自动控制原理（第3版）课件 第3、4章 控制系统的时域分析、根轨迹技术

第3章控制系统时域分析3.1引言3.2控制系统暂态性能分析3.3线性定常系统的稳定性分析3.4控制系统的稳态误差分析3.1引言控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣。稳定性是系统正常工作的首要条件，线性系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而与系统的输入无关；稳态误差是系统的稳态性能指标，它标志着系统的控制精度；系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。介绍了如何用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析。系统稳定的充分必要条件，Routh判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型号，线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶.对于不同的系统，例如线性的、非线性的、定常的、时变的系统，稳定性的定义也不同，本章仅讨论线性定常单输入单输出系统的稳定性．从控制系统分析和设计的角度来说有绝对稳定性和相对稳定性，绝对稳定指系统是否稳定，一旦系统是稳定的，则人们更关心其稳定的程度，这就是相对稳定性，相对稳定性一般用稳定裕度衡量.当系统受外加作用时引起的输出随时间的变化规律，称其为系统的时域响应，分为暂态响应和稳态响应．暂态响应是指系统输出量当时间趋于无穷时趋于零的那部分时间响应，工程上一般定义暂态响应为从初始状态到达某一规定值（例如偏离终值的误差值在终值的5%或2%以内）并且以后不再超过此值的这一部分时间响应过程，它反映控制系统的快速性和阻尼程度，由于系统物体的惯性都是无法避免的，因此人们常常可以观察到暂态现象．而稳态响应则是整个响应在暂态响应消失后余下的那部分响应，主要指系统输出量的最终位置，它反映控制系统的准确性或控制精度，控制系统是按照稳态误差和误差系数的计算来表示控制精度的．3.1.1典型输入信号1、控制系统性能评价分为暂态性能指标和稳态性能指标两大类．对于同一系统，在不同的输入信号作用下会产生不同的输出响应，因此为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号的解析表达式2、在分析和设计控制系统时，需要有一个对控制系统的性能进行比较的基准，这个基准就是系统对预先规定的具有典型意义的实验信号激励下的响应3、一个复杂的信号通常可看作是几个简单典型信号的合成.典型输入信号：控制系统分析与设计中常常遇到的一些输入信号，也是在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。需要满足以下几点：1）输入信号的形式应反映系统响应的实际输入；2）输入信号在形式上应尽可能的简单，应当是实验室或仿真可以获得以便于对系统响应进行分析的信号；3）应选取能使系统工作在最不利情况下的激励信号作为输入信号满足以上条件典型信号有：3.1.2时域性能指标稳定是系统工作的前提，只有系统是稳定的，分析系统的暂态和稳态性能以及性能指标才有意义．控制系统时域性能指标（TimeResponseSpecifications）分为暂态与稳态性能指标．1.暂态性能指标一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态，如果系统在阶跃函数作用下的暂态性能满足要求，那么系统在其它形式函数作用下其暂态性能也是令人满意的．为此，通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的暂态性能．描述稳定的系统在阶跃函数作用下暂态过程随时间t

的变化状况的指标，称为暂态性能指标1）调节时间(settlingtime，ts)指阶跃响应到达并保持在终值的5%（或2%）的误差带内所需时间．2）峰值时间(peaktime)tp

：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间．3)上升时间(risetime)tr：响应从终值的10%上升到终值的90%所需时间.对振荡系统,工程上上升时间

定义为输出从零到第一次上升至终值所需时间.4）超调量(peakovershoot)σ%：响应的最大峰值与终值的差与终值比的百分数，即：超调量常常用来衡量控制系统的相对稳定性或阻尼程度，一般不希望控制系统有很大的超调．

在实际应用中，以上四个指标可以用来衡量控制系统的暂态特征，一般通过测量系统的阶跃响应，很容易得到这些指标．通常，用tp

或tr

评价响应速度；用

评价系统的相对稳定程度或阻尼程度；用ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标．除简单的一、二阶系统外，要精确确定这些暂态性能指标的解析表达式是很困难的。2.稳态性能指标

稳态误差ess

是衡量系统控制精度或抗扰动能力的一种度量．工程上指控制系统进入稳态后（

）期望的输出与实际输出的差值，

越小，控制精度越高。3.2控制系统暂态分析3.2.1一阶系统的时域分析

凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。其典型结构图及传递函数为：RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)13tc(t)０T

2T3T4T

当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。1单位阶跃响应

响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。时间常数T反映系统响应过程的快慢，T越小，系统响应越快；反之，系统响应越慢．0.6320.950.9820.8651.014一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts定义：︱c(ts)

1︱=

(

取5%或2%)

一阶系统响应具备两个重要的特点：①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。②响应曲线的初始斜率等于1/T。０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0152单位斜坡响应

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数。TT163．单位脉冲响应[δ，R(s)=1]

它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲响应函数，以h(t)或g(t)标志。

求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。另外，如已知某典型信号的响应可求出其它信号的响应。对应T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T17线性定常系统的重要性质2.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。

1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数：3.2.2典型二阶系统的时域分析18二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：闭环传递函数为

