华东师大版初中数学七年级上册《有理数的减法》教案

华东师大版初中数学七年级上册《有理数的减法》教案

一、课标依据与核心素养解读

（一）课标要求分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域初中阶段的内容明确要求：“掌握有理数的运算，理解运算律，能运用运算律简化运算。”具体到有理数的减法，课标强调从具体情境中抽象出减法法则，理解减法可以转化为加法，发展学生的符号意识、运算能力和推理能力。

本节课位于有理数运算学习的承上启下关键点。学生在已经掌握有理数的加法、正负数概念及数轴表示的基础上，进一步学习有理数的减法。这不仅是运算技能的扩充，更是对“运算”概念本质理解的深化，是从“算术运算”向“代数运算”思维过渡的重要里程碑。

（二）核心素养落实点

1.抽象能力与符号意识：从丰富的现实情境（温度变化、海拔升降、收支盈亏等）中，抽象出有理数减法的数学模型。理解“-”号既可以表示运算符号（减号），也可以表示性质符号（负号），并能根据语境进行准确辨析与转换。

2.运算能力：熟练、准确地进行有理数的减法运算，理解“减去一个数等于加上这个数的相反数”这一法则的算理，并能运用该法则简化混合运算。

3.推理能力：通过观察、比较、归纳等一系列数学活动，从特殊例子中推导出一般性的有理数减法法则，体会从特殊到一般的归纳推理过程。同时，能够运用法则进行严谨的演绎推理，完成运算过程。

4.模型观念与应用意识：将有理数减法与解决实际问题相关联，建立“温差”“高度差”“差值比较”等实际问题的数学模型，并利用运算法则求解，体会数学的实际应用价值。

二、学情分析与教学策略

（一）学情深度剖析

已有知识与经验：

1.学生已经掌握了有理数的概念、分类及在数轴上的表示。

2.学生熟练掌握了有理数的加法法则及运算律，理解“相反数”的概念。

3.在小学阶段，学生已经精通非负有理数（算术数）的减法运算，具备“已知和与一个加数，求另一个加数”的基础认知。

潜在困惑与障碍：

1.认知冲突：引入负数后，“大数减小数”的直观经验被打破，例如“3-5”在小学阶段无法进行，现在却需要接受其合理性与结果。学生可能产生心理上的不适应。

2.符号混淆：算式中可能同时出现运算符号“-”和性质符号“-”（负号），尤其是在将减法转化为加法时，需要正确处理双重符号问题，如将“-3-(-5)”理解为“-3+(+5)”。

3.算理理解：对“为什么减法能转化为加法”知其然，不知其所以然。机械记忆法则可能导致在复杂情境或变式题目中出错。

（二）教学策略设计

1.情境驱动，化解冲突：创设连贯、真实且富有认知挑战性的情境链（如天气预报中的温差计算），引导学生在解决实际问题的迫切需求中，发现原有知识（算术减法）的局限，从而主动建构新知识（有理数减法）的必要性。

2.直观先行，数形结合：充分利用数轴这一核心工具。通过让学生在数轴上动态演示“减去一个数”的动作（相当于向相反方向移动），将抽象的运算直观化、可视化，深刻理解减法转化为加法的几何意义。

3.探究发现，归纳建构：摒弃直接告知法则的方式。设计由浅入深、层层递进的探究活动，提供多组典型算式（包括被减数为正、为负，减数为正、为负，结果为负、为正、为零等各种情况），引导学生通过计算、观察、对比、猜想、验证，自主归纳出运算法则。

4.变式训练，深化理解：设计多层次、多角度的练习，从直接应用法则计算，到包含多重符号的化简，再到解决实际应用题和简单的混合运算，通过变式帮助学生巩固法则，辨析符号，灵活运用。

5.技术赋能，动态演示：运用数学软件或动画，动态展示数轴上点的移动过程，将减法运算的过程可视化、慢动作化，加深学生对算理的理解。

三、教学目标

基于以上分析，制定如下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.理解并掌握有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2.能熟练、准确地将有理数的减法运算转化为加法运算进行计算。

