)根据题设条件解出相应t的值或范围．(3)利用函数f(x)或利用函数y＝f(x)与y＝t的图象关系解决问题．解析：设t＝f(x)，则f(f(x))＝f(t)＝3.①当t<a时，f(f(x))＝f(t)＝t2－2t＋3＝3，解得t＝f(x)＝0或t＝f(x)＝2，因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，3x>0，故不可能有t＝f(x)＝0，从而只能是t＝f(x)＝2有唯一的解，这就要求t＝f(x)＝2<a，当x<a时，t＝f(x)＝2＝x2－2x＋3，解得x＝1<2<a；当x≥a时，t＝f(x)＝2＝3x，解得x＝log32<2<a，这与x≥a矛盾，此时实数a的取值范围是(2，＋∞)；②当t≥a时，f(f(x))＝f(t)＝3t＝3，解得t＝f(x)＝1，这就要求t＝f(x)＝1≥a，由于x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>1，故只能是t＝f(x)＝3x＝1，x≥a，解得x＝0，这就要求x＝0≥a，此时实数a的取值范围是(－∞，0]．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]∪(2，＋∞)．(－∞，0]∪(2，＋∞)

(2026·陕西安康模拟)奇函数f(x)和偶函数g(x)的图象分别如图1、图2所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的实根个数分别为a，b，则a＋b＝(

)A．3 B．7C．10 D．14考法2内外双函数复合型f(g(x))的零点问题解析：结合函数f(x)的图象可知f(g(x))＝0中，令g(x)＝t，则f(t)＝0，故t1＝－1，t2＝0，t3＝1，结合g(x)的图象可知，g(x)＝－1的根为0，g(x)＝0有2个根，g(x)＝1无解，故f(g(x))＝0有3个解，故a＝3；g(f(x))＝0中，令f(x)＝u，则g(u)＝0有2个根，不妨设u1∈(－1，0)，u2∈(0，1)，当u1∈(－1，0)，即f(x)∈(－1，0)时，f(x)＝u1有2个解，当u2∈(0，1)，即f(x)∈(0，1)时，f(x)＝u2有2个解，故g(f(x))＝0有4个解，即b＝4.综上，a＋b＝3＋4＝7.故选B.

y＝f(g(x))型函数零点问题的求解思路(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)．(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)．(3)确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.注意：若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于g(x)的方程f(g(x))＝0中g(x)解的个数，再根据个数与g(x)的图象特点，分配每个函数值gi(x)被几个x所对应，从而确定gi(x)的取值范围，进而确定参数的范围．解析：由题可得函数f(x)的图象如图所示．在g(f(x))＝0中，令f(x)＝k.当k＝0或2<k<3时，f(x)＝k有2个解；当0<k<1时，f(x)＝k有4个解；当1≤k≤2时，f(x)＝k有3个解；当k≥3时，f(x)＝k有1个解．因为g(x)＝x2－ax＋1＝0最多有2个解．因此，要使y＝g(f(x))有6个零点，则g(x)＝x2－ax＋1＝0有2个解，设为k1，k2，则存在下列两种情况：①f(x)＝k1有2个解，

f(x)＝k2有4个解，即k1＝0或2<k1<3，0<k2<1，显然g(0)≠0，则此时应满足考法3二次型a[f(x)]2＋bf(x)＋c的零点问题解析：由题意，令[f(x)]2－5f(x)＋6＝0，解得f(x)＝2或f(x)＝3，作出函数f(x)的图象，如图，由图可知，直线y＝2与函数f(x)的图象有3个交点，直线y＝3与函数f(x)的图象有4个交点，所以方程[f(x)]2－5f(x)＋6＝0有7个解，即函数y＝[f(x)]2－5f(x)＋6有7个零点．故选C.a[f(x)]2＋bf(x)＋c型函数零点问题的求解思路(1)若表达式可以因式分解，先进行因式分解，得到两个关于f(x)的方程，再作图分析所求函数的零点个数或参数范围问题．(2)若表达式不易因式分解，则先换元，令u＝f(x)，根据题中已知条件判断关于u的二次方程的根的个数，再结合图象进行求解．解析：令u＝f(x)，作出函数f(x)的大致图象，当x≠1时，f(2－x)＝lg|2－x－1|＝lg|1－x|＝lg|x－1|＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0恰有5个不同的实数根，则关于u的方程u2＋bu＋c＝0恰有两根，设为u1，u2，且必有一根为1，设u2＝1，设方程u1＝f(x)的两根分别为x1，x2，且x1<x2，则x1＋x2＝2，令lg|x－1|＝1，解得x＝－9或x＝11，又因为f(1)＝1，不妨设x3＝－9，x4＝11，x5＝1，所以x3＋x4＋x5＝－9＋11＋1＝3，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5，因此f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝f(5)＝lg4＝2lg2.故选B.课时作业题号12345难度★★★★★★★★★考点内外自复合型f(f(x))的零点问题二次型a[f(x)]2＋bf(x)＋c的零点问题内外自复合型f(f(x))的零点问题内外双函数复合型f(g(x))的零点问题二次型a[f(x)]2＋bf(x)＋c的零点问题题号678910难度★★★★★★★★★★★★考点二次型a[f(x)]2＋bf(x)＋c的零点问题内外双函数复合型f(g(x))的零点问题内外自复合型f(f(x))的零点问题内外双函数复合型f(g(x))的零点问题二次型a[