二阶系统有两个结构参数

(阻尼比)和

n(无阻尼振荡频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。s(s+2

n)R(s)C(s)

n2

﹣+微分方程式为：19

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。

例如RLC电路RCr(t)c(t)L20

j

0二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即

s2+2

ns+

n2=0其两个特征根为：

上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比

的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2(1)

>1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。

(2)

=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。21(3)

0<

<1

时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。

j

0s1=s2=

n

ns1s2

j

d

n

j

0(4)

=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。22

j

0

j

n

j

0(5)

<0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。23

j

0s1s2

j

0s1=s2

ns1s2

j

d

n

j

0

j

0

j

n

阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布241.二阶系统的单位阶跃响应由式，其输出的Laplace变换为式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。

对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。（1）欠阻尼情况25

j

ns1s2

j

d

n0

26

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数

和

n决定。

无阻尼情况

c(t)=1cos

nt(t>0

)c(t)t01c(t)t0（2）临界阻尼情况

s1,2=

n27

此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，c(t)单调上升；整个过程不出现振荡。tc(t)01（3）过阻尼情况28

响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。29横坐标

nt

，曲线只是

的函数。

=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,230

p欠阻尼二阶系统的动态性能指标

用tr

,

tp

,

p

,

ts

四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

ts(1)上升时间tr

：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。31(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。32(3)超调量

p

：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。33

p只是

的函数，其大小与自然频率

n无关。

=0.2

p=52.7%=0.4

p=25.4%=0.6

p=9.5%

=0.707

p=4.3%

p

(4)调节时间ts

：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5~2%所需要的时间。

c(t)c()c()(t

ts)34

工程上，当0.1<

<0.9

时，通常用下列二式近似计算调节时间。△=5%△=2%35总结：各性能指标之间是有矛盾的。(1)ωn

一定，使trtp

使ts

(

一定范围)必须必须必须(2)

一定，使

trtpts

ωn

(3)

p

只由

决定必须36例3-1单位负反馈随动系统如图所示(1)确定系统特征参数与实际参数的关系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，试计算系统的动态性能指标。解:(1)系统的闭环传递函数为与典型二阶系统比较可得：K/T=

n21/T=2

ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+37(2)K=16，T=0.25时(=0.05)38例3-2已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。

p=30%tp=0.1求解上述二式，得到

=0.357，

n=33.6(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为1c(t)t01.30.13.2.3高阶系统的时域分析G(s)，H(s)

一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为39高阶系统的阶跃响应控制系统的基本结构如图所示。其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)40式中0<

k<1

。即系统有q个实极点和r对共轭复数极点。取拉氏

反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：

根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，可以表示为41

上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。闭环主导极点

1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由

pi，

k

k决定，也即闭环极点负实部的绝对值越大，相应的分量衰减越快。

2）各分量所对应的系数由系统的零极点分布决定。当某一极点越靠近零点，而远离其他极点和原点，则相应系数越小，该瞬态分量的影响就越小；式中；

k=arccos

k

；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。42

当某一极点远离零点，越靠近其他极点和原点，则相应系数越大，该瞬态分量的影响就越大；一个零点和一个极点距离非常近，把这一对零极点称为偶极子。

3）系统的零极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。根据上述，把系数很小的分量，远离虚轴衰减很快的分量常常忽略，高阶系统就可用低阶系统来近似估计。

4）对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为主导极点。

应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估。

43一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。找到了一对共轭复数极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计。44试求阶跃响应。解：c(t)=1

1.1e

t+0.11e

10t

≈

1

1.1e

t主导极点是s=1

，这时系统传递函数近似为一阶:tc(t)01例3-3已知闭环传递函数为4546例3-4已知闭环传递函数为试求阶跃响应。解：

j

0

1

10

1.25c(t)=1

0.22e

t

0.78e

10t47tc(t)01

0.22

0.78

0.78e

10t

0.22e

t

（1）零点不影响系统动态响应分量的个数，也不影响系统的稳定性；（2）零点改变了系统动态响应的形状；（3）过渡过程要快。零点起微分加快作用。48

零极点分布对系统动态响应的影响:

1）极点决定系统固有运动属性。

2）零点决定运动模态的比重。

3）若闭环极点离虚轴较远，则对系统的动态性能影响不大。反之，则影响较大。

4）增加闭环零点，将会提高系统的响应速度。闭环零点越靠近虚轴，这种作用将会越显著。

5）增加闭环极点，将会延缓系统的动态响应，也即响应速度变慢。且离虚轴愈近，其作用愈显著。MATLAB分析控制系统时域响应读者可自行在宿舍或实验室上机仿真学习。3-3线性定常系统的稳定性分析3.3.1稳定性定义及线性定常系统稳定的充分必要条件控制系统的稳定性是相当重要的，不稳定的系统是没有意义的．但对于不同的系统，如线性的、非线性的、定常的、时变的系统而言，稳定性的定义也是不同的．本节只讨论SISO线性连续时间定常系统的稳定性．定义１有界输入、有界输出（BIBO）稳定性．

