离散数学 (第七版) 课件 第五部分 代数结构

1

代数系统简介2第9章代数系统简介9.1二元运算及其性质9.2代数系统9.3几个典型的代数系统39.1二元运算及其性质二元运算及一元运算的定义二元运算的性质交换律、结合律、幂等律、消去律分配律、吸收律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元4二元运算的定义及其实例定义设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f

封闭.例1(1)N上的二元运算：加法、乘法.(2)Z上的二元运算：加法、减法、乘法.

(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S={a1,a2,…,an},ai

∘aj

=ai，

∘为S上二元运算.

5二元运算的实例（续）

(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即

矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：∪,∩,－,

.(7)SS

为S上的所有函数的集合：合成运算∘.

6n元运算定义设S为集合，n为正整数，函数称为S上的n元运算，简称为n元运算.例2(1)Z,Q

和R

上的一元运算:求相反数(2)非零有理数集Q*和实数集R*的一元运算:

倒数(3)复数集合C

上的一元运算:

求共轭复数(4)幂集P(S)上,全集为S:求绝对补运算~

(5)A为S上所有双射函数的集合，A

SS:求反函数(6)在

Mn(R)(n≥2)上，求转置矩阵7运算的表示算符：∘,∗,·,

,

等符号表示n元运算

∘(a1,a2,…,an)=b.对二元运算

∘，如果x与y运算得到z，记做

x∘y=z；对一元运算∘,x的运算结果记作∘x

注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符8公式表示

例3设R

为实数集合，如下定义

R

上的二元运算∗：

x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=30.5∗(-3)=0.5

二元与一元运算的表示9运算表的形式

∘a1

a2

…

an

∘aia1a2...ana1∘a1

a1∘a2

…

a1∘ana2∘a1

a2∘a2

…

a2∘an.........an∘a1

an∘a2

…

an∘an

a1a2...an∘a1∘a2

...∘an运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）10运算表的实例例4A=P({a,b}),

,∼分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集）

的运算表∼的运算表

{a}{b}{a,b}

X

∼X

{a}{b}{a,b}

{a}{b}{a,b}{a}

{a.b}{b}{b}{a,b}

{a}{a,b}{b}{a}

{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}

11运算表的实例（续）例5Z5={0,1,2,3,4},

,

分别为模5加法与乘法

的运算表

的运算表

01234

01234012340123412340234013401240123

01234000000123402413031420432112二元运算的性质

定义设∘

为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,y

S有

x∘

y=y∘

x,

则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,z∈S有

(x∘

y)∘

z=x∘

(y

∘

z),

则称运算在S上满足结合律.

(3)如果对于任意的x∈S有

x

∘

x=x,

则称运算在S上满足幂等律.13实例分析Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|

2.集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+有有无普通乘法

有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法

无有无P(B)并

有有有交有有有相对补无无无对称差有有无AA函数符合

无有无14二元运算的性质（续）

定义设∘

和∗为S上两个不同的二元运算,(1)如果

x,y,z∈S有

(x∗y)∘

z=(x∘

z)∗(y∘

z)

z∘(x∗y)=(z∘

x)∗(z∘

y)

则称∘

运算对∗运算满足分配律.(2)如果∘

和∗都可交换,并且

x,y∈S有

x∘

(x∗y)=xx∗(x∘

y)=x

则称∘

和∗运算满足吸收律.15实例分析

集合运算分配律吸收律

Z,Q,R普通加法+与乘法

对+可分配无+对不分配

Mn(R)矩阵加法+与乘法

对+可分配无+对不分配

P(B)并

与交

对

可分配有

对

可分配交

与对称差

对可分配无

对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|

2.16二元运算的特异元素单位元定义设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）

S，使得对任意x∈S都有

el

∘

x=x(或x

∘

er=x)，则称el

(或er)是S中关于

∘

运算的左(或右)单位元.若e∈S关于

∘

运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于

∘

运算的单位元.单位元也叫做幺元.17二元运算的特异元素（续）零元设

∘

为S上的二元运算,

如果存在θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有

θl∘

x=θl

(或x∘θr=θr)，则称θl(或θr

)是S中关于∘

运算的左(或右)零元.若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算∘

的零元.18二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元

令e为S中关于运算∘的单位元.对于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得

yl∘

x=e（或x

∘

yr=e），则称yl(或yr

)是x的左逆元(或右逆元

).关于∘运算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元.如果x的逆元存在，就称x是可逆的.19实例分析集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0无X的逆元

