第8讲 成比例线段与平行线分线段成比例定理-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第八讲成比例线段与平行线分线段成比例定理【学习目标】1、通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念;理解并掌握比例的性质2、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。3、通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念;理解并掌握比例的性质4、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。【基础知识】1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的基本性质(1)基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔＝k.（b、d、···、n≠0）3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝=eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．【考点剖析】考点一：两条线段的比例1．（1）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（）A．17km B．34km C．170km D．340km【答案】C【详解】解：（厘米），17000000厘米＝170千米，答：上海到杭州的实际距离是170千米，故选：C．（2）如果A、B两地的实际距离为50米，画在地图上的距离厘米，那么图上距离与实际距离的比为（）A．1：10 B．1：100 C．1：1000 D．1：10000【答案】C【详解】米等于厘米，所以，故选C．考点二：比例的性质例2．（1）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由比例的性质，得，故选：B．（2）若，则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；B、由得，3x=2y，故本选项符合题意；C、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；D、由得，xy=6，故本选项不符合题意．故选：B．（3）若≠0，则＝__．【答案】【详解】设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴＝＝＝．故答案为：考点三：黄金分割例3．如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形，点M在上．（1）求的长；（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）=，=；（2）是，理由见解析【详解】解：（1）在中，，，由勾股定理知，，．故的长为，的长为；（2）点是的黄金分割点．由于，点是的黄金分割点．考点四：平行线分线段成比例例4．（1）如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵DGBC，∴，故A选项错误；∵DGBC，∴，故B选项错误；∵EHAB，∴，故C选项正确；∵EHAB，∴，故D选项错误．故选：C．（2）如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．【答案】3.6【详解】解：∵a∥b∥c，∴，即，∴DE＝3.6，故答案为：3.6．【真题演练】1．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：；．故选：C．2．已知，则下列各式中不正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，A、，故正确，不符合题意；B、，故错误，符合题意；C、，故正确，不符合题意；D、，故正确，不符合题意；故选B．3．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得：1：x2＝1：9000000，解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）．则该地图的比例尺是1：3000；故选：B．4．已知线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，则a﹕b的值是（）．A．1﹕4 B．1﹕7 C．4﹕7 D．7﹕4【答案】C【详解】解：∵线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，∴a﹕b=4cm：7cm=4：7．故选择：C．5．下列各组数中，能成比例的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、3×10=5×6，故A选项符合题意；B、3×9≠6×8，故B选项不符合题意；C、3×9≠6×7，故C选项不符合题意；D、3×6≠4×5，故D选项不符合题意．故选：A．6．下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b=，c=，d=2C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b=，c=2，d=【答案】C【详解】解：A、3×4=6×2，是成比例线段，故本选项不符合题意；B、，是成比例线段，故本选项不符合题意；C、4×10≠6×5，不是成比例线段，故本选项符合题意；D、，是成比例线段，故本选项不符合题意；故选：C．7．已知M，N分别为上的两点，且，若，则的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】解：，，，，，，故选：C．8．如图，直线，直线a，b分别与这三条平行线相交，交点分别为点A，B，C与点D，E，F．已知，，则的长为（）A． B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】解：∵，∴，即，∴，故选B．9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小凡的身高约为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得：头顶至肚脐的长度为，∴，∴小凡的身高约为；故选C．10．如图，直线被三条平行线所截，交点如图所示，若，则的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】解：∵AD∥BE∥CF，∴，又AB=1.5，AC=6，DE=2，∴，∴DF=8，经检验：DF=8符合题意，∴EF=DF-DE=6，故选B．11．如图，已知直线l1l2l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】∵BC＝2AO＝2OB，∴OC＝3AO，∵直线l1∥l2∥l3，∴，∴＝，∵OD＝1，∴OF＝3，故选：C．12．如图，直线，则的长为（）A．5 B．6 C．9 D．12【答案】C【详解】解：∵，∴，即，∴．故选C．13．如图，中，，、是，上两点，将沿折叠，使点落在边上点处，并且，若，，则的长是（）A． B．15 C． D．9【答案】C【详解】解：由折叠得到，，在中，设，得到，根据勾股定理得：，即，解得：，，，，，，，，则．故选：C．14．在比例尺为1：50000的地图上，量得，两地的距离是2厘米，那么，两地的实际距离是__________米．【答案】1000【详解】解:∵比例尺为1：50000，，两地的距离是2厘米，设，两地的实际距离为，∴故答案为:100015．（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）∵，设x=3k，y=2k，∴；（2）∵，∴，∴．【过关检测】1．如果，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴；故选：D．2．已知，把这个等积式改成比例式后，错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、由可得ab=cd，故正确，不符合题意；B、由可得ab=cd，故正确，不符合题意；C、由可得bc=ad，故错误，符合题意；D、由可得ab=cd，故正确，不符合题意；故选C．3．若a：b：c＝2：4：5，且a+b+c＝22，则a的值为（）A．10 B．6 C．4 D．8【答案】C【详解】∵a：b：c＝2：4：5，∴设a=2k,b=4k,c=5k，代入a+b+c＝22，得2k+4k+5k=22解得k=2∴a=2k=4故选C．4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设较短线段的长度为，则，由题意得，即整理得（舍去），即故选：D．5．下列各组线段的长度中，不是成比例线段的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【详解】A选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故A错误；B选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故B错误；C选项：，所以不是成比例线段，符合题意，故C正确；D选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故D错误．故选C．6．如图，已知，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，A选项错误；，B选项错误；，∴，C选项正确；，D选项错误．故选：C．7．如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵∴∵∴∴∴故答案为：B．8．如图，已知点、分别是的边、的点，且，点是边上的点，与交于点，则下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵EF∥BC，∴，，，，∴选项A，C，D正确，故选：B．9．如图，直线，直线分别交，，于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意可知，即．∴BE=6．故选：C．10．图纸上画出的某个工件的长为4cm，如果比例尺为1：30，那么此工件的实际长度为_____cm．【答案】120【详解】设这个零件的实际长是xcm，则1：30=4：x，解得x=120cm．故答案为120．11．若线段a，b，c，d成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d的长度是_____cm．【答案】6【详解】解：∵线段a，b，c，d成比例线段，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，∴d＝6（cm）．故答案为：6．12．已知，如图，在中，，且．若，则__________，__________．【答案】23【详解】解：证明：，，而，FG=1，∴，即，，，即，故答案为：2，3．13．（1）已知，求的值．（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵线段，∴，∴线段a，b的比例中项为（负值舍去）．14．（1）已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，求线段c的长度；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）∵c是a、b的比例中项，∴c2=ab=3×2，解得：c=±（线