如果某系统它在一个有界输入或扰动作用下其响应也是有界的，我们称该系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的，简称系统稳定．证:假设在零初始条件下，线性定常系统的输入、输出和单位脉冲响应分别为

由卷积公式得：≤当输入

有界时，

≤

M，其中，

M是有界的正实数．则显然，对于任意正实数Q，如果有下式成立：

则，|c(t)|必为有界，这就意味着单位脉冲响应曲线的绝对值|g(τ)|

对时间τ的面积必须为有限值，即，响应曲线是收敛的，称为系统是BIBO稳定的，或稳定的；否则，系统不是BIBO稳定的，称为不稳定．

下面进一步考察线性定常系统特征方程的根和稳定性之间的关系．≤传递函数取绝对值因为复变量又因如果是特征方程的根即传递函数的极点根据传递函数的性质知道，则于是有：如果特征方程至少有一个根在右半s平面或在虚轴上，则σ≥0即|e-σt|≤1=M,于是有显然不满足BIBO稳定条件．因此，要满足BIBO稳定，则特征方程的根都必须位于左半复平面.定义２线性定常连续时间系统的零输入和渐近稳定性．

对线性定常连续时间系统，完全由初始条件c(i)(0)产生的零输入响应c(t)

，若当t

趋于无穷时c(t)等于0，则我们称该系统是零输入稳定的，简称稳定，或渐近稳定的，反之，则称系统是不稳定的．证设线性定常系统在给定r(t)、扰动

f(t)及初值

作用下的响应为：例如：初值则系统在输入信号r和初始条件激励下的输出为：特征方程：特征方程的特征根如果输入为阶跃信号，即，则该系统的阶跃响应t≥0所以线性定常系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，即特征方程的特征根，而与外界输入无关．因而可取：考察系统的零输入响应取拉氏反变换得是系统特征程的单实根部分，是特征方程共轭复根的实部如果线性定常系统，即所有特征根平面时，则有则称该线性定系统是零输入稳定的，也简称渐近稳定的或稳定的．具有负实部或均在左半s如果线性定常系统有一个或一个以上特征根具有正实部;或如果有部分特征根在虚轴上,即

σi=0（指重的纯虚根）,而其余的特征根即使均在左半s平面,也有

，则称该系统是不稳定的

如果有部分特征根在虚轴上，即σi=0（指单的纯虚根，而不是重的纯虚根），而其余的特征根均在左半s平面，则系统处于临界状态，此时

（常数）,则称系统的稳态响应为等幅振荡，系统处于临界稳定或临界不稳定状态MATLAB验证MATLAB验证综上所述，线性定常系统稳定的充要条件是其全部特征根应满足Re(pi)<0,(i=1…n)，或全部特征根均在左半s平面．即，对于线性定常系统，BIBO、零输入和渐近稳定性均要求特征方程所有的特征根均位于复平面的左半平面．线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有性能，而与外界条件无关；而非线性系统的稳定性相当复杂，可能与初值和外加激励有关，也可能出现稳定的自激振荡现象．3.3.2劳斯(Routh)判据

设n阶系统的特征方程为

D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=an(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0

先考查特征方程系数，若特征方程中有负数或零（缺项），则该系统是不稳定的.结论：线性定常系统稳定，则特征方程的系数一定均为大于零，反之如果线性定常系统特征方程的系数均大于零，则控制系统不一定是稳定的．这就是线性定常系统稳定的必要条件．将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)

snanan-2

an-4an-6……sn-1an-1an-3an-5an-7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1其中，第一行和第二行是由特征方程各项的系数构造的表头

如此类推．计算时，为简化运算，可用一正数去乘或除某一行各项，不改变稳定性结论，若劳斯表第一列各数均为正数，则控制系统是稳定的．若第一列有负数，则控制系统是不稳定的，且符号改变的次数表示系统在右半平面根的个数．例3-9已知系统特征方程

方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：

劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即所有特征根均s平面的左半平面。例3-10系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表：

劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。

例3-11系统特征方程

它有一个系数为负的，有劳斯判据的系统不稳定。但究竟有几个右根，仍需列劳斯表：

劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根

有两种特殊情况需要说明：＊1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或虚根，系统是不稳定或临界状态。