x普通乘法

10X的逆元x

1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元

X矩阵乘法

n阶单位矩阵n阶全0矩阵X的逆元X

1（X是可逆矩阵）P(B)并

B

的逆元为

交B

B的逆元为B对称差

无X的逆元为X20唯一性定理定理设

∘为S上的二元运算，el和er

分别为S中关于运算的左和右单位元，则el

=er

=e为S上关于∘

运算的惟一的单位元.

证el=el

∘

er=el∘

er=er

所以el

=er,将这个单位元记作e.假设e’也是S中的单位元，则有

e’=e∘

e’=e.惟一性得证.类似地可以证明关于零元的惟一性定理.注意：当|S|

2，单位元与零元是不同的；当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.21惟一性定理（续）定理设∘为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.

证由yl∘

x=e

和x

∘

yr=e

得

yl

=yl

∘

e=yl∘(x∘

yr)=(yl

∘

x)∘

yr=e∘

yr

=yr令yl

=yr=y,则y是x的逆元.假若y’∈S也是x的逆元,则

y'=y’

∘

e=y’

∘(x∘

y)=(y’

∘

x)∘

y=e

∘

y=y所以y是x惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x

1.22消去律定义设∘为V上二元运算，如果

x,y,z

V，若x∘

y=x∘

z，且x不是零元，则y=z

若y∘

x=z∘

x,且x不是零元，则y=z

那么称∘

运算满足消去律.实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律.Zn关于模n

加法满足消去律，当n

为素数时关于模n乘法满足消去律.当n

为合数时关于模n

乘法不满足消去律.23例题分析解(1)∘

运算可交换，可结合.任取x,y

Q,

x∘

y=x+y+2xy=y+x+2yx=y∘

x,

任取x,y,z

Q,(x

∘

y)∘

z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx∘

(y∘

z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例6设∘

运算为Q上的二元运算，

x,y

Q,x∘y=x+y+2xy,(1)∘运算是否满足交换和结合律?说明理由.(2)求∘

运算的单位元、零元和所有可逆元.24给定x，设x的逆元为y,则有x∘

y=0成立，即

x+y+2xy=0

(x

=

1/2)因此当x

1/2时，是x的逆元.例题分析（续）(2)设∘运算的单位元和零元分别为e和

，则对于任意x有x∘e=x成立，即

x+e+2xe=x

e=0由于∘

运算可交换，所以0是幺元.对于任意x有x∘

=

成立，即

x+

+2x

=

x+2x

=0

=

1/225例题分析（续）例7(1)说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的.(2)求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.

a

b

c∘a

b

c

a

b

cabcc

a

b

a

b

cb

c

aabca

a

ab

b

bc

c

cabca

b

c

b

c

cc

c

c解(1)

满足交换、结合律；∘

满足结合、幂等律；

满足交换、结合律.(2)

的单位元为b,没零元，

a

1=c,b

1=b,c

1=a

∘

的单位元和零元都不存在，没有可逆元素.

的单位元为a，零元为c,a

1=a.b,c不可逆.26例题分析（续）例8设A={a,b,c},构造A上的二元运算*使得a*b=c,c*b=b,且*运算是幂等的、可交换的，给出关于*运算的一个运算表，说明它是否可结合，为什么？

*

abc

abc

acb

bc

cb

根据幂等律和已知条件a*b=c,c*b=b得到运算表根据交换律得到新的运算表方框可以填入a,b,c中任一选定的符号,完成运算表不结合，因为(a*b)*b=c*b=b,a*(b*b)=a*b=c

27由运算表判别算律的一般方法交换律：运算表关于主对角线对称幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致消去律：所在的行与列中没有重复元素单位元:所在的行与列的元素排列都与表头一致零元：元素的行与列都由该元素自身构成A的可逆元：a所在的行中某列(比如第j列)元素为e，且第j行

i列的元素也是e，那么a

与第j个元素互逆结合律：除了单位元、零元之外，要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立28代数系统定义同类型与同种的代数系统子代数积代数9.2代数系统29代数系统定义与实例定义

非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数，记做

V=<S,f1,f2,…,fk>.

