九年级数学上册《三角形相似的判定（三）：三边成比例与直角三角形判定》教学设计

九年级数学上册《三角形相似的判定（三）：三边成比例与直角三角形判定》教学设计

一、课标与教材分析

  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域，具体涉及“图形的相似”主题。课标明确要求：“掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。”本节课是在学生已经学习了相似三角形的定义、平行线分线段成比例基本事实以及“两角相等”（AA）和“两边成比例且夹角相等”（SAS）这两种判定定理的基础上，对三角形相似判定定理体系的最后完善。教材（青岛版）的逻辑顺序通常是先直观感知，再通过作图探究，最后进行推理证明，体现了从合情推理到演绎推理的思维过程。本节课的核心定理“三边成比例的两个三角形相似”（SSS）是判定三角形相似最一般化的方法，它不依赖于特定的角，具有更广的适用性。同时，教材常将直角三角形相似的特定判定（斜边和一条直角边成比例）作为特例或推论进行介绍，这既是对一般定理的应用，也体现了从一般到特殊的数学思想，并为后续解直角三角形的学习埋下伏笔。因此，本节课在知识体系上具有承上启下、完善结构的关键作用。

  从数学思想方法层面看，本节课着重强化类比、转化和分类讨论思想。将三角形全等的SSS判定与三角形相似的SSS判定进行类比，寻找联系与区别，是重要的学习方法。将证明三边成比例下的角相等问题，通过巧妙构造辅助平行线，转化为利用已知的SAS判定定理或平行线分线段成比例基本事实来解决，体现了转化思想的精髓。在直角三角形相似的判定中，对直角边与斜边不同组合情况的讨论，则渗透了分类思想。这些思想的渗透对于发展学生的数学核心素养，尤其是几何直观、推理能力和模型观念，具有重要意义。

二、学情分析

  从认知基础看，九年级学生已经具备较强的图形观察能力和逻辑推理萌芽。他们熟悉三角形全等的SSS判定方法，这为类比学习三角形相似的SSS判定提供了坚实的“最近发展区”。同时，学生刚学习了三角形相似的AA和SAS判定定理，对其证明思路（特别是构造平行线实现“缩放”与“移角”）有一定了解，这为自主探索SSS判定的证明提供了可能的方向。学生也掌握了比例的基本性质、合比等比性质等代数工具，能够进行比例式的变形与计算。

  从潜在困难与障碍看，首先，学生容易混淆全等与相似的判定条件，尤其是在SSS条件下，可能错误认为“三边对应相等”才相似。其次，定理的证明是本节课的难点。如何想到构造辅助线，以及如何将三边成比例的条件与需要证明的角相等联系起来，对学生而言是一个思维跳跃。与SAS判定证明时直接构造一个已知角不同，SSS判定证明需要同时“创造”两个角相等的关系，构思更为精巧。再次，在应用定理时，学生可能不善于从复杂图形中准确提取出需要判定的两个三角形，或者不习惯按“大对大、小对小、中对中”的顺序规范书写三边成比例的条件。对于直角三角形相似的判定，学生可能满足于记忆结论，而忽略其作为一般三角形相似判定定理（AA或SAS）推论的本质，理解上存在“断层”。

  从学习心理看，九年级学生抽象逻辑思维持续发展，对具有挑战性的逻辑证明兴趣浓厚，但同时也容易因证明的复杂性产生畏难情绪。他们渴望获得具有普适性的、强有力的解题工具（如SSS判定），并对几何定理在现实生活中的应用抱有好奇心。因此，教学设计需在夯实逻辑链条与激发探索热情之间找到平衡。

三、教学目标

  1.知识与技能：

    （1）理解并掌握三角形相似的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称“三边成比例，两三角形相似”）。

    （2）理解并掌握直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

    （3）能灵活运用三角形相似的三种判定定理（AA、SAS、SSS）以及直角三角形相似的特定判定定理，解决简单的几何证明和计算问题。

  2.过程与方法：

    （1）经历三角形相似SSS判定定理的探索、证明和应用过程，体会类比（与全等SSS判定）、转化（将边比关系转化为角相等关系）等数学思想方法。

    （2）通过参与定理的探究与证明，进一步发展观察、比较、分析、归纳和演绎推理的能力。

    （3）学会在具体问题中根据已知条件选择合适的判定方法，提升解题的策略性思维。

  3.情感态度与价值观：

    （1）在探索定理的过程中，体验数学活动的探索性与创造性，感受几何逻辑的严谨之美。

    （2）通过了解相似三角形判定在测量、工程绘图等领域的实际应用，体会数学的实用价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