例3-12系统特征方程

列劳斯表

显然，劳斯表第一列出现了负的数值，并且系数的符号改变了两次，所以该系统有两个特征根在右半

平面，系统是不稳定的．用MATLAB求解系统的特征根为：-1.8832，0.2071±0.978i，-0.53，看出有一对位于右半

平面的共轭复根，系统不稳定．这与劳斯稳定判据的结果一致．1）劳斯表某行第一列系数为零，而该行其余项中某些项不为零情况例3-13系统特征方程为列劳斯表：由于s3

行出现全零行，故用s4行系数构造如下的辅助方程：2）某行每一项的系数都为零求导把

方程的系数代入全零行继续按劳斯表的计算原则进行计算，得：看出劳斯表第一列无符号改变，但由于辅助方程

的根在虚轴上，所以系统处于临界状态实际上可以解出该系统特征方程的特征根为3.3.3赫尔维茨判据

设系统的特征方程式为以特征方程式的各项系数组成如下行列式及其顺序主子式

全部为正，即显然，当系统特征方程阶次高于3次时，赫尔维茨方法计算工作量大．后来李纳德（Lienard）已证明，当所有时，则系统稳定的．例用赫尔维茨判据分析右图所示系统的稳定性解因为该系统的开环传递函数为特征方程为于是有赫尔维茨判别式为所以，闭环控制系统是稳定的劳斯判据不仅可判断线性定常系统的绝对稳定性，而且还可确定系统的相对稳定或稳定裕量．例系统结构图如图所示，1）试确定系统稳定时K的取值范围3.3.4劳斯稳定判据的应用2）若要求系统特征根具有

的稳定裕量，的取值范围为多少？解因为闭环系统的特征方程为：劳斯表为：显然，要保证劳斯表的第一列全为正数，即控制系统是稳定的，则要求增益的取范围欲使该系统具有

的稳定裕量，如图3.33所示的阴影部分，利用坐标平移，可令

代入原特征方程中化简得：新列写劳斯表得：要保证劳斯表的第一列全部大于零，即K的值范围应为0.675<K<4.8时，该系统具有σ=1的稳定裕量．可见，稳定裕量要求越大，所允许的比例增益

将越小．由本例也得到一个重要结论就是通常系统的比例增益越大，则对控制系统稳定性越不利．相对稳定性和稳定裕量

相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离，称之为稳定裕量。为了能应用上述的代数判据，通常将s平面的虚轴左移一个距离δ，得新的复平面s1，即令s1=s+δ或s=s1-δ得到以s1为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用劳斯判据判别新特征方程式的稳定性，若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-δ的左侧，δ称为系统的稳定裕量

第3章控制系统的时域分析3.4系统的稳态误差通常系统的控制目标之一就是要求系统输出的稳态响应要精确跟踪期望的参考输出信号，系统的稳态误差ess(Steady-stateErrors)是控制系统精度（准确度）的一种度量，常称为稳态性能．在控制系统分析与设计中，稳态误差是一项重要的技术指标，要求稳态误差最小化，或保持在某个可以接受的范围内，同时暂态响应也必须满足一套相应的指标要求．显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义．本章主要讨论线性控制系统由系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差，即原理性稳态误差的计算方法，其中包括系统类型与稳态误差的关系．3.4.1误差及稳态误差的定义

系统的误差e(t)一般定义为被控量的希望值与实际值之差。即

e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值

对于下图所示的反馈控制系统，常用的误差定义有两种

1.输入端定义2.输出端定义当图中反馈为单位反馈时，即H(s)=1时，上述两种定义可统一为

误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态分量——稳态误差记为ess。定义稳态误差为稳定系统误差响应e(t)的终值。当时间t趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为

由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，则代入E(s)表达式得从上式得出两点结论：1.稳态误差与系统输入信号r(t)的形式有关；2.稳态误差与系统的结构及参数有关。3.4.2稳态误差的计算

1.系统的类型系统的开环传递函数G(s)H(s)可表示为

系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数来分类。把γ=0，1，2，…的系统，分别称为0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…系统。

可得系统的稳态误差计算式为：2.单位阶跃输入作用当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时，其中Kp定义为系统静态位置误差系数。Kp的大小反应了系统在阶跃输入下消除误差的能力，Kp越大，稳态误差越小对于0型系统即开环传递函数中无积分环节对于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系统即开环传递函数中有积分环节3.单位斜坡输入作用当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t·1(t)，即则有

其中

Kv定义为系统静态速度误差系数。

Kv的大小反应了系统跟踪斜坡输入信号的能力，Kv越大，系统稳态误差越小。对于0型系统

对于Ⅰ型系统

对于Ⅱ型或Ⅱ型以上系统

4.单位抛物线输入作用当系统输入为单位加速度信号时，即则系统稳态误差为其中定义为系统静态加速度误差系数。Ka的大小反应了系统跟踪加速度输入信号的能力，Ka越大，系统跟踪精度越高对于0型系统，Ka=0，ess=∞；对于Ⅰ型系统，Ka=0，ess=∞；对于Ⅱ型系统，Ka=K，；对于Ⅲ型或Ⅲ型以上系统，Ka=∞，ess=0。

