2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第2章第1讲 不等式的性质、一元二次不等式

第二章一元二次函数、方程和不等式第1讲

不等式的性质、一元二次不等式1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．不等式的性质(1)对称性：__________．(2)传递性：______________．(3)可加性：a>b⇔a＋c___b＋c；a>b，c>d⇒____________．(4)可乘性：a>b，c>0⇒_______；a>b，c<0⇒_______；a>b>0，c>d>0⇒________．(5)可乘方性：a>b>0⇒______(n∈N，n≥2)．a>b⇔b<aa>b，b>c⇒a>c>a＋c>b＋dac>bcac<bcac>bdan>bn2．有关倒数的性质(1)a>b，ab>0⇒_______；a>b，ab<0⇒_______．(2)a>b>0，0<c<d⇒______．(3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒__________．3．糖水不等式(1)糖水不等式定理：若a＞b＞0，m＞0，则一定有___________，通俗的理解：a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖(假设全部溶解)，则糖水更甜．(2)糖水不等式的倒数形式：设a＞b＞0，m＞0，则有__________．4．三个“二次”之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有________实根x1，x2(x1<x2)有_______实根x1＝x2＝

_______实数根两相异两相等没有一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集__________________________________一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集____________________{x|x<x1，或x>x2}R{x|x1<x<x2}∅∅重点考法突破考法1

不等式的性质及应用(3)已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．(3，8)1．比较两个实数大小的依据2.求解不等式性质问题的注意点(1)两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除．(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，注意建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，利用待定系数法求解．3．利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(x，y)<N1，M2<f2(x，y)<N2，求g(x，y)的取值范围．(1)设g(x，y)＝pf1(x，y)＋qf2(x，y)．(2)根据恒等变形求得待定系数p，q.(3)根据不等式的同向可加性即可求得g(x，y)的取值范围．1.如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(

)A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xyC．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2解析：因为x＋y<0，y>0，所以x<－y<0<y.在不等式x<－y两边同时乘以x，得x2>－xy.在不等式x<－y两边同时乘以y，得xy<－y2，则－xy>y2，所以x2>－xy>y2.故选D.3．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为__________．eπ·πe<ee·ππ考法2

一元二次不等式的解法(2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．解关于x的不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0.考法3

三个“二次”之间的关系已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．1.(2026·山西临汾模拟)已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为___________________．解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0，即－x2＋2x＋3≤0，即x2－2x－3≥0，也即(x－3)(x＋1)≥0，解得x≥3或x≤－1.故原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(－∞，－1]∪[3，＋∞)2．已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝________．－16考法4

简单分式不等式的解法简单分式不等式的求解策略解析：解法一：当x＞1时，x－1＞0，在原不等式两端同时乘(x－1)可得x2－x－6＞0，所以(x＋2)(x－3)＞0，解得x＜－2或x＞3，结合x＞1可得x＞3；当x＜1时，x－1＜0，在原不等式两端同时乘(x－1)可得x2－x－6＜0，所以(x＋2)(x－3)＜0，解得－2＜x＜3，结合x＜1可得－2＜x＜1.综上所述，原不等式的解集为{x|－2＜x＜1，或x＞3}．故选C.考法5

一元二次不等式恒(能)成立问题(1)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(

)A．[0，1] B．(0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(

)A．[－1，3] B．(－∞，－1]C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)一元二次不等式恒(能)成立问题的求解策略(1)弄清自变量、参数．一般情况下，知道谁的范围就选谁当主元，求谁的范围谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可以用判别式；一元二次不等式在给定区间上恒(能)成立，不能用判别式，一般需要分离参数求最值或分类讨论．1.已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________．2．若存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则实数a的取值范围是__________．(－∞，3)课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★★考点不等式的性质及应用不等式的性质及应用不等式的性质及应用一元二次不等式的解法一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式能成立问题不等式性质的实际应用题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点三个“二次”之间的关系；简单分式不等式的解法不等式的性质及应用三个“二次”之间的关系三个“二次”之间的关系不等式的性质及应用不等式的性质及应用一元二次不等式恒成立问题一、单项选择题1．(2025·安徽合肥八中模拟)若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(

)A．(－3，0) B．(－3，3)C．(0，3) D．(－3，5)解析：因为－4<b<2，所以0≤|b|<4，所以－4<－|b|≤0.又因为1<a<3，所以－3<a－|b|<3.故选B.2．(2026·山东济宁模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(

)A．xy＞yz B．xy＞xzC．xz＞yz D．x|y|＞|y|z解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定．对于A，因为x＞0＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误．4．(2026·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(

)A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m<x<n}解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n<x<m}．故选B.6．(2026·江苏徐州摸底考试)设0<b<1＋a，若关于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是(

)A．{a|－1<a<0} B．{a|0<a<1}C．{a|1<a<3} D．{a|3<a<5}7．某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于先后两次加油时燃油的价格不同，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次均加200元的燃油．下列说法正确的是(

)A．采用第一种方案划算 B．采用