2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第11章第3讲 概率

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲概率

1．理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则，会用频率估计概率.5.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义，能利用独立性计算概率.6.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.7.理解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式和全概率公式计算概率．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理关系或运算含义符号表示包含若事件A发生，则事件B_____发生＿＿＿相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA＝B并事件(和事件)事件A与事件B___________发生________________交事件(积事件)事件A与事件B______发生A∩B(或AB)互斥(互不相容)事件A与事件B_________发生A∩B＝∅互为对立事件A和事件B在任何一次试验中_____________发生＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一定1．两个事件的关系和运算A⊆B至少有一个A∪B(或A＋B)同时不能同时有且仅有一个A∪B＝Ω，且A∩B＝∅2.古典概型(1)古典概型的特征①有限性：样本空间的样本点只有_______；②等可能性：每个样本点发生的可能性_____．(2)古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝____．有限个相等3．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)_____．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为__，即P(Ω)＝_，P(∅)＝_．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________．性质5：如果A⊆B，那么___________．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝____________________．点拨：概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，其中A1，A2，…，An彼此互斥．≥0010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)P(A)≤P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)P(A)P(B)相互独立6．条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝__；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_____________；7．乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝___________．点拨：乘法公式可以推广为P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)P(A)P(B|A)重点考法突破

(1)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”，则(

)A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件考法1随机事件的关系与概率解析：事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”或“两个黑匣子都不研究”；事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”．对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确．故选D.(2)(多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如下表所示：假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是(

)A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26C．P(H)＝0.19 D．P(N＋H)＝0.65总人数食用大米套餐人数食用面食人数1000550260

1.(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是(

)A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)解析：对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故B正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F一定发生，所以D3⊆F，故C正确；对于D，D1∩D2表示出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生时，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不成立，故D不正确．2．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为____，至多参加2个小组的概率为___．考法2古典概型(2)(2026·江苏扬州模拟)将一枚骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为x1，x2，x3，则x1≤x2≤x3的概率为____．2．(2024·新课标Ⅰ卷，14)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为___．

(1)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立考法3相互独立事件的判断及概率计算1．两个事件相互独立的判断方法(1)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(2025·山东泰安期末)如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，已知事件A＝“与地面接触的面上的数字为偶数”，事件B＝“与地面接触的面上的数字不小于5”．(1)判断事件A与B是否相互独立，并证明；(2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB至少发生2次的概率；(3)请构造一个含有2个样本点的事件C，满足①P(ABC)≠0；②A，B，C三个事件两两独立；③P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，并给出证明．考法4条件概率与全概率公式

(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_____．(2)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是_______．0.1752．葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80颗.2025年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．0.4825解析：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设事件B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考点概率的性质互斥事件的概率计算古典概型的概率计算相互独立事件与互斥事件的概率计算；条件概率全概率公式及其应用古典概型的概率计算相互独立事件的判断相互独立事件与互斥事件的概率计算相互独立事件的判断；概率的性质；条件概率题号1011121314151617难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点古典概型的概率计算；相互独立事件的应用及概率计算全概率公式与贝叶斯公式相互独立事件的应用及概率计算古典概型的概率计算全概率公式及其应用概率性质的应用；条件概率古典概型的概率计算条件概率、全概率公式及概率的公式推导一、单项选择题1．(2026·广东中山纪念中学高三阶段练习)设A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，P(AB)＝0.2，则P(A∪B)＝(

)A．0.8

B．0.7C．0.6 D．0.5解析：根据题意可得，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.2＋0.5－0.2＝0.5.故选D.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(

)A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：记“抽验的产品是甲级品”为事件A，“抽验的产品是乙级品”为事件B，“抽验的产品是丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，所以抽验一只是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.故选C.5．(2025·湖南湘潭一模)跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为(

)A．0.35 B．0.32C．0.45 D．0.367．在一次考试中有一道四个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在四个选项中随机选取两个选项．设事件M＝“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N＝“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X＝“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y＝“甲、乙两人均未选择B选项”，则(

)A．事件M与N相互独立 B．事件X与Y相互独立C．事件M与Y相互独立 D．事件N与Y相互独立8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(

)A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大解析：设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙．由题意得P甲＝p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝p1p2＋p1p3－2p1p2p3，P乙＝p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝p1p2＋p2p3－2p1p2p3，P丙＝p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝p1p3＋p2p3－2p1p2p3，所以P丙－P甲＝p2(p3－p1)＞0，P丙－P乙＝p1(p3－p2)＞0，所以P丙最大．故选D.13．(2026·江苏苏州期初调研考试)在1，2，3，…，9中随机选出一个数a，在－1，－2，－3，…，－9中随机选出一个数b，则a2＋b能被3整除的概率为_____．9四、解答题15．(2025·广东揭阳三模)已知某早餐牛奶店甲推出了A和B两款新口味牛奶，另外一家早餐包子铺乙推出了一