    （3）在小组合作探究中，培养交流、协作的团队精神。

四、教学重难点

  教学重点：三角形相似的SSS判定定理及其证明；直角三角形相似的判定定理。

  教学难点：三角形相似SSS判定定理的证明思路的获得（辅助线的构造）；在复杂问题中灵活、准确地选择并应用合适的相似判定定理。

五、教学策略

  1.教学方法：采用“问题导学—合作探究—精讲点拨—变式训练”相结合的教学模式。以具有启发性的核心问题链驱动学生思维，组织学生开展小组讨论和动手操作（如尺规作图），在探究中生成知识。教师适时进行思路引导和逻辑梳理，对关键证明步骤进行精讲。

  2.学法指导：引导学生运用类比学习法（类比全等）、转化思想（将未知转化为已知）和归纳总结法（总结判定定理的选择策略）。鼓励学生不仅要“知其然”，更要探究“其所以然”。

  3.技术融合：利用几何画板动态演示三边长度按比例变化时三角形形状的变化，直观验证SSS判定；利用智慧课堂平台进行即时反馈和作品展示，提高课堂互动效率。

  4.跨学科视野：在应用环节，渗透物理学中的光学原理（相似三角形与影子测量）、地理学中的地图比例尺、工程学中的图纸缩放等实例，体现数学的基础工具性。

六、教学准备

  教师准备：多媒体课件（含几何画板动态图、应用实例图片）、导学案、三角板、教具模型。

  学生准备：复习三角形全等SSS判定、相似三角形AA及SAS判定定理；直尺、圆规、量角器；预习导学案。

七、教学过程

（一）创设情境，问题导入（预计用时：8分钟）

  师：（利用多媒体展示）同学们，请看屏幕上的一组图片：这是不同尺寸的国旗，这是不同比例尺的同一区域地图，这是被放大镜放大的三角形图案。它们有什么共同几何特征？

  生：都是由形状相同、大小不同的图形组成的。

  师：对，也就是相似图形。对于最基本的相似图形——相似三角形，我们已经掌握了两种判定方法，是哪两种？

  生：两角分别相等（AA），两边成比例且夹角相等（SAS）。

  师：很好。回顾三角形全等的判定，我们有SSS、SAS、ASA、AAS等方法。那么，对于三角形相似，除了基于角的AA和基于“边角边”的SAS，是否也存在一种类似于全等中SSS的判定方法，即只根据三边的比例关系就能判定相似呢？更进一步，对于特殊的三角形——直角三角形，它的相似判定是否有更简洁的“专属”条件？这就是我们今天要共同探究的核心问题。（板书课题核心：三角形相似的判定（三））

  （设计意图：从现实中的相似现象引入，快速链接旧知，并通过类比全等判定，自然提出本节课的核心探究问题，激发学生的求知欲和类比探究的兴趣。）

（二）活动探究，建构新知（预计用时：25分钟）

  活动一：大胆猜想——三边成比例能否判定相似？

  师：请大家先凭几何直觉思考：如果两个三角形的三组对应边的比都相等，它们的形状一定相同吗？请各小组利用手中的工具进行验证。

    任务1：画任意△ABC。

    任务2：度量其三边长度，并计算比值k（例如，令k=1.5）。

    任务3：尝试画出△A‘B’C‘，使得A’B‘=k·AB，A’C‘=k·AC，B’C‘=k·BC。（学生操作，教师巡视指导）

    任务4：用量角器测量两个三角形的对应角，你发现了什么？

  生：（通过操作与交流）我们发现画出来的△A‘B’C‘与△ABC的对应角都相等，形状看起来一模一样，只是大小不同。所以我们猜想：三边对应成比例的两个三角形相似。

  师：（利用几何画板动态演示）让我们用更精确的软件来验证这个猜想。我任意改变△ABC的形状和大小，然后设定一个比例系数k，让软件自动生成三边长为k倍的新三角形。大家观察，无论原三角形如何变化，新三角形与原三角形是否总是相似？（学生观察并肯定）大量的实验观察支持我们的猜想。但数学不能止于实验，我们需要进行严格的逻辑证明。

  活动二：严密证明——如何证明“SSS”判定定理？

  师：已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘。求证：△ABC∽△A’B‘C’。

    这是本节课的难点。请同学们回顾我们证明SAS判定定理时，关键的一步是什么？

  生：在一条边上截取一段等于另一三角形的对应边，然后作平行线，构造出一个与已知三角形相似的三角形，再证明它就是目标三角形。

  师：非常棒的回顾！这种“构造—转化”的思想是我们的法宝。现在面对三边成比例的条件，我们没有直接的角相等信息。能否借鉴之前的经验，也通过构造平行线，来“创造”出角相等的条件呢？请大家以小组为单位，展开讨论，尝试寻找证明的突破口。提示：我们可以在△ABC（较大者假设为它）的边上，如何截取线段，才能利用上三边成比例的条件？（学生小组展开激烈讨论，教师深入各组倾听，对陷入困境的小组给予提示：考虑在AB、AC边上同时截取，使截得的线段与△A‘B’C‘的边对应成比例。）

