2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第8章第1讲　基本立体图形、空间几何体的表面积与体积

第八章立体几何与空间向量第1讲

基本立体图形、空间几何体的表面积与体积1．掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理名称棱柱棱锥棱台图形底面互相_____且_____多边形互相_____且_____侧棱_______________相交于_____，但不一定相等延长线交于_____侧面形状_________________________梯形分类按底面多边形的边数平行1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，_______于底面相交于_______延长线交于______轴截面_____________________等腰梯形圆面侧面展开图______________扇环垂直(2)旋转体的结构特征一点一点矩形等腰三角形矩形扇形2．直观图(1)画法：常用____________．(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤斜二测画法45°(或135°)x′轴或y′轴的线段保持原长度不变一半圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝______S圆锥侧＝______S圆台侧＝____________3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrlπrlπ(r1＋r2)lS底h4πR2点拨：祖暅原理夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．重点考法突破

(1)(2026·云南昆明五华区模拟)下列说法正确的是(

)A．四棱柱的所有面均为平行四边形B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体考法1

基本立体图形解析：对于A，四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错误；对于B，作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点在同一平面内，故B错误；对于C，在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C错误；对于D，如图，四面体AA1BD中，△AA1D，△AA1B，△ABD均是直角三角形，△DA1B是等边三角形，故D正确．故选D．(3)(多选)(2025·黑龙江牡丹江模拟)已知梯形ABCD，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，如图，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，下列说法正确的是(

)A．线段AD平行于x轴B．AB＝2C．梯形ABCD是直角梯形D．梯形ABCD的面积是31．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是(

)A．该几何体的面是等边三角形或正方形B．该几何体恰有12个面C．该几何体恰有24条棱D．该几何体恰有12个顶点解析：据图可得，该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确．故选B．3．(2026·广东广州南武中学模拟)如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为_____．8考法2多面体、旋转体的表面积

(1)(2025·山西太原五中模拟)一个正六棱柱和正六棱锥的组合体如图所示，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为________．求空间几何体表面积的类型及方法注意：(1)组合体要先分割再求解同时注意衔接部分的处理．(2)灵活运用直角三角形与直角梯形，如圆锥(台)中的高、母线、底面半径；棱锥(台)中的高、棱长、底面边长．多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系2．(2026·河南开封模拟)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构．如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为________dm2．考法3直接法、等体积法求体积(1)对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．(2)选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换．2．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为_____．1考法4补形法、分割法求体积(1)补形法求体积就是把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．(2)分割法求体积就是先把不规则的几何体分割成规则的几何体，再利用相关公式直接计算．1．如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为(

)A．90πB．63πC．42π D．36π60课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★考点斜二测画法旋转体的侧面积多面体的表面积分割法求体积旋转体的侧面积；直接法求体积祖暅原理圆锥的侧面展开图；最短路径问题莫比乌斯环的性质题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考点旋转体的侧面积、体积；直接法求体积多面体的表面积、体积；直接法求体积补形法求体积直接法求体积组合体的表面积旋转体的表面积；直接法求体积分割法求体积；补形法求体积分割法求体积；利用导数求最值2．(2025·河北保定一模)已知圆台O1O的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为(

)A．16π B．20πC．24π D．32π解析：由圆台侧面积公式可得S侧＝π×(3＋5)×3＝24π．故选C．8．(2026·吉林模拟)莫比乌斯(Mobius)环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现，就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈．现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端(粘合两端重叠部分忽略不计)，形成一个莫比乌斯环，下列关于莫比乌斯环说法正确的是(

)A．一只小虫在不跨过它的边缘的情况下沿着表面至少走30cm才能回到原处B．如果把它沿中线剪开(如图白色线的部分)，曲面被分成独立的两部分C．如果把它沿中线剪开(如图白色线的部分)，最终得到图形的周长为120cmD．一只小虫在不跨过它的边缘的情况下不能爬遍整个曲面解析：对于A，一只小虫在不跨过它的边缘的情况下沿着表面走30cm，则会发现小虫来到“另一面”，需要再继续前进30cm，才能回到原处，也就是说至少要走60cm才能回到原处，故A错误；对于B，设想从白色线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，走完30cm到达了背面的白色线的对侧，需要再前进30cm刚好回到原处，因此剪开后得到的仍然是一个环带，没有分成两部分，把莫比乌斯环沿中线剪开后不会分成独立的两部分，而会得到一个长度加倍且360°扭转对接的环带，故B错误；对于C，沿中线剪开后得到的环带长是60cm，其边缘周长是60×2＝120cm，故C正确；对于D，实际走一走，可以看出小虫在不跨越它的边缘的情况下可以爬遍整个曲面，故D错误．故选C．三、填空题12．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．13．(2026·上海静安模拟)如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱(尺寸单位：cm)，则这种机器零件的表面积为____________________cm2．14．已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．1四、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，BD⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5．试用两种方法求此几何体的体积．解：解法一(分割法)：由AB＝8，AC＝6，BC＝10，得AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC．因为BD⊥平面ABC，AE∥BD，所以AE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以AE⊥AB，又AB⊥AC，AE∩AC＝A，AE，AC⊂平