2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第7章第2讲　等差数列、等比数列的性质

第七章

数列第2讲等差数列、等比数列的性质掌握等差数列、等比数列的核心性质(项的关系、前n项和性质、衍生数列性质)，能运用性质解决求通项、求和、关系证明等问题.核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝__________________(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则am＋an＝_______.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝________.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列.am＋(n－m)dak＋al2ap2dmdn2dndannan(n－1)an)－(m＋n)amqn－makalqqnqnSm重点考法突破考法1等差数列项的性质(1)(2026·山东济南高三上开学考试)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2a7－a9＝4，则S9＝(

)A.12 B.24C.36 D.48解析：若n>m－n，由题意知am－n＋1＋am－n＋2＋…＋an＝0，所以am－n＋1＋an＝0，因为公差d≠0，且a2026＝0，所以a1＋a4051＝0，所以m－n＋1＋n＝4052，所以m＝4051；若n<m－n，可得an＋1＋an＋2＋…＋am－n＝0，所以an＋1＋am－n＝0，因为公差d≠0，且a2026＝0，所以a1＋a4051＝0，所以n＋1＋m－n＝4052，所以m＝4051.综上所述，m＝4051.(2)已知等差数列{an}的公差不为0，a2026＝0，给定正整数m(m>2)，使得对任意的n<m(n∈N*)，都有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋am－n成立，则m＝(

)A.2026 B.2030C.4051 D.4052等差数列项的性质利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将am＋an＝2ap(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)与am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)相结合，可减少运算量.1.(2026·江苏镇江模拟)已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a8－a9＝(

)A.－3 B.3C.－12 D.12解析：已知{an}是等差数列，a3＋a6＋a8＋a11＝12，由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7，a3＋a11＝2a7，因此2a7＋2a7＝4a7＝12，解得a7＝3，所以2a8－a9＝(a7＋a9)－a9＝a7＝3.故选B.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n＝(

)A.17 B.15C.13 D.11考法2等比数列项的性质解析：∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，又a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B.(1)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(

)A.8 B.9C.10 D.11

(2)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a2a4a5＝a3a6，a4a5＝a3a6，所以a2＝1，又a9a10＝－8，所以a2q7·a2q8＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a2q5＝q5＝－2.－21.(2026·江苏南京六校联合学情调研)在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6＝(

)A.36 B.±6C.－6 D.62.(2025·湖北襄阳模拟)在正项等比数列{an}中，若a3，a7是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两实根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________.9高阶拓展——等差、等比数列下标和性质的推广1.若数列{an}为等差数列，且m1＋m2＋…＋mn＝k1＋k2＋…＋kn(m1，m2，…，mn，k1，k2，…，kn∈N*)，则am1＋am2＋…＋amn＝ak1＋ak2＋…＋akn.2.若数列{an}为等比数列，且m1＋m2＋…＋mn＝k1＋k2＋…＋kn(m1，m2，…，mn，k1，k2，…，kn∈N*)，则am1am2…amn＝ak1ak2…akn.已知等比数列{an}中，a1a3a8＝64，a4a5a9＝216，则a8＝________.9考法3等差数列前n项和的性质(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(

)A.7 B.8C.9 D.10(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.5熟练掌握等差数列前n项和的性质是解题的关键，注意转化与化归思想在此类试题中的应用.(1)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝10，S9＝70，那么S12＝(

)A.150 B.－200C.150或－200 D.400或－50考法4等比数列前n项和的性质585等比数列前n项和的性质常用来解决的两类题型(1)利用等比数列前n项和的片段和性质求解前n项和问题.(2)利用奇数项、偶数项和的性质解决与公比、项有关的问题.2.(2026·四川成都七中高三模拟)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，偶数项和为170，奇数项和为341，则等比数列{an}的公比为________，项数为________.29课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考点等差数列项的性质等比数列项的性质等比数列项的性质等差数列前n项和的性质等比数列前n项和的性质等差数列项的性质等比数列前n项和的性质等差数列项的性质等差数列的性质题号10111213141516高阶拓展1718难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点等比数列项的性质等比数列项的性质等比数列前n项和的性质等比数列前n项和的性质等差数列前n项和的性质等差数列项的性质等比数列项的性质等差数列下标和性质的推广等差、等比数列下标和性质的推广一、单项选择题1.(2026·江苏淮阴阶段性考试)如果等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝15，S7＝63，那么a3＝(

)A.5 B.6C.7 D.85.(2025·江西十校协作体第二次联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(

)A.81 B.71C.61 D.516.(2025·河北石家庄三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a8＋a13＝－120，5S7－7S5＝70，若Sk＝Sk＋1，则k＝(

)A.27 B.28C.54 D.557.(2026·安徽宣城模拟)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝(

)A.2 B.3C.4 D.58.(2025·河南安阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2n(n＋2)Sn＋1＝(n＋1)(n＋2)Sn＋n(n＋1)Sn＋2，若a3＝5，S2025＝2025，则a508＝(

)A.3 B.6C.1015 D.2030二、多项选择题9.(2026·河南南阳模拟)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列结论中正确的是(

)A.若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，则a5＋a6＋a7＝20B.若a2＋a11＝4，则S12＝24C.若a1<0，S15<0，则S6<S5D.若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0三、填空题12.(2025·新课标Ⅰ卷，13)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________.214.(2026·福建龙岩模拟)已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为________，项数为________.117四、解答题15.(2026·湖北荆州模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a11＝84，a7＝33.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若记b