2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第7章第3讲 数列求通项

第七章数列第3讲数列求通项能根据数列的递推公式，利用待定系数法、配凑法、取倒数、取对数等构造方法转化为特殊数列(等差、等比或可用累加、累乘求解的数列)进行求解.重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1利用累加法、累乘法求通项形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.考法2待定系数法构造数列求通项角度1an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)若数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则数列{an}的通项公式为_____________.an＝4n－1－1角度2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)

(2025·广东广州联考)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为_________________.an＝3n－2(n－1)角度3an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)(1)(2025·山西大同模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_________________.an＝(2n－1)×3n(2)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4×3n－1，a1＝－1，则数列{an}的通项公式为______________________.an＝4×3n－1－5×2n－1待定系数法构造数列的常见形式及构造方法考法3取倒数、取对数构造数列求通项102n－1＋1高阶拓展——特征根法、不动点法求通项一特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程.(1)若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定.(2)若特征根方程只有一个实根α，则an＝(An＋B)·αn，A，B由a1，a2的值决定.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2＝－an＋1＋2an(n∈N*)，则an＝______________.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，则an＝____________.(n＋1)·2n－2课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★考点利用累加法求通项取倒数构造数列求通项形如an＋1＝pan＋qn＋c构造数列求通项利用累乘法求通项形如an＋1＝pan＋qn构造数列求通项形如an＋1＝pan＋q构造数列求通项形如an＋1＝pan＋q构造数列求通项；判断等比数列取对数构造数列求通项题号9101112高阶拓展13141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点利用累乘法求通项形如an＋1＝pan＋qn构造数列求通项证明等差数列；利用累乘法求通项形如an＋1＝pan＋qn构造数列求通项特征根法求通项特征根法求通项不动点法求通项不动点法求通项一、单项选择题1.(2026·四川成都联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a10＝(

)A.210－1 B.211＋1C.210＋1 D.211－13.(2026·福建漳州质检)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1－2Sn＝n，则a10＝(

)A.1024 B.1023C.513 D.256解析：由Sn＋1－2Sn＝n，得Sn＋1＋(n＋1)＋1＝2(Sn＋n＋1)，因为a1＝2，所以S1＋1＋1＝4，所以Sn＋n＋1≠0，所以{Sn＋n＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＋n＋1＝4×2n－1，所以Sn＝2n＋1－n－1，所以a10＝S10－S9＝1023.故选B.4.(2026·浙江宁波模拟)已知数列{an}中，a2＝1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2025＝(

)A.2023 B.2024C.2025 D.20265.(2025·江苏苏北七市二调)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，则(

)A.9a7>8a8 B.9a7<8a8C.9S7>7a8 D.9S7<7a87.(2025·辽宁锦州五模)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(

)A.S2＝2B.数列{Sn＋n}为等比数列C.数列{an＋1}为等比数列D.数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列32n－1201010.(2025·辽宁沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若8Sn＋3n＋1＝9an＋3，则S2＝_____，an＝________.解析：当n＝1时，8S1＋9＝9a1＋3，解得a1＝6，当n＝2时，8S2＋27＝8a1＋8a2＋27＝9a2＋3，解得a2＝72，则S2＝a1＋a2＝78.当n≥2时，由8Sn＋3n＋1＝9an＋3，得8Sn－1＋3n＝9an－1＋3，两式相减，得8an＋2×3n＝9an－9an－1，整理，得an＝9an－1＋2×3n，即an＋3n＝9(an－1＋3n－1)，因为a1＋3＝9≠0，所以数列{an＋3n}是以9为首项，9为公比的等比数列，则an＋3n＝9n，所以an＝9n－3n.789n－3n12.若数列{an}满足an＋1＝(－2)n＋1－2an(n∈N*)，a1＝m.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意n∈N*，有a2n＋1<a2n－1，求m的取值范围.[高阶拓展——特征根法、不动点法求通项]13.(2026·江苏无锡模拟)已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