    经过充分讨论，请一个小组代表分享他们的思路。

  生代表：我们组的想法是，在边AB上截取AD=A‘B’，在边AC上截取AE=A‘C’。然后连接DE。这样，根据已知的比例式，结合截取的等量关系，可以推出AB/AD=AC/AE。然后……我们希望能证明DE∥BC，并且DE=B‘C’，这样就能通过SAS或平行来证明相似了。

  师：思路非常清晰！抓住了“截取”这个关键动作。让我们沿着这个思路，一起完成严谨的证明书写。

    （教师引导学生共同完成证明，并板书核心步骤）

    证明：设在△ABC和△A‘B’C‘中，AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘=k(k>0)。

    在线段AB（或延长线）上截取AD=A‘B’，在线段AC（或延长线）上截取AE=A‘C’，连接DE。

    ∵AB/A‘B’=AC/A‘C’=k,且AD=A‘B’,AE=A‘C’。

    ∴AB/AD=AC/AE=k。∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角A相等，SAS判定）。

    ∴DE/BC=AD/AB=1/k?不，由相似得DE/BC=AD/AB。又∵AD=A‘B’，AB/A‘B’=k，∴AD/AB=1/k。∴DE=(1/k)*BC。

    但已知BC/B‘C’=k，即B‘C’=(1/k)*BC。∴DE=B‘C’。

    在△ADE和△A‘B’C‘中，∵AD=A’B‘,AE=A’C‘(作图)，DE=B’C‘(已证)。

    ∴△ADE≌△A’B‘C’(SSS)。

    又∵△ADE∽△ABC，∴△A‘B’C‘∽△ABC。

  师：证明完成。我们通过“截取—构造—证明全等—传递相似”四步，成功地将三边成比例的条件，转化为我们熟悉的SAS相似判定，进而证明了猜想。这个过程完美体现了“化未知为已知”的转化思想。我们把这个结论作为判定定理3，请大家齐声朗读定理内容，并注意关键词。

  生：（齐读）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

  师：简述为“三边成比例，两三角形相似”。它的符号语言需要我们规范书写：在△ABC和△A‘B’C‘中，∵AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘，∴△ABC∽△A’B‘C’。

  活动三：特殊到一般——直角三角形相似的判定

  师：三角形家族中，直角三角形是一类非常重要的特殊三角形。对于直角三角形的相似，除了可以运用刚才我们总结的三种一般判定定理外，有没有更简捷的判定方法？我们知道，全等直角三角形有“HL”定理。那么相似呢？请大家思考：如果两个直角三角形，斜边和一条直角边对应成比例，它们相似吗？为什么？

    （引导学生分小组讨论证明思路。关键点：设斜边和一直角边的比值为k，则利用勾股定理可推出另一直角边的比值也为k，从而满足三边对应成比例（SSS判定），故相似。）

    学生尝试表述证明过程后，教师进行提炼和规范。

    结论：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

    简记为“斜边和直角边成比例，两直角三角形相似”。

    师：此定理是直角三角形相似的一个特有判定方法，它是我们一般三角形相似判定定理（特别是SSS）在直角三角形情境下的一个直接推论，体现了特殊性与一般性的统一。

  （设计意图：通过“实验观察—提出猜想—逻辑证明”的完整数学探究过程，让学生亲历定理的生成，深刻理解其内涵与证法。将难点（证明）分解到小组合作探究与教师引导的精讲中，突破思维障碍。直角三角形判定的处理，引导学生运用已证一般定理进行推理，培养其逻辑演绎能力。）

（三）典例精析，深化理解（预计用时：12分钟）

  例1：根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

    (1)AB=4cm,BC=6cm,CA=8cm;DE=12cm,EF=18cm,FD=24cm。

    (2)∠A=70°，∠B=48°;∠D=70°，∠E=62°。

    (3)AB=6,AC=8,∠A=85°;DE=9,DF=12,∠D=85°。

    (4)AB=5,BC=7,CA=9;DE=6,EF=10,FD=14。

    (5)在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=10,AC=8;DE=15,DF=12。

  师：请同学们先独立思考，逐一判断，并思考每题运用的判定定理是什么。

  （学生思考作答，教师点评）

  生1：第(1)题，三边对应成比例：4/12=6/18=8/24=1/3，所以相似，用SSS判定。

  生2：第(2)题，∠A=∠D=70°，但∠B=48°，∠E=62°，∠B≠∠E，需要看第三角。∠C=180°-70°-48°=62°，所以∠C=∠E=62°，有两角相等，用AA判定。