S

称为代数系统的载体，S和运算叫做代数系统的成分.有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称为代数常数,例如二元运算的单位元.有时也将代数常数作为系统的成分.30实例<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>是代数系统，

+和·分别表示普通加法和乘法.<Mn(R),+,·>是代数系统，

+和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法.<Zn,

,

>是代数系统，Zn＝{0,1,…,n-1}，

和

分别表示模n的加法和乘法，

x,y∈Zn，

x

y=(x＋y)modn，x

y=(xy)modn<P(S),∪,∩,~>也是代数系统，∪和∩为并和交，~为绝对补31同类型与同种代数系统定义(1)如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统.(2)如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统.例1V1=<R,+,·,0,1>,V2=<Mn(R),+,·,

,E>,

为n阶全0矩阵，E为n阶单位矩阵

V3=<P(B),∪,∩,

,B>32V1V2V3+可交换,可结合·可交换,可结合+满足消去律·满足消去律·对+可分配+对·不可分配+与·没有吸收律+可交换,可结合·可交换,可结合+满足消去律·满足消去律·对+可分配+对·不可分配+与·没有吸收律∪可交换,可结合∩可交换,可结合∪不满足消去律∩不满足消去律∩对∪可分配∪对∩可分配∪与∩满足吸收律V1,V2,V3是同类型的代数系统V1,V2是同种的代数系统V1,V2与V3不是同种的代数系统同类型与同种代数系统（续）33子代数定义设V=<S,f1,f2,…,fk>是代数系统，B是S的非空子集，如果B对f1,f2,…,fk

都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<B,f1,f2,…,fk>是V的子代数系统，简称子代数.有时将子代数系统简记为B.实例N是<Z,+>和<Z,+,0>的子代数.

N

{0}是<Z,+>的子代数，但不是<Z,＋,0>的子代数说明：子代数和原代数是同种的代数系统对于任何代数系统V，其子代数一定存在.34关于子代数的术语最大的子代数就是V本身.如果V中所有代数常数构成集合B，且B对V中所有运算封闭，则B就构成了V的最小的子代数.最大和最小子代数称为V的平凡的子代数.若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数.例2设V=<Z,+,0>，令nZ={nz|z∈Z}，n为自然数，则nZ是V的子代数,当n=1和0时，nZ

是V的平凡的子代数，其他的都是V的非平凡的真子代数.35积代数定义设V1=<S1,o>和V2=<S2,>是代数系统，其中

o

和是二元运算.V1与V2的积代数

是V=<S1

S2,∙>,<x1,y1>,<x2,y2>S1

S2,<x1,y1>∙<x2,y2>=<x1ox2,y1

y2>例3V1=<Z,+>,V2=<M2(R),∙>,积代数<Z

M2(R),o>

<z1,M1>,<z2,M2>Z

M2(R),

<z1,M1>o<z2,M2>=<z1+z2,M1∙M2>

36积代数的性质设V1=<S1,o>和V2=<S2,

>是代数系统，其中o

和

是二元运算.V1与V2的积代数是

V=<S1

S2,∙>(1)若o

和

运算是可交换的，那么∙运算也是可交换的

(2)若o

和

运算是可结合的，那么∙运算也是可结合的

(3)若o

和

运算是幂等的，那么∙运算也是幂等的

(4)若

o

和

运算分别具有单位元

e1

和e2，那么∙运算也具有单位元<e1,e2>(5)若o

和

运算分别具有零元1和2，那么∙运算也具有零元<

1,

2>(6)若x关于

o

的逆元为x

1,y关于

的逆元为y1，那么<x,y>关于∙运算也具有逆元<x1,y1>37同态映射的定义定义设V1=<S1,∘>和V2=<S2,>是代数系统，其中∘和是二元运算.f:S1

S2,且x,y

S1,f(x∘y)=f(x)f(y),则称f

为V1到V2的同态映射，简称同态.

