四川省成都市2026届高三数学下学期4月月考试题

考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C解析：由，得，而全集，所以.2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B解析：复数的虚部是1故选：B3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B解析：由，得，即，解得，故原不等式的解集为：.4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C解析：由题意得，，则．5.的展开式中，常数项为（）A. B. C.16 D.240【答案】D解析：由展开式的通项得，令，得，常数项为.6.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（）A.10000 B.15000 C.20000 D.30000【答案】A解析：依题意，得，则有，解得，.当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得.7.如图，在三棱锥中，，，且为中边上的高．给出以下结论：①；②等于直线与平面所成的角；③是二面角的平面角．其中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D解析：对于①，因为，，平面，，所以平面，又平面，所以，①正确；对于②，因为平面，所以等于直线与平面所成的角，②正确；对于③，因为，，平面，，所以平面，由二面角的定义可知，是二面角的平面角，③正确．8.已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】B解析：因为，则函数为奇函数，又由，可知在定义域上单调递增，由可得，所以，即，又因为，，则，当且仅当，即当，时，等号成立，所以的最小值为12．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机事件，满足：，，则（）A.事件与互为对立事件B.如果，那么C.如果事件，互斥，那么D.如果事件，相互独立，那么【答案】BD解析：选项A：如果事件与事件互为对立事件，则，但，，；选项B：如果，则，即；选项C：如果事件，互斥，则；选项D：如果事件，相互独立，则事件与，事件与也分别相互独立，即，，因此.10.已知函数（，，）的部分图象如图，则下列说法正确的是（）A.B.C.是函数的图象的一个对称中心D.函数的对称轴方程为，【答案】BCD解析：对于A，根据函数的图象知，，周期，所以，故A错误；对于B，由，，有，即，所以，，则，，因为，所以，即，由，，故B正确；对于C，因为的对称中心为，，令，，则，，当时，，故C正确；对于D，由的对称轴方程为，，令，，所以，，所以函数的对称轴方程为，，故D正确．11.设过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则不存在最小值C.若，则弦的中点的轨迹方程为D.若，直线与直线：相交于点，则直线【答案】ACD解析：对于A：当时，为抛物线的焦点，准线为，.根据抛物线定义可知，故选项A正确.对于B：可设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，，所以，，则，故存在最小值，选项B错误.对于C：设的中点为，由B知，.所以，，若，则，所以，故选项C正确.对于D：易知直线的方程为，其与直线的交点的纵坐标为，所以所在直线为，故直线，选项D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则实数______.【答案】解析：由，得，解得.13.已知等差数列中，，，则______.【答案】12解析：方法1：已知为等差数列，则，由，得，解得，又，所以.方法2：设等差数列的公差为，依题意，，解得，所以.14.若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是______.【答案】解析：由，且，所以，所以，依题意，为区间上的“函数”，所以，即，所以在上恒成立，得在上恒成立.令，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数在区间上取得极大值，也是区间上的最大值，，实数的取值范围为.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）（1）由，有，即，，，，；（2）由（1）的结论有，又，，由三角形面积公式有，，在中，由余弦定理有，，的周长.16.如图；在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的动点，且.（1）若//平面，判断点在何位置，并证明你的结论；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）为中点，证明见解析（2）（1）方法1：若平面，则为中点，理由如下：在直三棱柱中，，平面，平面，平面，又平面平面，故，，又，，又，，即为的中点，从而为的中点，故当平面时，为中点；方法2：以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，（），则，，，，，，，，设平面的法向量为，由得取，得，，则平面的一个法向量，欲使平面，即使平面，则，，得，可知为的中点，故当平面时，为中点；（2）方法1：不妨设，（），则三棱锥的体积，当且仅当，即时取“＝”，此时，，分别为，的中点，过点作于点，可知为的中点，连接，则，在直三棱柱中，平面，，，平面，，是二面角的平面角，，，，，，则，故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为.方法2：三棱锥的体积为，当且仅当，即时取“＝”，此时，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，可知，则，故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为.17.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：存在正实数，使得时，函数有且只有3个零点.【答案】（1）①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；③当时，在区间上单调递增；④当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）证明见解析（1）由，可知，，①当时，，则当时，，当时，，此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；②当时，，则当时，，当时，，当时，，此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；③当时，，在区间上单调递增；④当时，，则当时，，当时，，当时，，此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；综上所述：①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；③当时，在区间上单调递增；④当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）可知，当时，是函数的极大值点，极大值，函数的极小值，令（），即，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则是的极大值点，即的极大值为，又当时，，则的值域为，即的极小值取值范围是，又，则存在，使得，即为方程的根，当时，在上单调递增，则，即，又当时，，当时，，存在正实数，使得时，函数有且只有3个零点.18.已知直线：，椭圆：.过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于点，.（1）判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论：（2）过点作直线的垂线，与直线相交于点，（ⅰ）求面积的最小值：（ⅱ）证明：直线与椭圆有且只有一个公共点.【答案】（1）直线与以线段为直径的圆相离，证明见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析（1）直线与以线段为直径的圆相离，理由如下：由已知，右焦点的坐标为，设点，，其中，，令点，到直线的距离分别为，，则，同理，，设为的中点，点到直线的距离为，则，显然，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线与以线段为直径的圆相离；（2）（ⅰ）方法1：由题意知直线不与轴重合，由已知，直线的方程可设为，联立得，（*），则，由（1）得，，当且仅当，即垂直于轴时取“＝”，根据平面几何知识，此时同时取得最小值3，的面积，故面积的最小值为.方法2：由题意知直线不与轴重合，由已知，直线的方程可设为，联立得，（*），则，由（1）得，，过焦点且与直线垂直的直线方程为，则，，的面积，令，，则，，于是，当时，单调递增，当，即时，取得最小值，最小值为，故面积的最小值为；（ⅱ）欲证直线与椭圆有且只有一个公共点，只需证明在点处切线的斜率等于直线的斜率，由（ⅰ）得，，其中，依题意，直线的斜率存在，设为，则的方程为，联立得，由于直线与椭圆仅有一个公共点，则由，得，，即，解得，过焦点且与直线垂直的直线方程为，则，，只需证明，即证明恒成立即可，即只需证明，即证明，即证明，只需证明满足方程即可，根据（ⅰ）中的方程（*），显然是方程的一个根，，由此可知，直线与椭圆有且只有一个公共点.19.某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为和；如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为.现开启这种提示灯，第一次亮红灯.（1）求第三次亮灯为红灯的概率；（2）设第次亮灯为红灯的概率为，当时，（ⅰ）求；（ⅱ）该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？【答案】（1）（2）（ⅰ）（）；（ⅱ）当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大.理由见解析（1）设事件“第次亮灯为红灯”，事件“第次亮灯为黄灯”，则第三次亮灯为红灯的概率：；（2）方法1：（ⅰ）设事件“第次亮灯为绿灯”，，，，，则，①，，即，由于，则是以为首项，为公比的等比数列，，，即，②由①②得（），（），即（）；（ⅱ）由（ⅰ）可知，，当（）时，，当且仅当时取等号，当时，，，综上，，当且仅当时取等号，亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，又，即，故，，当（）时，，，当（）时，，，，即亮红灯