表3-1各种输入下各种类型系统的稳态误差

输入形式稳态误差0型系统Ⅰ型系统Ⅱ型系统单位阶跃00单位斜坡∞0单位加速度∞∞1）0型系统对阶跃输入信号引起的稳态误差为一常值，Kp=K,误差大小与K有关，K越大，ess越小，但不为0，所以把0型系统称为有差系统2）在阶跃输入作用下，若要求系统稳态误差为0，系统至少是Ⅰ型或高于Ⅰ型的系统0型系统无法跟踪斜坡输入信号和加速度信号Ⅰ型系统在单位斜坡信号下，进入稳态时，有一个常值速度误差Ⅱ型及Ⅱ型以上系统可完全跟踪斜坡信号1）Ⅱ型系统可以跟踪加速度输入，但有一个常值误差，其大小与Ka成反比；2）要想准确跟踪加速度信号，需要Ⅲ型或Ⅲ型以上的系统例3-14系统结构如图3-9所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时，系统的稳态误差ess。首先判别系统的稳定性。由开环传递函数知，闭环特征方程为根据劳斯判据知闭环系统稳定。（自己列劳斯表）第二步，求稳态误差ess，因为系统为Ⅱ型系统，根据线性系统的齐次性和叠加性，有

故系统的稳态误差ess=ess1+ess2=0.1。例3.15已知位置随动控制系统如图3.41所示，求系统在

输入作用下系统的稳态误差，其中负载扰动

．解定性分析：为简化，忽略电机粘滞摩擦系数f稳态误差的定性分析：假设输入为常数，如果系统稳态时

也为常数，则电机转速

，也就是3.4.3动态误差系数上面介绍的ess

只能根据终值定理计算t→∞时误差e(∞)，如果sE(s)不解析，则不能用终值定理计算稳态误差。显然稳态误差ess

并不能全面了解系统进入稳态后误差随时间的变化规律，系统到达稳态（ts）后系统的误差称之为动态误差，用ess(t),(t≥ts)表示。即

稳态误差ess

与系统进入稳态后的动态误差ess(t),(t≥ts)是不同的，稳态误差是动态误差的一个极限特例，表示为例3.18

一阶系统如图3.43所示，输入

，求系统的动态误差。解：取拉普拉斯反变换得到系统误差为显然，若硬按终值定理

计算，可得

，

则结论显然是错误的．

系统进入稳态后的动态误差为：这里可以进一步定义动态误差系数，对于误差传递函数可展开为其中，分别称为动态位置、速度以及加速度误差系数。例3.20

某0型系统的开环传递函数计算

时系统稳态后的动误差级数．解：取拉普拉斯反变换得到系统进入稳态后的动态误差级数为又带入上式：考虑r(t)=t的动态误差系数？？？？3.4.4扰动作用下的稳态误差系统方框图如图3.44所示，设输入r(t)=0，得出系统在扰动d(t)作用下系统的方框图如图3.45所示．如果可得1)如果控制器无积分环节（相当于扰动点前无积分环节）则表明如扰动前无积分环节，则在阶跃扰动作用下控制系统存在稳态误差KC↑,ess↓但2）如果扰动点前有积分环节或控制器中有积分环节，则在阶跃扰动输入下，即积分控制可以提高系统控制精度例3.21图3.46所示的液位控制系统，其方框图如图3.47所示．试分析系统在扰动d(t)=Do·1(t)作用下的稳态误差ess．解

考查扰动对系统的影响，假设输入x(t)=0，由系统方框图3.47可得液位为而带入并进行部分分式展开所以增加控制器比例增益KP

，可以使得系统的稳态误差ess

减小，但

不会等于零。在实际系统中，KP增大

，系统可能不稳定（稳与准是有矛盾的）．如果控制器有积分环节，假设Gc(s)=K/s

，则

当积分控制器消除了由阶跃扰动造成的稳态误差．3.4.5减小或消除稳态误差的措施为了提高系统控制精度，通常可以采用以下措施：1）增大控制器的开环增益，但要注意系统的稳定性；2）控制器要设置积分环节，但积分环节数不能太高，以免对稳定性不利；3）闭环控制系统性能要优于开环控制；例如右图所示，1）开环系统如果则2）闭环系统则Kp↑,ess↓但设Kp为常数，如果被控过程参数发生下列变化：即对于开环系统对于闭环系统所以，环境发生变化、元件产生老化均会影响系统的稳态特性，但闭环系统比开环系统有优越的控制精度．4）采用串级控制抑制内回路扰动某串级直流电机调速控制系统的方框图如图3.49所示主调节器副调节器直流电机的传递函数数学模型若将副回路视为一个等效环节在副回路中扰动的传递函数于是串级控制系统的等效结构图可表示为图3.50所示．对一个理想控制系统，总期望扰动对输出无影响，即

（反映抗干扰能力），而输出能很好地跟踪参考输入信号，即

（反映系统跟踪输入的能力），为此串级控制抑制扰动D(s)的能力可用下式表示：若主、副调节器均采用比例调节器，其增益分别为

和

表明，主、副调节器的总增益越大，则串联控制系统抗干扰能力越强。一般

即

，所以串联控制比单回路控制系统抗扰动能力强，这意味着控制精度高．5）采用复合控制如图3.51所示的按照扰动补偿的复合控制系统，由系统方框图可得扰动作用下的输出为若r(t)=0在扰动用下误差为

