2026高三数学复习专项训练统计与概率：二项分布专项训练(原卷版)

统计与概率：二项分布专项训练

考点一利用二项分布求分布列、数学期望与方差

æ1ö1

1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设X~Bçn,÷，且PX=n=，那么PX=1=（）

è3ø27

81642

A．B．C．D．

272799

2．（2025·山东青岛·三模）若随机变量X~B(4,p)，D(X)=1，则P(X=3)=（）

1113

A．B．C．D．

6424

3．（24-25高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的x个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出

1

两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为

10

（）

3612124

A．B．C．D．

1251252525

4．（24-25高三下·云南·阶段练习）某市高三年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩X~N95,152，

若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名

学生的成绩均在65分以上的概率为（）

（参考数据：P(m-s<X„m+s)=0.68,P(m-2s<X„m+2s)=0.95）

A．0.6810B．0.9510C．0.97510D．0.8410

5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）随机变量X~B3,p,Y~N3,s2，若PX³1=0.488,P(1£Y<3)=p，则

P(Y>5)=（）

A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1

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6．（24-25高二下·北京东城·期末）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分

为X，那么X的数学期望为（）

99

A．B．4C．D．5

42

7．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）下列说法正确的是（）

21

A．若随机变量X服从两点分布，且PX=0=，则EX=

33

B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有

9

2只测量过该指标的概率为

20

æ2ö

C．若随机变量X服从二项分布Bç8,÷，则PX=5>PX=6

è3ø

æ2ö

D．若随机变量X服从二项分布Bç8,÷，且Y=3X-1，则EY=15，DY=16

è3ø

8．（24-25高二下·河南漯河·期末·多选）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3

次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，

如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计

计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为p0<p<1，且各次投篮相互独立．甲选择方式1投篮，乙选择方式

2投篮．则下列说法正确的是（）

22

A．当p=时，甲得1分的概率为

33

226

B．当p=时，甲至少得1分的概率为

327

25

C．当p=时，乙最多得2分的概率为

39

3-1

D．当<p<1时，乙得分的期望大于甲得分的期望

2

9．（24-25高二下·天津·阶段练习）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未

经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中

目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是：；若此少年射手任取一支

气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为．

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2

10．（24-25高二下·安徽安庆·期末）某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种

3

子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是.

11．（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为94%，第二台加

工的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为96%.

(1)设第一台车床加工的零件有a件，第二台车床加工的零件有b件，求证：b=a；

(2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为X，

求X的分布列、数学期望和方差.

12．（24-25高二下·重庆·期末）某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个

颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球

共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪

吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍．

(1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？

(2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望；

(3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求

他获奖的概率．

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13．（24-25高二下·北京房山·期末）某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学

错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经

常整理”，少于4天视为“不经常整理”.

每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.

(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；

(2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望.

14．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从

某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品．

(1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；

(2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用X表示抽到一等品的箱数，求X的分布列和数学期望．

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考点二建立二项分布模型解决实际问题

1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均

2

为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（）

3

201284

A．B．C．D．

27272727

2．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的

13

概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点1的距离不

44

大于一个单位的概率为（）

501713517

A．B．C．D．

24351251281

3．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）某新能源汽车公司生产的电池容量X~N50,s2（单位：千瓦时），且

P47£X£53=0.8．若质检部门随机抽检4块电池，则恰好有2块电池的容量在53千瓦时以上的概率为（）

A．0.0081B．0.0162C．0.0486D．0.0972

4．（24-25高一下·黑龙江·期末）某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第

一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均

匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个

小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（）

1111

A．B．C．D．

35015018

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5．（24-25高二下·河南信阳·期末·多选）甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3

次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，

如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计

计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为p0<p<1，且各次投篮相互独立．甲选择方式1投篮，乙选择方式

2投篮．则下列说法正确的是（）

22

A．当p=时，甲得1分的概率为

33

226

B．当p=时，甲至少得1分的概率为

327

25

C．当p=时，乙最多得2分的概率为

39

3-1

D．当<p<1时，乙得分的期望大于甲得分的期望

2

6．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习·多选）某计算机程序运行2kkÎN*次，每次运行都等可能地产生0或1中

的一个数．记1出现的次数为x，1出现的次数多于0出现的次数的概率为Pk，则（）

æ1ö1

A．x~Bç2k,÷B．P3-P2=

è2ø32

2kk2k

C．2Pk+C2k=2D．Pk<Pk+1

7．（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为60%，某天两人进行一场五局三

胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是1:1的情况下，甲应该分元奖金比较公

平．

8．（24-25高二下·河南周口·期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每

天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则PX=3=．（用数字

作答）

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9．（2025·河北秦皇岛·三模）某大棚疏菜种植基地为增强光照强度，引进了4台大型照明设备，已知在一个月时间

