2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第4章第7讲　利用导数研究函数的零点问题

第四章导数及其应用第7讲利用导数研究函数的零点问题1.能利用导数研究函数的性质，结合函数图象与零点存在定理解决函数的零点问题.2.对于无法直接求解的隐零点问题，可通过设而不求的思路，借助导数进行整体代换化简.重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1判断零点个数问题已知函数f(x)＝(x－2)ex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)－a，讨论函数g(x)的零点个数.解：(1)f(x)的定义域为R，则f′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，又ex>0恒成立，∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞).函数f(x)的极小值为f(1)＝－e，无极大值.(2)当x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，结合(1)中结论作出函数f(x)的图象，如图所示，∴g(x)的零点个数等价于f(x)的图象与直线y＝a的交点个数.当a≥0时，f(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点；当－e<a<0时，f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点；当a＝－e时，f(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点；当a<－e时，f(x)的图象与直线y＝a无交点.综上所述，当a∈[0，＋∞)∪{－e}时，函数g(x)有唯一零点；当a∈(－e，0)时，函数g(x)有两个不同的零点；当a∈(－∞，－e)时，函数g(x)无零点.判断零点个数问题的方法(1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.考法2由零点个数求参数取值范围设函数f(x)＝(x－2)ln(x－1)－ax，a∈R.(1)若f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围.由零点个数求参数取值范围的方法解：(1)由题意可得，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝ln2，令f′(x)<0，解得0<x<ln2，令f′(x)>0，解得x<0或x>ln2，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，ln2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞).(2)因为f(x)的单调递减区间为(0，ln2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)，且f(0)＝－1<0，则f(x)在区间(－∞，0)上无零点；由于f(ln2)＝2(ln2－1)－(ln2)2<0，则f(x)在区间(0，ln2)上无零点；由于f(2)＝e2－4>0，则f(x)在区间(ln2，2)上存在唯一零点.综上，函数f(x)在R上存在唯一零点.考法3隐零点问题(2025·河北秦皇岛三模)设函数f(x)＝(x－2)lnx＋1.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)证明：f(x)＋ex>x＋1.隐零点问题的具体求解步骤(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，f′(x)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的范围(有时范围可根据具体情况适当缩小)；(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；(3)将零点方程f′(x)＝0适当变形，整体代入f(x)的最值表达式进行化简，可以消除f(x)最值表达式中的指对项，也可以消除其中的参数项，再将得到的f(x)最值表达式进行化简证明.课时作业中档题(占比30%)拔高题(占比70%)题号123456难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点由零点个数求参数判断函数零点个数问题判断函数零点个数问题由零点个数求参数判断函数零点个数问题由零点个数求参数1.(2026·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－kx在(－∞，0)上恰有两个零点，求k的取值范围.解：(1)由f(x)＝(2x＋1)ex，得f′(x)＝(2x＋3)ex，则f(0)＝1，f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.解：(1)证明：依题意，f′(x)＝a＋cosx，因为曲线y＝f(x)在点(π，f