37x

●y

●x∘y

●∘●f(x)

f(y)=f(x∘y)●f(x)●f(y)

38更广泛的同态映射定义定义设V1=<S1,∘,∙>和V2=<S2,,◊>是代数系统，其中∘和是二元运算.f:S1

S2,且x,y

S1

f(x

∘

y)=f(x)f(y),f(x

∙

y)=f(x)◊f(y)则称f

为V1到V2

的同态映射，简称同态.设V1=<S1,∘,∙,∆>和V2=<S2,,◊,∇>是代数系统，其中∘和是二元运算.∆和∇是一元运算，f:S1

S2,且x,y

S1

f(x∘y)=f(x)f(y),f(x∙y)=f(x)◊f(y),f(∆x)=∇f(x)则称f

为V1到V2

的同态映射，简称同态.39例题例1V=<R*,

>,判断下面的哪些函数是V的自同态？

(1)f(x)=|x|(2)f(x)=2x(3)f(x)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=

x(6)f(x)=x+1解(2),(5),(6)不是自同态.(1)是同态，f(x

y)=|x

y|=|x||y|=f(x)f(y)(3)是同态，f(x

y)=(x

y)2=x2

y2=f(x)f(y)(4)是同态，f(x

y)=1/(x

y)=1/x

1/y=f(x)f(y)

40特殊同态映射的分类同态映射如果是单射，则称为单同态；如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1

V2；如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1

V2.对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.41同态映射的实例例2设V=<Z,+>，

aZ，令

fa：Z

Z，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.

因为

x,y

Z，有

fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当a=0时称f0为零同态；当a=

1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.42例3设V1=<Q,+>,V2=<Q*,

>，其中Q*=Q

{0}，令

f

：Q

Q*,f(x)=ex

那么f是V1到V2的同态映射，因为

x,y

Q有

f(x+y)=ex+y

=ex

ey

=f(x)

f(y).不难看出f是单同态.同态映射的实例（续）43同态映射的实例（续）例4V1=<Z,+>，V2=<Zn,

>，Zn={0,1,…,n-1},

是模n加.令

f：Z→Zn，f(x)=(x)modn

则f

是V1到V2

的满同态.x,y∈Z有

f(x+y)=(x+y)modn

=(x)modn

(y)modn

=f(x)f(y)

44例5设

V=<Zn,>，可以证明恰有n个G的自同态，

fp：Zn→Zn,

fp(x)=(px)modn，p=0,1,…,n1例如n=6,那么

f0为零同态；

f1与f5为同构；

f2

与f4的同态像是{0,2,4}；

f3

的同态像是{0,3}.同态映射的实例（续）45同态映射保持运算的算律设V1,V2是代数系统.o,∗是V1上的二元运算，o’,∗’是V2上对应的二元运算，如果f：V1

V2是满同态，那么

(1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o’运算也是可交换的（可结合、幂等的）.(2)若o运算对∗运算是可分配的，则o’运算对∗’运算也是可分配的；若o

和∗运算是可吸收的，则o’和∗’运算也是可吸收的。46(3)若e为o

运算的单位元，则f(e)为o’运算的单位元.(4)若

为o

运算的零元，则f(

)为o’运算的零元.(5)设u

V1，若u1是

u

关于o运算的逆元，则f(u

1)

是

f(u)关于o’运算的逆元。同态映射保持运算的特异元素47同态映射的性质说明：上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，那么相关性质在同态像中成立.同态映射不一定能保持消去律成立.

例如f:ZZn是V1=<Z,·

>到V2=<Zn,>的同态，f(x)=(x)modn,V1中满足消去律，但是当n

为合数时,V2中不满足消去律.

48例题证假设

f是V2

到V1

的同构，那么有f：V2→V1，f(1)=0.于是有

f(

1)+f(

1)=f((

1)(

1))=f(1)=0从而f(

1)=0，又有f(1)=0，这与

f的单射性矛盾.例6设V1=<Q,+>，V2=<Q*,·>，其中Q

为有理数集合，Q*=Q

{0}，+和·分别表示普通加法和乘法.证明不存在V2

到V1

的同构.