  生3：第(3)题，AB/DE=6/9=2/3，AC/DF=8/12=2/3，且夹角∠A=∠D=85°，所以用SAS判定。

  生4：第(4)题，需要计算三边比：5/6,7/10,9/14，它们不相等（5/6≈0.833，7/10=0.7，9/14≈0.643），所以不相似。

  生5：第(5)题，是直角三角形。斜边AB/DE=10/15=2/3，直角边AC/DF=8/12=2/3，斜边和一条直角边对应成比例，所以两直角三角形相似。也可以用勾股定理算出另一直角边再验证SSS，但直接用直角三角形判定定理更快捷。

  师：总结得很好！通过这组练习，我们要明确两点：第一，判定三角形相似有四种常用方法（定义、AA、SAS、SSS），对于直角三角形还有一种特有方法。第二，在具体问题中，要优先选择条件最直接、最简便的方法。例如，有角等优先考虑AA，有边比且有夹角考虑SAS，只有边比关系或直角三角形中斜边直角边比考虑SSS或HL相似。

  例2：已知如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点。求证：△ABC∽△FED。

    （教师引导学生分析：由中点条件，可推出中位线性质，从而得到四组对应边成比例，符合SSS判定条件。学生口述证明过程，教师板书规范格式，强调如何有序地列出三组比例式。）

  （设计意图：例1通过对比练习，帮助学生辨析和巩固五种判定方法，形成选择策略。例2将SSS判定置于中位线构成的图形中，加深对定理应用的理解，并复习了三角形中位线知识，促进知识整合。）

（四）变式演练，巩固提升（预计用时：10分钟）

  练习1（基础巩固）：教材课后练习题组（选取涉及SSS判定和直角三角形判定的题目）。

  练习2（能力提升）：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1。判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。（通过网格计算边长，利用勾股定理，再判断三边是否成比例。此题考察数形结合与运算能力。）

  练习3（综合应用）：如图，为了测量一个大峡谷的宽度AB，测量者在B点立一根标杆BC（垂直于地面），在点D处放置一面镜子，测量者从点A处后退到点E，恰好在镜子中看到标杆顶端C的像与自身眼睛在同一直线上。已知测量者身高AE=1.7米，眼睛离头顶距离忽略不计，测得AB=100米，BD=10米，DE=1米。求峡谷宽度AB。（此题构建出两对相似直角三角形，需要学生识别模型并利用相似比建立方程。教师引导学生分析光线的反射角相等从而得到角等，进而判定相似。）

  （学生分组完成练习，教师巡视，针对共性问题进行集中点拨。练习3作为选做或思考题，供学有余力的学生挑战，体现分层教学。）

  （设计意图：分层设置练习题，从直接应用到网格计算，再到实际测量问题，难度递进，旨在巩固技能、发展能力、感悟应用价值。综合应用题融合了物理光学知识，体现了跨学科视野。）

（五）课堂小结，体系建构（预计用时：4分钟）

  师：请同学们回顾本节课，我们共同探索并完善了三角形相似的判定知识体系。现在，请大家以小组为单位，用思维导图或知识树的形式，梳理今天所学内容及其与旧知识的联系。

  （学生构思并简要分享，教师利用板书或课件进行最终总结性建构）

    1.我们学习了三角形相似的第三个判定定理：三边成比例（SSS）。其证明关键在于构造辅助平行线（通过截取），利用SAS判定进行转化。

    2.我们得到了直角三角形相似的一个特有判定定理：斜边和一条直角边成比例（类似于全等的HL）。

    3.至此，三角形相似的判定方法体系已完备：定义法、AA、SAS、SSS，以及直角三角形的“HL”相似判定。

    4.思想方法：类比（与全等）、转化（化未知为已知）、从一般到特殊。

  （设计意图：引导学生自主回顾与梳理，将新知纳入原有的知识网络，形成结构化、系统化的认知体系。强调思想方法，提升学习的高度。）

（六）分层作业，拓展延伸

  必做题：

    1.完成教材本节后配套练习题。

    2.整理并默写三角形相似的所有判定定理（文字、符号、图形语言）。

  选做题：

    1.探究：如果两个三角形的两边对应成比例，且其中一边的对角相等，这两个三角形一定相似吗？请举例说明。

    2.实践应用：查阅资料，了解相似三角形在古希腊数学家泰勒斯测量金字塔高度、现代工程测量（如全站仪原理）中的具体应用，写一份简要的说明报告。

八、板书设计

  （左侧主板书区域）

  三角形相似的判定（三