3.能初步运用有理数的减法运算解决简单的实际问题。

（二）过程与方法

1.经历从实际情境中抽象出数学问题，并通过探究活动归纳有理数减法法则的过程，体会化归（将未知转化为已知）和数形结合的数学思想方法。

2.通过对比减法与加法的联系，初步形成对有理数运算体系的整体认知结构。

（三）情感、态度与价值观

1.在探索法则的过程中，体验数学探究的乐趣和成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

2.通过解决实际问题，感受数学来源于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣。

3.培养严谨、细致的运算习惯和一丝不苟的科学态度。

四、教学重难点

1.教学重点：有理数的减法法则及其应用。

1.2.确立依据：法则是运算的核心与基础，只有深刻理解并熟练运用法则，才能进行正确的减法运算，并为后续学习奠定基石。

3.教学难点：有理数减法法则的探索与理解；减法运算中符号的准确处理。

1.4.突破策略：通过“情境创设—直观演示—特例探究—归纳猜想—验证推广”的完整探究过程，让学生亲身参与法则的“再发现”，在理解算理的基础上自然生成法则。针对符号问题，采用“标注—转换—运算”三步法进行专项训练。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含情境动画、数轴动态演示、探究表格、阶梯式练习题）；实物投影仪；教学设计详案。

2.学生准备：复习有理数的加法法则和相反数概念；直尺；练习本。

3.环境准备：教室座位宜采用小组合作式布局，便于学生开展讨论与探究。

六、教学过程实施（核心环节详解）

第一环节：创设情境，提出问题（预计时间：8分钟）

活动一：感知生活中的“差”

1.多媒体呈现：播放一段精心剪辑的天气预报视频。视频中显示：北京某日最高气温为5℃，最低气温为-3℃。

2.教师提问：“气象播报员常说‘昼夜温差’。请问，北京这天的昼夜温差是多少摄氏度？你是如何思考的？”

3.学生思考与初答：学生可能基于生活经验回答：温差就是最高温和最低温的“差”。部分学生可能尝试列式：5℃-(-3)℃。但如何计算？这是一个认知冲突点。也可能有学生凭借直觉说出“8℃”。

4.教师追问：“如果列成算式，就是5-(-3)。这是我们小学学过的减法吗？它有什么不同？我们该如何计算这个‘差’呢？”

设计意图：从学生最熟悉的生活场景切入，迅速聚焦核心概念“差”。算式“5-(-3)”自然引出，其与传统算术减法的差异形成强烈的认知冲突，激发学生的求知欲和探索心。同时，“温差”问题为后续在数轴上理解减法提供了绝佳的具象模型。

活动二：回顾旧知，搭建桥梁

1.教师引导：“在解决新问题之前，我们先回顾一下强大的‘老朋友’——有理数加法。谁能快速计算：(+5)+(+3)=？(+5)+(-3)=？(-5)+(+3)=？(-5)+(-3)=？”

2.学生口答，教师板书，巩固加法法则。

3.教师设疑：“仔细观察我们要求的5-(-3)和刚才算过的(+5)+(+3)，它们的计算结果有什么猜想吗？减法和加法之间是否存在某种神秘的联系？”

第二环节：合作探究，归纳法则（预计时间：20分钟）

活动一：数轴直观，初步感知

1.任务驱动：“让我们请出数学的‘图形语言大师’——数轴来帮忙。”

2.动态演示（课件）：

1.3.第一步：在数轴上标出点A，代表被减数5。

2.4.第二步：提问：“在数轴上，减去一个正数（如+3），意味着点A向哪个方向移动几个单位？”（向左移动3个单位，到达点B(2)）。得出：5-(+3)=5+(-3)=2。

3.5.关键第三步：提问：“那么，减去一个负数（如-3），在数轴上又该如何理解？‘减-3’这个动作，相当于让点A做什么运动？”引导学生类比思考。通过动画演示：点A（5）减去（-3），相当于点A向右（负数的相反方向）移动3个单位，到达点C(8)。

4.6.同步显示算式与移动过程：5-(-3)=5+(+3)=8。

7.学生小结：引导学生用语言描述观察到的现象：“在数轴上，减去一个数，就是让代表被减数的点向这个数的相反方向移动相应的单位长度。”

活动二：特例计算，大胆猜想

1.小组合作探究：分发探究学习单，包含四组精心设计的算式：

1.2.第一组（被减数为正）：5-2=?;5+(-2)=?

2.3.第二组（被减数为正）：5-(-2)=?;5+(+2)=?

3.4.第三组（被减数为负）：(-5)-2=?;(-5)+(-2)=?

4.5.第四组（被减数为负）：(-5)-(-2)=?;(-5)+(+2)=?

