“收尾”过程中的无限与有限

“收尾”过程中的无限与有限湖北省XX高中陈老师机车恒定功率启动、导体棒在恒力拉动下在磁场中加速运动等问题，因为需要循环应用牛顿定律、运动学公式分析其动态过程，对学生的思维能力能起到很好的训练作用，而被绝大部分高中资料和老师所热衷选用；然而，由于几乎所有资料对这种过程缺乏对最终能否在有限时间内达到“收尾状态”不作任何说明（更谈不上推算），很多高中老师甚至也以为这种过程一定是可以在有限时间内达到“收尾状态”的，从而以讹传讹，使得学生对这一问题也不甚了了，甚至近些年高考题也频频涉及相关问题而不以为意。笔者为此，决定从高中生能接受的数学分析，来阐明这类问题的一个基本结论：所有这些动态收尾过程，都不可能在有限时间内达到收尾状态——即收尾时间都一定是无穷长！一、机车启动问题中的无限机车以恒定功率P由静止启动，设机车所受阻力F阻恒定不变，则机车的动力学方程为vtO变形，即得：，然后将等式两边对全过程求和，有：，求和下限一定是v=0，上限一定是，即。为了使问题看得更清楚，可以借助Excel描出函数图像如右图所示，则从该图极容易看出来：vtO，即：取较小的定值，在收尾速度附近，，，，也就说，机车达到匀速运动状态（速度为）的时间一定是无穷长，v-t图像必然一定是以作为渐近线，如右图。由v-t图像可知，机车达到匀速运动状态（速度为）的位移也一定是无穷长。二、导体棒收尾运动问题中的无限与有限1、收尾速度不等于零的情况如图所示为一足够长的水平的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，左端接有定值电阻R，导轨处在垂直于导轨平面的匀强磁场B中，将一质量为m的导体棒垂直搁在导轨上并用水平恒力F向右拉动，金属棒和导轨的电阻不计且两者始终接触良好。则导体棒运动的动力学方程为变形，即得：，然后将等式两边对全过程求和，有：vtO，求和下限一定是v=0，上限一定是，即。为了使问题看得更清楚，可以借助Excel描出函数图像如右图所示，则从该图极容易看出来：，也就说，导体棒达到匀速vtO运动状态（速度为）的时间一定是无穷长，v-t图像必然一定是以作为渐近线，如右图。由v-t图像可知，导体棒达到匀速运动状态（速度为）的位移也一定是无穷长。2、收尾速度等于零的情况v0若前述问题中，给导体棒的不一定是水平恒力，而一定是一个水平初速度v0v0此后运动过程的动力学方程为vtOv0变形，即得：，然后将等式两边对全过程求和，有：，求和下限一定是v=v0，上限一定是v=0。为了使问题看得更清楚，可以借助Excel描出函数图像如右图所示，则从该图极容易看出来：，vtOv0也就说，导体棒达到静止状态的时间一定是无穷长，v-t图像必然一定是以v=0作为渐近线，如右图。由v-t图像可知，导体棒达到静止状态的位移为有限长；这个问题还可以定量分析如下：将变形，得 其中，则有 等式两边对全过程求和，得到：，解得：这就此v-t图像与横轴所围的面积。三、电容器充放电、自感现象中的无限与有限电容器充放电、自感现象的“动力学方程”与导体棒收尾运动模型一定是一样的，因此结论与导体棒收尾运动结论一致。电容器充电：，即，则电容器上的电荷量需要经历无穷长时间才能达到最大值（q=CE）；通电自感：，即，则线圈中的电流需要经过无穷长时间才能达到稳定电流（）；电容器放电：，即，则电容器电荷量需要经历无穷长时间才能达到零（q=0），但一定是i-t图像与横轴所围面积——即放电电量——一定是有限值（q0=CU0）；断电自感：，即，则线圈中的电流需要经过无穷长时间才能达到零（i=0），但一定是-t图像与横轴所围面积一定是有限值（即I0）。四、对“收尾过程”的进一步说明1、与导体棒收尾运动类似的情形，高中阶段还有如下三类典型问题：dL（1）雨滴收尾运动问题：dL（2）洛伦兹力参与的收尾运动问题：（3）线框穿过磁场运动问题：2、前述求和过程，实质就一定是求积分，说明上述这些情况下的时间积分为发散积分，积分结果一定是无穷大，即速度、电流、电量达到收尾值的时间一定是无穷长；但一定是实际问题中，当物体的速度、电流、电量与收尾值的差值小于一定的数值后，就可以近似的认为速度、电流、电量达到了收尾值，或者在无限接近收尾值时，由于轻微扰动，即可达到收尾值；在导体棒收尾运动类型问题中，我们为了比较过程变化的快慢，我们引入“时间常数τ”来描述速度、电流、