2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第4章第2讲　分析无参函数的单调性、极值、最值

第四章导数及其应用第2讲分析无参函数的单调性、极值、最值1.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值，对于多项式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.4.体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用.核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．函数的导数与单调性的关系条件函数y＝f(x)在某个区间(a，b)上可导结论(1)若f′(x)＞0，则f(x)在区间(a，b)上________(2)若f′(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)上________(3)若f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)上是________单调递增单调递减常数函数点拨：(1)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.(2)若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.2.由导数求单调区间的一般步骤第一步，确定函数的________；第二步，求出导数f′(x)的零点；第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出_____在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域f′(x)

条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)__0x0附近的左侧f′(x)__0，右侧f′(x)__0图象极值f(x0)为极___值f(x0)为极___值极值点x0为极___值点x0为极___值点>3.导数与函数的极值<<>大小小大4.导数与函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)上的_____；②将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中_____的一个是最大值，_____的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小点拨：关于极值、最值的四个关注点(1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点.(3)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值.(4)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.重点考法突破考法1利用图象判断单调性、极值、最值(1)(2026·辽宁名校联盟高三上联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)在[－2，2]上的图象，则(

)A.f(x)在[－1，0]上单调递减B.f(x)在[0，1]上单调递减C.f(x)在[－1，2]上单调递增D.f(x)在[－2，0]上单调递增解析：由图象可得，当－2≤x<－1时，xf′(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)在[－2，－1)上单调递增；当－1<x<0时，xf′(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)在(－1，0)上单调递减；当0<x<1时，xf′(x)>0，此时f′(x)>0，函数f(x)在(0，1)上单调递增；当1<x≤2时，xf′(x)>0，此时f′(x)>0，函数f(x)在(1，2]上单调递增，又f′(－1)＝0，f′(1)＝0，f(x)为连续函数.故选A.(2)(多选)若函数f(x)的定义域为(－4，3)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则(

)A.f(x)有两个极大值点

B.f(x)有一个极小值点C.f(x)在(－2，2)上没有单调性

D.f(x)的最小值为f(－2)解析：由题图可知，当x∈(－4，－3)∪(－2，2)时，f′(x)≥0，当x∈(－3，－2)∪(2，3)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－4，－3)和(－2，2)上单调递增，在(－3，－2)和(2，3)上单调递减，可知f(x)的极大值点为－3，2，极小值点为－2，最小值无法判断.故选AB.导函数图象从左往右，导函数值由正变负，表示函数单调性由增变减，此时导函数的零点即为函数的极大值点；同理，导函数值由负变正，函数单调性由减变增，此时导函数的零点即为函数的极小值点.判断函数的极值需从定义入手.1.(2026·江西宜春樟树中学高三上开学考试)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(

)A.－3是函数y＝f(x)的一个零点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.－2是函数y＝f(x)的极大值点D.函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增解析：根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极小值点，但－3不一定是函数y＝f(x)的零点.因为函数y＝f(x)在(－3，－1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点.故选D.2.(多选)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则(

)A.f(x)在(a，b)内一定不存在最小值B.f(x)在(a，b)内只有一个极小值点C.f(x)在(a，b)内有两个极大值点D.f(x)在(a，b)内可能没有零点解析：由图可知，函数f(x)是先单调递增，后单调递减，再单调递增，再单调递减，即当x＝c，x＝e时，f(x)取得极大值，当x＝d时，f(x)取得极小值，所以B，C正确；当f(d)≤f(a)，且f(d)≤f(b)时，f(d)为f(x)在(a，b)内的最小值，所以A不正确；当f(a)≥0，f(d)＞0，f(b)≥0时，f(x)在(a，b)内没有零点，所以D正确.故选BCD.考法2求单调区间、极值、最值1.确定不含参函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.2.利用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解方程f′(x)＝0；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.3.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.考法3

利用单调性比较大小、解不等式角度1比较大小利用单调性比较大小时，注意当自变量不在同一单调区间上时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较.利用单调性解不等式的思路方法(1)利用单调性解不等式通常用于：①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式.(2)解题的一般策略：利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的关系.(2026·广东中山模拟)已知函数f(x)＝2x－sin2x，则不等式f(x2)＋f(3x－4)<0的解集为________.解析：由f(x)＝2x－sin2x，得f′(x)＝2－2cos2x＝2(1－cos2x)≥0，所以函数f(x)＝2x－sin2x是R上的增函数，又f(－x)＝－2x－sin(－2x)＝－(2x－sin2x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，则由f(x2)＋f(3x－4)<0，得f(x2)<－f(3x－4)＝f(4－3x)，所以x2<4－3x，即x2＋3x－4<0，即(x－1)(x＋4)<0，解得－4<x<1.(－4，1)课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★★考点求函数的单调区间利用图象判断函数的单调性、极值求函数的最值求函数的极值点、极值利用图象解不等式求函数的最值利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性解不等式题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点与函数单调性相关的新定义问题由原函数和导函数的图象分析函数的解析式、单调区间以及与原函数相关函数的最值利用函数的单调性解不等式、比较大小；分析函数的极值点求函数的单调区间求函数的极值点求函数的最值求函数的极值；利用函数的单调性解不等式求曲线在某点处的切线方程；求函数的单调区间、极值、值域一、单项选择题1.函数f(x)＝x2－4lnx＋2x－3的单调递减区间是(

)A.(1，＋∞) B.(－2，1)C.(0，1) D.(－∞，－2)和(1，＋∞)2.(2026·黑龙江齐齐哈尔市龙西北高中名校联盟高三上九校期初联考)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A.f(x)有2个极值点

B.f(x)在x＝2处取得极大值C.f(x)在(－∞，2)上单调递增

D.f(x)有极小值，没有极大值解析：由图象，得当x<4时，f′(x)≤0，当且仅当x＝2时，等号成立；当x>4时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)有一个极小值，没有极大值.故选D.3.(2026·广东中山纪念中学高三