显然，如果选

，可使实现了对扰动误差的全补偿．小结时域分析法是一种直接在时间域上通过对系统在典型和任意输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能方法，可以提供系统时间响应的全部信息，具有对系统性能指标分析直观、准确的优点．众所周知，动态系统的时间响应分为暂态响应和稳态响应，本章主要研究线性连续时间控制系统的时域分析，也就是系统的稳定性、暂态响应和稳态响应分析与计算．第4章根轨迹技术4.1引言4.2根轨迹绘制的基本法则4.3广义根轨迹4.4时滞系统的根轨迹4.5根轨迹法在控制系统中的应用4.1引言1、特征方程的根即闭环传递函数的极点决定了系统的绝对和相对稳定性2、闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点在s平面上的分布所决定。3、线性控制系统中常常需要研究当系统某些参数（通常为开环增益）发生变化时闭环系统特征方程的根在复平面上的分布情况，简称根轨迹．利用根轨迹研究线性系统的性能称为根轨迹法（rootlocusmethod）．当改变增益或增加开环极点和（或）开环零点时，设计者可以利用根轨迹法预测对闭环极点的影响，它是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便，在某些情况下根轨迹技术比时域分析法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用．根轨迹的基本概念根轨迹方程常规根轨迹绘制的基本规则复杂系统根轨迹的绘制根轨迹图分析系统的性能本章主要讲述以下内容4.1.1根轨迹的基本概念1948年伊文思（W．R．Evans）提出了求解线性定常系统闭环特征方程根的简便图解法，即根轨迹法.已知系统的开环零、极点分布和系统在某项指定参数为参变量的条件下，依靠一些简单的规则用作图的方法求出闭环极点的分布，绘出闭环系统传递函数的极点在s平面上的轨迹，避免了复杂的数学计算。可方便地研究系统特征方程的根与系统参数之间的关系，以及全面了解控制系统的性能，这是经典控制理论最基本的方法．设负反馈系统的开环传递函数为系统开环极点有两个系统的闭环传递函数为系统的特征方程为其特征根为因为所以二阶系统总是稳定的。K，a发生变化时，s1,2也相应发生变化。-时，系统特征根(闭环极点)变化情况如下：当系统的闭环极点为开环极点；时系统有两个互不相等的负实根，相当于过阻尼系统时，闭环极点为两个相等的负实根，相当于临界阻尼系统时，闭环极点为实部为负的共轭复根。2.当3.当4.当相当于欠阻尼系统．系统的根轨迹图

由根轨迹图可以直观地分析参数K变化时系统的各项性能。由此引出根轨迹的定义：系统的特征根随参数变化平面上移动的轨迹．利用根轨迹可分析控制系统的性能,图4.2即为上面所列举系统的根轨迹．在s性能分析-4.1.2根轨迹方程考查典型的负反馈控制系统，如图4-3所示，系统的特征方程为：

系统的闭环传递函数为（4-2）满足式（4-2）的点，必定是根轨迹上的点，式（4-2）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本条件）。因为s是复变量，所以式（4-2）可以写成式（4-3）幅值(模值)条件和式（4-4）相角条件。（4-3）（4-4）闭环零、极点与开环零、极点之间的关系：闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（4-5）：

（4-5）为系统的开环零点；

为系统的开环极点；

为系统的根轨迹增益(以区分时间常数表示的数学模型增益K)。根轨迹方程设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成幅值方程和相角方程。根轨迹方程相角方程幅值方程根轨迹的幅值条件和相角条件又可表示为：

假设研究系统的根轨迹增益闭环系统的特征根的轨迹，则称为典型根轨迹或常规根轨迹从零变化到无穷时，根轨迹方程在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而幅值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点对应的值。幅值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。

相角方程是确定系统闭环根轨迹的充分必要条件。4.2根轨迹绘制的基本规则法则1

根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。当时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为，即系统的开环极点。时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为，即系统的开环零点。当时，条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。

证明根据闭环系统的特征方程有时，由上式得到当即根轨迹始于系统的开环极点另外，特征方程可改写为当时，得即m条根轨迹终于有限的m个系统开环零点再由幅值条件：可知，当只有

才能满足上式的幅值条件，即剩余的n-m条根轨迹趋向无穷远处法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数等于系统阶次，根轨迹对称于实轴并且连续变化。

由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。法则3:根轨迹段在实轴上的分布实轴上的某一区域，若其右边开环零、极点个数之和为奇数，则该区域的实轴必是根轨迹。证明设某一系统开环零、极点分布如图4.4所示，

是实轴上的某一测试点，

是各开环极点到

点向量的相角，

是各开环零点到

点向量的相角．由图可见，

点左边开环实数零、极点到

点的向量相角为零，而右边开环实数零、极点到

点的向量相角均等于

于是有:又因为对共轭复数零极点，有

，所以，相角条件为：满足于是该实轴上的实验点

在根轨迹上对于图4.4的开环零极点分布，依本法则可知：实轴上

之间，

之间，

之间均是根轨迹的一部分．法则4根轨迹的渐近线

当开环极点数(n)大于开环零点数(m)时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为，渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为证明对于位于渐近线上无穷远处的一点，从开环零、极点到这一点的向量的相角近似相等，故相角条件为：为此，渐近线的方位角为：设无限远处有特征根实验点

