4.5.2　用二分法求方程的近似解-高一上学期数学必修一课件人教A版

4.5.2用二分法求方程的近似解【学习目标】1.了解二分法的原理及其适用条件.(数学抽象)2.会用二分法求方程的近似解.(数学运算)3.体会二分法蕴含的逐步逼近与程序化思想.(数学抽象)一、二分法的概念对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的_____所在区间_________,使所得区间的两个_____逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.2.求区间(a,b)的中点c.零点一分为二端点3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令____;(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令____.4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复步骤2~4.b=ca=c【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.()提示:不是所有函数的零点都可以用二分法来求.例如y=|x|的零点,在零点左右两侧函数值不变号,无法用二分法来求.(2)对于图象连续的函数,二分法只能判定函数是否存在零点,不能判定零点个数.()提示:二分法只能判定是否有零点,零点个数不确定.×√(3)用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任意一位.()提示:用二分法求方程的近似解时,只要满足精确度要求,区间(a,b)内的任意一点都可以作为近似解,可以精确到小数点后的任意一位.(4)在一定精确度下,近似值不是唯一的.()提示:在一定的精确度下,满足精确度的区间内的任意一点都可以作为零点近似值.√√类型1二分法概念的理解(数学抽象)【典例1】(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点,其中能用二分法求其零点的是(

)√√【解析】选AC.由二分法的定义知,若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且满足f(a)·f(b)<0,则可以利用二分法求函数f(x)的零点的近似值.因为选项B,D中函数零点左右函数值不变号,所以不能用二分法求函数零点;选项A,C中函数零点左右函数值变号,能用二分法求函数零点.

√【解题有招】二分法概念的理解(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理;(2)应用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,如y=x2,该函数的零点为0,零点两侧函数值符号相同,不能用二分法求解.

√类型2二分法的应用(数学运算)角度1

求方程的近似解【典例2】用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确到0.1).参考数据:【分析】根据题意,结合二分法的计算步骤,逐次计算,即可求解.x1.1251.251.3751.43751.51.6251.752x2.182.382.592.712.833.083.36【解析】令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,因为1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4,所以2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.4.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x1=1.5f(x1)=0.33>0(1,1.5)x2=1.25f(x2)=-0.37<0(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)=-0.035<0(1.375,1.5)x4=1.4375f(x4)=0.1475>0【即学即练】(2026·深圳高一检测)函数f(x)的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.4375)=0.165,那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为(

)A.1.35

B.1.37

C.1.41

D.1.44√【解析】选C.因为f(1)=-2<0,f(1.5)=0.625>0,所以f(x)在(1,1.5)内有零点,即|1.5-1|=0.5>0.1不满足精确度,取中点1.25,因为f(1.25)=-0.984<0,f(1.5)=0.625>0,所以f(x)在(1.25,1.5)内有零点,|1.5-1.25|=0.25>0.1不满足精确度,因此取中点1.375,因为f(1.375)=-0.260<0,f(1.5)=0.625>0,所以f(x)在(1.375,1.5)内有零点,|1.5-1.375|=0.125>0.1不满足精确度,取中点1.4375,因为f(1.4375)=0.165>0,f(1.375)=-0.260<0,所以f(x)在(1.375,1.4375)内有零点,且|1.4375-1.375|=0.0625<0.1满足精确度,1.41∈(1.375,1.4375),故方程的一个近似解为1.41.

【解题有招】二分法求方程近似解或函数零点近似值的方法(1)根据方程的解即对应函数的零点,求方程f(x)=0的近似解,可以按照二分法求函数零点的步骤进行;(2)初始区间的确定要包含函数的变号零点,当零点所在区间符合精确度要求时,停止二分,区间内的任意一点都可以作为零点的近似解,一般取端点作为零点的近似解.【即学即练】借助信息技术,用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+2-2x零点的近似值得到如表数据:则由表中的数据,可得函数f(x)=ln(x+1)+2-2x的一个零点的近似值为(精确度为0.1)(

)A.1.5625

B.1.25 C.1.4375

D.1.46875x1.001.251.501.625f(x)0.69310.43250.0879-0.1193√【解析】选A.因为f(1.50)·f(1.625)<0,故f(x)的零点在区间(1.50,1.