49半群、独异点与群环与域格与布尔代数9.3几个典型的代数系统半群与独异点定义

设V=<S,∘>是代数系统，∘为二元运算.(1)如果∘是可结合的，则称V=<S,∘>为半群.(2)如果半群V=<S,∘>中的二元运算含有幺元，则称V为含幺半群，也可叫作独异点.为了强调幺元e的存在，有时将独异点记为<S,∘,e>.(3)如果半群V=<S,∘>(独异点V=<S,∘,e>)中的二元运

算∘是可交换的，则称V为可交换半群

(可交换独

异点).5051半群与独异点的实例实例(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是可交换半群，除了<Z+,+>外都是可交换独异点，+是普通加法.(2)设n是大于1的正整数，<Mn(R),·>是半群与独异点，其中·表示矩阵乘法.(3)<Σ*,∘>是半群和独异点，其中Σ是有穷字母表，∘表示连

接运算，幺元是空串λ.(4)<P(B),

>为半群与独异点，其中

为集合的对称差运算.(5)<Zn,

>为半群与独异点，其中Zn={0,1,…,n

1}，

为模n加法.52元素的幂运算设V=<S,

>为半群，对任意x∈S，规定：

x1=x

xn+1=xn

x

n∈Z+在独异点V=<S,∘,e>中，对任意x∈S，规定:x0=e,xn+1=xn∘xn∈N幂运算规则：

xn

xm=xn+m

(xn)m=xnm

m,n∈Z+证明方法：数学归纳法53群的定义与实例定义设<G,∘

>是代数系统，∘为二元运算.如果∘

运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x

1∈G，则称G为群.群的实例(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群；<Z+,+>,<N,+>不是群.(2)<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群.(3)<P(B),

>是群，

为对称差运算.(4)<Zn,

>，是群.Zn={0,1,…,n

1}，

为模n加.54Klein四元群设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群

eabc

eabceabcaecbbceacbae运算表特征：对称性---运算可交换主对角线元素都是幺元

---每个元素是自己的逆元

a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.

55群的术语若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|<Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,

>是有限群，也

是n阶群，Klein四元群

G={e,a,b,c}是4阶群上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合

关于矩阵乘法构成的群是非交换群.

56群的术语（续）

实例在<Z3,

>中有2

3=(2

1)3=13=11

1=0

在<Z,+>中有

(2)

3=23=2+2+2=6

定义设G是群，x∈G，n∈Z，则x的

n次幂

xn定义为

57设G是群，x∈G，使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶（或周期），记作|x|=k，称x为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称x为无限阶元.群的术语（续）在<Z6,

>中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.

58群的性质---幂运算规则定理1

设G为群,则G中的幂运算满足：

(1)

x∈G，(x

1)

1

=x.

(2)x,y∈G，(xy)

1=y

1x

1.

(3)x∈G，xnxm=xn+m，n,m∈Z.

(4)x∈G，(xn)m=xnm，n,m∈Z.

注意

(xy)n

=(xy)(xy)…(xy),是n个xy运算，G为交换群，才有(xy)n=xnyn.

59群的性质---群方程存在唯一解定理2

G为群，

a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.

a

1b是ax=b的解.ba

1

是ya=b的唯一解.例设G=<P({a,b}),>，其中为对称差.群方程

{a}X=，Y

{a,b}={b}

的解X={a}

1

={a}={a}，

Y={b}{a,b}

1={b}{a,b}={a}60群的性质---消去律定理3

G为群，则G适合消去律，即

a,b,c∈G

有

(1)若ab=ac，则b=c.

(2)若ba=ca，则b=c.

例设G={a1,a2,…,an}是n阶群，令

aiG={aiaj|j=1,2,…,n}证明aiG=G.

