2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第11章微点探索 概率中的计分类、比赛类大题

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布微点探索概率中的计分类、比赛类大题能将实际计分问题、比赛规则转化为数学模型，拆解问题中的条件约束，梳理事件间的逻辑关系，将复杂问题转化为多个简单子问题求解．重点考法突破课时作业目录重点考法突破

(2026·江苏扬州模拟)某商场进行抽奖活动，摸奖箱内有红球1个，白球2个，黑球3个，小球除颜色外没有任何区别．规定：摸到红球记1分，摸到白球记0分，摸到黑球记－1分．抽奖人摸3个球为一次抽奖，总分记为X，若X≥0，则获奖．方案一：从中一次摸1个球，记录分数后不放回；方案二：从中一次摸1个球，记录分数后放回．(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；(2)若丙顾客按照方案二摸球记分，求X的分布列和数学期望．考法1概率中的计分类大题求解概率中的计分类大题，关键是理清每种试验结果下的得分，需注意的是有时相同的得分可能对应不同的试验结果，此时应分别计算再相加．这类题在求概率分布时常综合运用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式．考法2概率中的比赛类大题概率中的比赛类大题的解题策略(1)将随机变量的各种取值与各局比赛的胜负情况对应起来，若有主客场之分，还需注意主客场获胜的概率不同．(2)概率求解过程中常利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式．(3)当涉及比较大小或证明不等关系时，常利用作差法或构造函数进行比较．课时作业中档题(占比30%)拔高题(占比70%)题号1234难度★★★★★★★★★★★考点比赛类大题比赛类大题计分类大题计分类大题1.(2024·新课标Ⅱ卷，18)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；(2)假设0<p<q，①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)×(1－0.53)＝0.686.(2)①若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，∵0<p<q，∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛．3．(2026·广东中山纪念中学阶段练习)甲、乙、丙三人一起玩掷骰子的游戏，骰子质地均匀．游戏规则如下：甲选择数字1，乙选择数字2，3，丙选择数字4，5，6.每人掷一次骰子，当掷出自己所选的数字时，获得对应得分，否则其他人获得对应得分的一半．甲、乙、丙掷出所选数字时的对应得分为6，4，2.比如：当乙投掷时，若掷出数字2，3，则乙得4分，甲、丙不得分；若掷出数字1，4，5，6，则乙不得分，甲、丙各得2分．三人各投掷一次记为一轮．(1)一轮过后，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；(2)一轮过后，甲因个人原因退出游戏，此时乙、丙重新制定规则：①两人各投掷一次记为一轮，无论是谁投掷，当出现数字1时，需重新投掷，得分规则同上．求进行两轮游戏后，乙的积分高于丙的积分的概率；②不进行得分统计，通过掷出骰子的点数判定胜负，投掷一次为一轮，若一轮掷出1，2，3，乙胜，否则丙获胜．两人约定谁先获胜的轮数达到一定数目时，