里，每台设备至多出现一次故障，且每台设备是否出现故障互不影响，出现故障时需要一名技术员维修，每台设

1

备出现故障的概率均为．

3

(1)设一个月内这4台设备有X台出现故障，请写出X的分布列和数学期望．

(2)如果该种植基地要保证在任何时刻每台设备同时出现故障时都能及时得到维修的概率不小于0.85，那么应该至

少雇佣多少名技术员？

(3)已知1名技术员每月只能维修1台设备，每月需支付给每位技术员1万元工资．每台设备不出现故障或者出现

故障能及时维修，就能带来5万元利润，否则就不产生利润，为使每月利润更高，请判断该基地应该雇佣2名技

术员还是3名技术员？

10．（24-25高二下·重庆·期末）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，

B两个部门全体员工共60人参加培训．

(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记x表示选

取的2人中来自A部门的人数，求随机变量x的分布列和数学期望；

2

(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训

3

未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和

费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．

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11．（24-25高二下·河北沧州·期末）某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算

及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合

放在一起，则及格率为88％．

(1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比；

(2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率；

(3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X

的分布列和数学期望．

12．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）某地举行猜灯谜比赛，以个人形式参赛，每轮猜一个灯谜，猜中得10

分，猜错得-10分，参赛者初始积分为0分.若某轮比赛后总积分为0分或低于0分，则被淘汰，不能继续参加后

1

面轮次的猜灯谜活动.已知参赛者甲每个灯谜猜中的概率都是，记其参加了n轮比赛后的总积分为S.

3n

(1)求S5=30的概率；

(2)求S7=10的概率；

(3)求甲在参加了2n+2nÎN*轮比赛后被淘汰的概率.

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考点三服从二项分布的随机变量概率最大问题

æ1ö

1．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布Bç8,÷，则PX=k取得最大值时，k=（）

è3ø

A．2或3B．2C．3D．4

2．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率

2

为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有k人消费超过200元

5

的概率最大，则k的值为（）

A．7B．8C．9D．8或9

3．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，

最多有10次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分．高二（1）班派出甲同学参加投篮比赛，

2

已知甲先投篮6次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于7分的概率最大，则该

3

同学继续投篮的次数为（）

A．1B．2C．3D．4

4．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X:Bn,0.8，记Pk=PX=k，

k=0,1,2,L,n，若P7是唯一的最大值，则DX的值为（）

A．1.28B．1.6C．6.4D．8

5．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习·多选）某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X～Bn,p，其中

nÎN*，0<p<1，则下列说法正确的是（）

15

A．若n=5，p=，则EX=

24

1

B．若n确定，则当p=时，DX有最大值

2

4

C．若n=9，p=，则当k=7或k=8时，PX=k取得最大值

5

1192

D．若n=5，p=，则pX£2=

3243

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6．（24-25高二下·陕西西安·期末·多选）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为

p0<p<1，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量X表示

每掷N次骰子出现1点的次数，现以使PX=6最大的N值估计N的取值并计算EX．若有多个N使PX=6

最大，则取其中的最小N值．下列结论正确的是（）

6N-64

A．X:BN,pB．PX=6=CNp1-p

6

C．N³-1D．EX<6

p

7．（24-25高二下·吉林长春·期末·多选）某比赛共进行2nnÎN+局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n

局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比

赛中获胜的概率为P2n，下列结论正确的是（）

11

A．若p=，则P=PB．若p=，则当2n=2时，P最大

32462n

57

C．若p=，则当2n=2时，P最小D．若p=，则当2n=6时，P最大

62n162n

8．（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量X:B10,0.5，则当PX=k取得最大值时，正整数k的值是．

9．（24-25高二下·山东泰安·期末）若随机变量X~B(10,0.4)，则当P(X=k)取最大值时，正整数k的值

是.

10．（24-25高二下·湖北武汉·期末）有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，

其中红球有3个，黑球有2个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每

次先从甲盒子中随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球

放回甲盒子，当甲盒子中无球时，游戏停止.

(1)求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X的分布列和期望；

(2)求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1个的概率；

*

(3)设游戏进行到第n（nÎN，n³5）次后停止的概率为pn，试问pn是否存在最大值？若存在，求出最大值；若

不存在，试说明理由.

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11．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）全球首场人形机器人半程马拉松于4月19日在北京亦庄开跑，深圳优必

选与北京人形机器人创新中心联合研发的“天工Ultra”以2小时40分42秒夺冠，引发了一众机器人爱好者的积极

关注.某公司自主研发了一款小型人形机器人，将100台该机器人充满电后进行移动测试，移动的最大距离统计数

据如下图所示：

(1)若机器人移动最大距离超过均值的1.2倍的为优秀品，试估计这款机器人的优秀率；

(2)用频率估计概率，将100台该机器人充满电后随机平分成25组，参加4´400米接力比赛，测试人员同时启动每

组第一台机器人，之后每台机器人只有移动到400米时，才能启动同组下一台机器人，且每个机器人的移动最大

距离相互独立.设到达终点完成比赛的组数为X，求使得PX=k取最大值的k的值.

12．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活

动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有A,B两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两

4

道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对

5

3

的概率均为，