证由群中运算的封闭性有aiG

G.假设aiG

G，即|aiG|<n.必有aj,ak∈G使得

aiaj=aiak

（j≠k）

由消去律得aj=ak,与|G|=n矛盾.61群的性质---运算表排列规则定理4

设G为有限群，则G的运算表中每行每列都是G

中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同.注意：是必要条件，用于判断一个运算表不是群.abcdabcd

bcda

bacdcdbadbacabcdabcdabcdcdabbcdadabc62子群定义设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群,记作H≤G.若H是G的子群，且H

G，则称H是G的真子群，记作H<G.实例nZ（n是自然数）是整数加群<Z,+>的子群.当n≠1时,nZ

是

Z的真子群.

对任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.

63子群判定判定定理

设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当

x,y∈H有xy

1∈H.

设G为群，a∈G，令

H={ak

|k∈Z

}，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作<a>.

证首先由a∈<a>知道<a>≠

.任取am,al∈<a>，

am(al)

1=ama

l

=am

l∈<a>

根据判定定理可知<a>≤G.

64实例

整数加群<Z,+>，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z

}=2Z

模6加群<Z6,

>中由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：

<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.65设G为群,令C={a|a∈G∧

x∈G(ax=xa)}，则C是G的子群，称为G的中心.证e∈C.C是G的非空子集.

任取a,b∈C，证明ab

1与G中所有的元素都可交换.

x∈G，有

(ab

1)x=ab

1x=ab

1(x

1)

1=a(x

1b)

1=a(bx

1)

1

=a(xb

1)=(ax)b

1=(xa)b

1=x(ab

1)由判定定理可知C≤G.

实例

66循环群定义设G是群，若存在a∈G

使得

G={ak

|k∈Z

}称G是循环群，记作G=<a>，称a为G的生成元.

实例：整数加群G=<Z,+>=<1>=<-1>

模6加群G=<Z6,>=<1>=<5>设G=<a>，若a是n阶元，则G为n阶循环群，即

G={a0=e,a1,a2,…,an

1}若a是无限阶元，则G为无限循环群，即

G={a±0=e,a±1,a±2,…}67循环群的生成元定理设G=<a>是循环群.

(1)若G是无限循环群，则G只有a和a

1两个生成元.

(2)若G是n阶循环群，则ar是G的生成元当且仅当r是小于等于n且与n互质的正整数.68(1)设G={e,a,…,a11}是12阶循环群，则小于或等于12且与12互素的数是1,5,7,11,由定理可知a，a5，a7和a11是G的生成元.(2)设G=<Z9,

>是模9的整数加群，则小于或等于9且与9互素的数是1,2,4,5,7,8.根据定理，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)设G=3Z={3z|z∈Z},G上的运算是普通加法.那么G只有两个生成元：3和

3.生成元的实例69循环群的子群定理设G=<a>是循环群.

(1)设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群.

(2)若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.

(3)若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群.

70(1)G=<Z,+>是1无限循环群，对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z

<m>={mz|z∈Z

}=mZ，m>0(2)G=Z12是12阶循环群.12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是：

1阶子群<12>=<0>={0}，2阶子群<6>={0,6}

3阶子群<4>={0,4,8}，4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}，12阶子群<1>=Z12

子群的实例71n元置换的定义定义设S={1,2,…,n},S上的双射函数

:S→S称为S上的n元置换.一般将n元置换σ记为

例如S={1,2,3,4,5},则

都是5元置换.72k阶轮换与对换定义设σ是S={1,2,…,n}上的n元置换.若

σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik

1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其他元素不变，则称σ为S上的k次轮换，记作(i1i2…ik).若k=2，称σ为S上的对换.例如5元置换

分别是4阶和2阶轮换σ=(1234),τ=(13),其中τ也叫做对换73n元置换分解为轮换之积例设S={1,2,…,8},

从σ中分解出来的第一个轮换式(15236)；第二个轮换为(4)；第三个轮换为(78).σ的轮换表示式

σ=(15236)(4)(78)=(15236)(78)用同样的方法可以得到τ的分解式

τ=(18342)(567)注意：在轮换分解式中，1阶轮换可以省略.74n元置换的乘法与求逆两个n元置换的乘法就是函数的复合运算n

元置换的求逆就是求反函数.例设

使用轮换表示是：

=(154)(23)(1423)=(152)=(1423)(154)(23)=(354)

-1=(154)-1(23)-1=(451)(23)=(145)(23)75n元置换群及其实例考虑所有的n元置换构成的集合Sn

Sn关于置换的乘法是封闭的.置换的乘法满足结合律.恒等置换(1)是Sn

中的单位元.对于任何n元置换σ∈Sn，逆置换σ

1是σ

的逆元.这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为n元对称群.n元对称群的子群称为n元置换群.

