2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第8章第5讲　几何法求空间角、长度问题

第八章立体几何与空间向量第5讲几何法求空间角、长度问题1．能用几何法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角．2．能用几何法解决空间距离问题．3．了解三余弦定理的内容，并能用其解决简单的几何问题．4．会画简单几何体的截面、交线，并能解决与线、面有关的计算问题．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：__________．2．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_______所成的角叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°．(2)范围：_________．射影3．二面角(1)定义：从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：________．两个半平面垂直于棱[0，π]4．三余弦定理如图，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM．记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ，则cosθ＝____________．cosθ1cosθ25．三种距离(1)点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的________，_______的长度叫做这个点到该平面的距离．(2)线面距一条直线与一个平面平行时，这条直线上_________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)面面距如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_______，把它叫做这两个平行平面间的距离．垂线段垂线段任意一点相等重点考法突破考法1几何法求线线角、线面角、二面角几何法求线线角的两种常用方法注意：平移法求异面直线所成的角时，选点要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角．平移法将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条直线相交，一般采用图中已有的平行线或作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解角度2几何法求线面角、二面角如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD．求：(1)直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；(2)二面角B－PQ－D的大小．2．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，M，N分别是BB′，DD′的中点，则截面AMC′N与平面ABCD夹角的余弦值为________；截面AMC′N与平面CC′D′D夹角的余弦值为________．(1)已知二面角α－l－β是直二面角，A∈α，B∈β．设直线AB与平面α，β所成的角分别为θ1，θ2，则(

)A．θ1＋θ2＝90° B．θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D．θ1＋θ2<90°考法2

三余弦定理cosθ＝cosθ1cosθ2的应用解析：过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，则AC⊥β，BD⊥α，∠ABC＝θ2，∠BAD＝θ1．由三余弦定理，知θ2≤∠ABD，又∠ABD＋θ1＝90°，所以θ1＋θ2≤90°．故选C．(2)已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为________．45°三余弦定理呈现了斜线角、线面角、射影角三者之间的余弦关系，知道其中两个角就能求出另外一个角，在求直线与平面所成的角等相关题目中，运用该公式能大大简化运算．(2026·江苏徐州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A到直线B1D1的距离为a，点A1到平面BDD1B1的距离为b，直线B1C1到平面A1D1CB的距离为c，平面AA1B1B到平面DD1C1C的距离为d．其中最长距离是(

)A．a B．b

C．c D．d考法3几何法求空间距离几何法求空间距离问题的策略求点线距一般要作出这个距离，利用直角三角形或等面积法求解；求点面距时，若能作出这个距离，则化归到三角形中求解，若不易作出这个距离，可借助等体积法求解；求线面距、面面距时，常转化为点面距来求解．考法4

截面、交线问题判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置；求截面、交线问题，常与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解．1．如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点P是△ABC的重心，过点P将木块锯开，并使得截面平行于AD和BC，则截面的面积为(

)A．1B．2 C．3 D．4课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考点三余弦定理几何法求线面角几何法求面面角截面问题几何法求面面角几何法求线线角几何法求线面角交线问题几何法求线线角、线面角题号10111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点几何法求线面角、面面角、空间距离几何法求空间距离、线面角；截面问题几何法求空间距离三余弦定理几何法求面面角几何法求面面角几何法求线面角；交线问题一、单项选择题1．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC－A1B1C1中，P是棱BC上的动点．记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成的角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是(

)A．θ1＝θ2 B．θ1>θ2C．θ1<θ2 D．不能确定解析：因为θ1是线面角，θ2是线线角，由三余弦定理知，θ1≤θ2，又BC不是A1P在底面ABC内的射影，故θ1<θ2．故选C．4．(2025·宁夏银川兴庆区一模)如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球(正方体各个面均与球面有且只有一个公共点)后得到的，现用一平面去截这个几何体，则截面图形不可能是(

)解析：对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图1；对于B，用正方体的对角面截正方体，可以得到截面图形B，如图2；对于D，用只过正方体的一个侧面中心的平面截正方体，切点在截面ABCD的边CD的中点处，且CD<BC，可以得到截面图形D，如图3．故选C．二、多项选择题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(

)A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°13．(2026·湖北荆州模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为________．14．(2025·山东济南模拟)如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A－BD－C的余弦值为________．四、解答题15．如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A－PB－C的平面角的大小．解：(1)证明：如图，作AD⊥PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．(2)作DE⊥PB于点E，连接AE，由(1)知AD⊥平面PBC，因为PB⊂平面PBC，则AD⊥PB，又AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE，所以PB⊥平面ADE，因为AE⊂平面ADE，所以PB⊥AE，则∠AED即为二面角A－PB－C的平面角．又AD⊥平面PBC，DE⊂平面PBC，则AD⊥DE，不妨设AC＝BC＝PA＝1，16．(2026·山西太原模拟)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且PD∥EA，PD⊥CD，PD⊥AD，AD＝PD＝2EA＝2，BP，BE，PC的中点分别为F，G，H．(1)证明平面FGH∥平面AEPD，并求直线CE与平面FGH所成角的正弦值；(2)设截面FGH与平面ABCD的交线为l，确定l的位置，并说明理由．(2)延长PE交DA的延长线于点Q，连接BQ，延长FG交BQ于点R，因为F，G分别为BP，BE的中点，所以FG∥PE，所以FR∥PQ，