重庆市九校联考2025-2026学年高一数学下学期5月期中测试【含答案】

重庆市九校2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题一、单选题1．已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．22．（

）A． B． C． D．3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为（

）

A． B． C． D．5．已知向量，满足，且，则（

）A． B． C． D．6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（

）A．3 B． C． D．47．已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题正确的有（

）A．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点B．棱台的侧面都是梯形C．因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．若，则为锐角三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在点Q，使得平面 B．不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面C．三棱锥的体积为 D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题12．设是虚数单位，，则________13．已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________14．若向量满足，，则的最小值为________四、解答题15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，．(1)证明：．(2)证明：平面平面．16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且平面平面，分别是，的中点.(1)证明：.(2)求三棱锥的体积.18．重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2km的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为直角，，分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧上选取一个景观节点P，使得，其中.为提升广场实用性，规划方案如下：1．过点P向，分别作垂直步道，，围出一个矩形，用于打造亲子游乐区，记该矩形区域的面积为；2．连接，，，在区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为.请你尝试帮助规划部门解决以下问题：(1)分别用表示亲子游乐区面积与花境景观带面积；(2)若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数，求的最大值及对应此时景观点P的位置.19．由代数基本定理，给定，方程有个复数根，且，将称为n次单位根.(1)求三次单位根，并计算与的值.(2)欧拉公式给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可简化运算过程．例如，.（i）证明：.（ii）证明：.参考答案1．B【详解】因为，所以，解得，则，由模长公式得，故B正确.2．B【详解】.3．B【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确；选项B，若，，则或，故B错误；选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确；选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确.4．B【详解】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为；圆台的下底面面积为；圆台的母线长为，所以圆台的侧面面积为，则该组合体的表面积为．故选:B．5．A【详解】由得，两式相减得，，所以，则.故选：A.6．C【详解】若有两解，则，即：，所以.7．A【详解】正方体中，平面，则平面与平面的交线与平行，取中点F，连接，，因为，有，所以四边形为经过，D，E三点的正方体的截面，在梯形中，，，，，所以四边形周长为.8．B【详解】

如图所示，作，因为，所以是中点，因为平面平面，所以平面，所以，设，则，在直角三角形中，，即：，解得：，即：，，因为，，所以和是直角三角形，且，则，设三棱锥内切球的半径为，则，，代入得：，解得：，即：三棱锥内切球的半径为.9．ABD【详解】对于A，由三棱台的性质得三棱台的各侧棱延长后必交于一点，故正确；对于B，由棱台的性质可知，棱台的侧面都是梯形，故正确；对于C，三棱台也是五面体，不满足，故错误；对于D，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，底面为正五边形时，这个棱锥为五棱锥，故正确.10．AB【详解】选项A，根据余弦定理已知，则，因此.又因为，所以为钝角，故为钝角三角形，A正确；选项B，，说明三个余弦值全为正，或一正两负.三角形中若有两个钝角，则内角和会超过，矛盾.因此只能是三个余弦值全为正，即均为锐角，为锐角三角形，B正确；选项C，，根据正弦函数性质或，即或.当时，为直角三角形，不一定是等腰三角形，C错误；选项D，余弦函数在上单调递减.若，且，则，而非，D错误.11．AD【详解】对于A，连接.当是的中点时，因为，且在正方体中易得，所以.因为平面，平面，所以平面，故A正确.对于B，连接.因为分别是的中点，所以.又易得，所以，所以四点共面，即当与点重合时，四点共面，故B错误.对于C，连接.因为，所以，故C错误.对于D，分别取的中点，构造长方体，则经过四点的球即为长方体的外接球.设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过四点的球的表面积为，故D正确.12．13【详解】因为，所以.13．或【详解】设，因为，所以，，

因为向量在向量上的投影向量的坐标为，所以向量在向量上的投影向量为，即，因为，所以，将代入解得，所以或.14．2【详解】由，所以，所以，又由，，所以，所以，当且仅当与同向时，等号成立.所以的最小值为.15．(1)证明：连接．在中，因为E，F分别是，的中点，所以是的中位线，则，同理可得，所以．(2)证明：设，连接．因为四边形为平行四边形，所以互相平分，在中，，O是的中点，所以，在中，，O是的中点，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面．16．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，易知，则，即，则或，所以或（舍去），故；（2）由余弦定理知，即，当且仅当时取得等号，所以，即面积的最大值为.17．(1)如图，连接，，作出符合题意的图形，底面是菱形，，是等边三角形，又是的中点，，又，面，平面而面，.(2)【详解】（1）略（2）为的中点，，又是的中点，，，由（1）可知，平面平面，且面，平面，.18．(1)，(2)，此时景观点为弧的中点【详解】（1）由题设，，得，，（2）（方法一），，则，，对应，此时景观点P为弧的中点（方法二）．令，则，则，当时，，对应，此时景观点为弧的中点19．(1)