，则于是可以认为，对于无限远闭环极点

而言，所有开环零、极点都汇集在一点，相当于有某条渐近线与实轴交点为

，如图4.5所示表示根轨迹的渐近线由幅值条件，有显然当时，有于是，由上面式子得到：令上式分母两边

项的系数相等，即：于是有：又因为

，

是实数或共轭复数，所以渐近线方位

在实轴上．例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为系统开环传递函数有三个极点：无零点，即系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为解：渐近线与实轴正方向的夹角为取三条渐近线如图4-4所示。图4-4根轨迹的渐近线法则5根轨迹的分离点、会合点及分离角、会合角两条或两条以上根轨迹分支在

s平面上相遇而又立即分开的点称分离点（或会合点）．分离点（或会合点）既可在实轴上，也可以位于复平面上；如果位于复平面上，则是以共轭复数对的形式出现．其中分离点（或会合点）坐标d

可按下式计算1．零、极点法式中，zj

为各开环零点的值，

pj为各开环极点的值．分离角为

，其中，

为趋向或离开分离点（或会合点）的根轨迹分支数．如

，则分离角(或会合角)为直角2．极值法由系统的特征方程式（4-15）求极值得即可确定分离点（或会合点）的值。

证明因为闭环系统的特征方程可以表为其中，令闭环系统的特征多项式为因为分离点（或会合点）对应特征方程的重根，所以有：消去

这就证明了在分离点（或会合点）处有例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为解：系统闭环特征方程为：令：解得：因为所以是会合点（或分离点）所以而不是会合点（或分离点），应舍去根轨迹分支数为2，所以会合角（分离角）为（即垂直于实轴），根轨迹图如图4.6所示．1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则一定有分离点；2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则一定有会合点；3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没有分离点又没有会合点。当然，分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点（或会合点）。说明：法则6根轨迹的出射角和入射角

根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的出射角(起始角)；根轨迹进入开环零点时切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的入射角(终止角)证明某一系统开环零极点分布如图4.7所示，设根轨迹上一实验点

距

很近，可认为

即为

处的出射角，所有开环零、极点到

点的向量相角

、

都可以用它们到

的向量角

、

来代替．由于

在根轨迹上，由相角条件得：所以或根轨迹的出射角写成一般式同理可得根轨迹的入射角：法则7根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交，则交点上的和对应的

值可用劳斯判据求得，或者令特征方程然后分别使复数方程的实部和虚部为零而求得．方法一：令代入特征方程得联立求解得到临界增益及虚轴交点

方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。续：例4-1已知系统的开环传递函数为系统的特征方程为

方法一方法二：列劳斯表为系统稳定条件为

系统临界增益K=6由辅助方程

所以根轨迹与虚轴的交点为

法则8：根轨迹之和及走向系统开环传递函数为：闭环特征方程为可将闭环特征多项式表示为：其中，为闭环特征根；

如果在

条件下，上式中的第二项

的系数与

无关，无论

取何值，总有：而特征方程的常数项为当开环极点

确定时，此时．这表明，随着

变化，闭环系统一些特征根增大时，必有一些特征根要减小．这表明在s平面上一些根轨迹向右移动时，另一些根轨迹必向左移动．例4.2

某系统的特征方程为画出系统的根轨迹．解开环传递函数改写为：1）渐近线由开环传递函数知，系统有四个开环极点：0－4无开环零点，所以渐近线与实轴的交角

与交点

分别为：得到四条渐近线方位为而渐近线与实轴交点的位置为2）与虚轴交点特征方程化简为：列写劳斯表如表4.1所示令劳斯表4.1中的

行系数为零，得根轨迹与虚轴交点对应的比例增益：将K

代入

行，根据

行的系数，得到如下辅助多项式于是根轨迹与虚轴交点位置为：或将s=jω

代入特征方程得实部和虚部分别为零的方程为：3）分离点这里用估计法，因为系统特征方程可写为：由实轴上的根轨迹法则，知道分离点在0～-4之间，当

由零逐步增大时，在实轴分离点处

应为最大，s

取不同值时，对应的

值如表4.2所示．由表4.2粗略估计出分离点在，处．4）出射角考察复极点

点的出射角，由系统开环零极点分布及相角条件得：于是得到极点

的出射角为综合根轨迹的做图法则，画出系统根轨迹图如图4.8所示．5）确定闭环极点

在绘制出闭环系统的根轨迹图之后，对于某一增益

下的闭环极点可由幅值条件试探确定，即在系统根轨迹图上取一个试探点

代入已知增益下的幅值方程，如果方程两侧平衡，则

即为系统在该增益下的闭环极点．例如要确定阻尼比

所对应的闭环极点及相应的开环增益，如图4.8所示，在s平面上作阻尼角为

的等阻尼线，与根轨迹相交于

点，容易求得

，代入幅值方程得该系统的另外一对闭环极点

可利用长除法或根与系数的关系确定：其中从图4.8中可以概略看出：因为

的实部比

大5倍以上，所以

为主导极点．闭环系统的单位阶跃响应为：这里，非主导极点部分

可忽略不计．第1章引论例4.3：系统的开环传递函数为解：开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线的倾角为与虚轴的交点为根轨迹的分会点：令第1章引论例4.4：系统的开环传递函数为开环极点为渐近线于实轴的交点为渐近线的倾角为与虚轴的交点为第1章引论根轨迹的分会点：第1章引论第1章引论4.3广义根轨迹