例设S={1,2,3}，3元对称群

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}76S3的运算表

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)77S3的子群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，A3=<(123)>={(1),(123),(132)}，<(1)>={(1)}<(12)>={(1),(12)},<(13)>={(1),(13)},<(23)>={(1),(23)}78环的定义定义

设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:(1)<R,+>构成交换群(2)<R,·>构成半群(3)·运算关于+运算适合分配律则称<R,+,·>是一个环.通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0,乘法单位元(若存在)记作1.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作

x.乘法逆元(若存在)称为逆元，记作x

1.

79环的实例

(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.

(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.

(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}，

和

分别表示模n的加法和乘法，则<Zn,

,

>构成环，称为模n的整数环.

80

环中的零因子设<R,+,>是环，若存在ab=0,且a0,b0,称a为左零因子，b为右零因子.实例<Z6,,>，其中23=0，2和3都是零因子.无零因子的条件：ab=0a=0b=0可证明无零因子的充要条件是：乘法满足消去律81特殊的环定义

设<R,+,·>是环，

(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环.

(2)若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环.

(3)若

a,b∈R，ab=0

a=0∨b=0，则称R是无零因子环.

(4)若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环.(5)若R为整环，|R|>1,且

a

R*=R{0}，a1

R,则称R为域.82特殊环的实例(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之外都是域(2)令2Z={2z|z∈Z

}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设n

Z,n

2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)<Z6,

,

>构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环.注意：对于一般的n,Zn是整环且是域

n是素数.83例题判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域.(1)A={a+bi|a,b

Q},i2=

1,运算为复数加法和乘法.(2)A={2z+1|z

Z},运算为普通加法和乘法

(3)A={2z|z

Z},运算为普通加法和乘法

(4)A={x|x≥0∧x

Z},运算为普通加法和乘法.(5)，运算为普通加法和乘法解(2),(4),(5)不是环.为什么？

(1)是环,是整环,也是域.(3)是环,不是整环和域.

84环的性质定理设<R,+,·>是环，则

(1)

a∈R，a·0=0·a=0

(2)

a,b∈R，(

a)b=a(

b)=

ab

(3)

a,b∈R，(

a)(

b)=ab

(4)

a,b,c∈R，a(b

c)=ab

ac，(b

c)a=ba

ca例在环中计算(a+b)3,(a

b)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)

=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3

(a

b)2=(a

b)(a

b)=a2

ba

ab+b285格的定义定义设<S,≼>是偏序集，如果

x,y≼S，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成格.由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，即x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界.注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义.

86

格的实例例设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集<Sn,D>构成格.

x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数.x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.下图给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.87例判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1)<P(B),

>，其中P(B)是集合B的幂集.(2)<Z,≤>，其中Z是整数集，≤为小于等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出.格的实例（续）解(1)是格.称<P(B),>为B的幂集格.

(2)是格.

(3)都不是格.88格的性质：对偶原理定义设f是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧的命题.令f*是将f中的≼替换成≽,≽替换成≼,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题.称f*为f的对偶命题.例如,在格中：f是(a∨b)∧c≼c,f*是(a∧b)∨c≽c.格的对偶原理：设f是含格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧等的命题.若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真.

例如,若对一切格L都有

a,b∈L,a∧b≼a，那么对一切格L都有

a,b∈L,a∨b≽a

89格的性质：算律定理设<L,≼>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即

(1)

a,b∈L

有

a∨b=b∨a,a∧b=b∧a

(2)

a,b,c∈L

有

(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

(3)

a∈L

有

a∨a=a,a∧a=a

(4)

a,b∈L

有

a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a

90算律的证明证(1)交换律.

a∨b是{a,b}的最小上界

b∨a是{b,a}的最小上界

{a,b}={b,a}

a∨b=b∨a.

由对偶原理,