常规根轨迹的绘制规则是以负反馈系统的根轨迹增益为可变参数给出的。但是，实际系统中可能研究其它参数变化（如开环零点、开环极点、时间常数等）对系统特征根的影响，或研究正反馈系统参数变化的根轨迹等，上面这些根轨迹统称为广义根轨迹。4.3.1参数根轨迹以非

为可变参数的根轨迹称为参数根轨迹，可以研究系统的开环零点、极点、时间常数等对系统性能的影响。对于参数根轨迹的绘制可采用等效传递函数的原则，即由系统的闭环特征方程，求出所研究参数类似

K变化的等效开环传递函数，则常规根轨迹绘制的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。例4.9

某一负反馈系统开环传递函数为：加入一比例微分环节后开环传递函数为：求微分时间常数

变化时系统的根轨迹．解系统特征方程为：先令特征方程变为：当

时，上式改写为：即其中，等效开环传递函数为：易知，参数根轨迹的起点在原系统上。首先求参数根轨迹的渐近线．由等效开环传递函数有：例4.10多回路反馈系统的方框图如图4.18所示，试画出系统的根轨迹图化简显然，系统开环传递函数为：先画

根轨迹：特征方程为：再写出加入速度反馈环节αs的特征方程：改写等效开环传递函数为等效开环极点就是原系统特征方程的根．这样

变化时根轨迹的起点

在原系统的根轨迹上．求参数根轨迹的会合点．令

得：

绘出该系统参数根轨迹如图4.20实线所示．讨论：1)微分系数在

时，系统工作在合理的欠阻尼状态．2)加入速度反馈（即加入零点）根轨迹向左弯曲，改善了系统相对稳定性（在合适

下，闭环极点位于共轭复数极点处）．3)对同一个阻尼比

来说，如果，又因为

，所以

，即有阻尼系统的响应速度比无阻尼系统快．而对同一个

来说，如果，则，即有阻尼系统的响应速度比无阻尼系统快，且当

增大时，超调量

减小．4.3.2正反馈或非最小相位系统的根轨迹当控制系统所有开环零、极点都位于左半平面时称之为最小相位系统，反之如果系统的开环零点有位于右半平面部的根时称非最小相位系统．非最小相位系统可能出现在有局部正反馈或时滞环节存在的情况．正反馈系统的根轨迹绘制方法与常规负反馈系统根轨迹的绘制方法略有不同．如图4.21所示的局部正反馈系统，其中，内回路采用正反馈结构．局部正反馈部分的传递函数为：其特征方程为等价于上式称为正反馈系统的根轨迹的幅值条件，它与常规负反馈系统根轨迹的幅值条件相同；式(4.36)称为正反馈系统根轨迹的相角条件，它与常规负反馈系统根轨迹的相角条件不同．因此，正反馈系统的根轨迹与常规负反馈系统根轨迹相比，幅值条件完全相同，仅相角条件有所改变，所以常规根轨迹的绘制法则，原则上可以应用于正反馈系统或非最小相位系统的根轨迹的绘制．但在与相角条件有关的一些法则中，需要作适当调整．绘制正反馈系统或非最小相位系统的根轨迹时，应调整的法则有：1）根轨迹在实轴上的分布应改为：实轴上的某一区域，若其右方开环零、极点的个数之和为偶数，包括零，则该区域的实轴必是根轨迹．2）渐近线与实轴的交角改为：

，而

不变．3）出射角

和入射角

分别按如下公式计算：例4.11单位正反馈系统方框图如图4.22所示，其特征方程为:画出其系统的根轨迹．PK如果是正反馈如果是负反馈例4.12考查一时滞控制系统，其结构如图4.25所示，试概略画出系统的根轨迹解该时滞系统的特征方程为超越方程：假设

较小，时滞项用泰勒级数展开，可近似写为：近似后，特征方程改写为：按照正反馈根轨迹作图规则画出该时滞系统的概略根轨迹如图4.26所示．与无时滞情况的根轨迹比较，可知时滞的存在对系统的稳定性是不利的．4.4时滞系统的根轨迹例4.26中画出了当时滞

较小时，时滞系统的近似根轨迹图．通常时滞控制系统的方框图如图4.27所示．特征方程为：其开环传递函数为因此，闭环系统的特征方程为：显然，这是一个超越方程，数学上很难求出解析解，令则：其中所以时滞系统的特征方程表示的根轨迹的幅值和相角条件为：由此可看出，当K*取不同值时，可得到无穷多个相角条件，因此时滞系统有无穷多条根轨迹．即特征方程有无穷多个根，渐近线也有无穷多条．例4.13