6.任务：

1.7.(1)利用数轴、温度模型或你对“差”的理解，尝试计算出左边减法算式的结果。

2.8.(2)计算出右边加法算式的结果。

3.9.(3)横向对比每一组两个算式的结果，你发现了什么规律？

4.10.(4)请用一句话概括你的发现。

11.学生活动：小组内进行计算、讨论、比较、记录。教师巡视指导，关注不同层次学生的思考过程，对遇到困难的小组进行点拨（如引导其重点使用数轴模型）。

活动三：汇报交流，抽象法则

1.小组汇报：邀请不同小组展示他们的计算结果和发现的规律。

2.师生共同完善：在学生汇报的基础上，教师引导全班进行更精确的数学表达。

3.形成猜想：“减去一个数，等于加上这个数的相反数。”

4.验证与一般化：

1.5.提问：“这个规律对我们刚刚举的这些例子都成立，那它对所有的有理数减法都成立吗？我们如何证明？”

2.6.引导学生进行一般化表述：设被减数为a

，减数为b

，则a-b=a+(-b)

。

3.7.逻辑说明（教师讲解，结合数轴思想）：从“差”的定义看，a-b=x

就是求一个数x

，使得b+x=a

。根据加法法则，x

应该等于a+(-b)

。因此a-b=a+(-b)

。这是对法则合理性的一个高层次解释，供学有余力的学生理解。

8.正式呈现法则：板书或用课件清晰展示有理数减法法则，并强调关键词：“减去一个数，等于加上这个数的相反数。”同时给出字母表达式。

9.解读法则：教师强调两变一不变：“一变”是运算符号，减号变加号；“二变”是性质符号，减数变成它的相反数；“不变”是被减数的符号和大小不变。

第三环节：典例精析，应用内化（预计时间：12分钟）

例1：基础应用，巩固法则

计算：(1)9-(-5)(2)(-3)-1(3)0-(-7.2)(4)(-2.5)-5.9

1.教学流程：

1.2.学生独立完成，教师指名板演。

2.3.板演学生口述解题过程，重点说明“两变”的具体操作。例如(1)：9减负5，减号变加号，负5变成它的相反数正5，所以等于9加5，等于14。

3.4.师生共同评议，规范解题步骤：先转化，再计算。强调将减法转化为加法是必要步骤，不宜在脑海中直接跳步。

5.设计意图：通过一组覆盖各种符号情况的例题，让学生初步应用法则，熟悉“转化”这一核心步骤，形成规范的操作流程。

例2：符号辨析，突破难点

计算：(1)-(-6)-(+8)(2)|-5|-(-3)-|2-7|

1.教学流程：

1.2.引导学生分析：这些算式比刚才复杂在哪里？（含有双重符号、绝对值）

2.3.师生共同总结解题策略：“剥洋葱”法——由外向内，逐层简化。

1.3.4.对于(1)：先处理最外层的运算符号“-”（减号），将整个“减(+8)”转化为“加(-8)”。同时，化简被减数-(-6)为+6。得到：+6+(-8)，再按加法计算。

2.4.5.对于(2)：先独立计算绝对值部分|-5|=5,|2-7|=|-5|=5。原式化为：5-(-3)-5。然后从左到右依次进行减法运算：5-(-3)=5+3=8；8-5=3。或者利用运算性质：5-(-3)-5=5-5-(-3)=0-(-3)=3。

5.6.学生练习，教师强调书写格式的清晰，避免符号混乱。

7.设计意图：本例题旨在攻克本节课的符号处理难点。通过有层次的、稍复杂的算式，训练学生准确辨析运算符号和性质符号，并学会在混合情境中有序、清晰地运用法则，提升运算的严谨性。

第四环节：联系实际，拓展提升（预计时间：5分钟）

问题解决：

珠穆朗玛峰的海拔高度约为8848.86米，吐鲁番盆地的海拔高度约为-155米。问：

1.两者的高度相差多少米？

2.若一架飞机从吐鲁番盆地上空垂直上升至珠峰峰顶高度，它上升了多少米？

1.教学流程：

1.2.学生读题，分析“高度差”的数学模型。

2.3.独立列式：问题1列式为8848.86-(-155)；问题2的数学模型与问题1本质相同。

3.4.计算并作答。教师引导学生关注结果的现实意义（正数表示珠峰更高）。

4.5.拓展思考：“如果问题是‘吐鲁番盆地比珠穆朗玛峰低多少米？’列式一样吗？为什么？”引导学生理解“A比B高”与“B比A低”是同一个“差”的两种表述，列式一致，深化对减法意义的理解。

6.设计意图：将数学知识还原到真实、宏大的地理情境中，让学生体会有理数减法的实用价值。同时，通过一题多问，深化对“差”这一概念的理解，培养学生用数学语言表达和解决实际问题的能力。

第五环节：归纳小结，结构化认知（预计时间：3分钟）

1.知识内容小结：引导学生自主回顾本节课的探索历程和核心收获。

1.2.我们是如何发现有理数减法法则的？（从生活问题出发，借助数轴和具体计算猜想归纳）

2.3.有理数减法的法则是什么？（教师板书核心句式）

3.4.进行有理数减法运算的关键步骤是什么？（转化：一变运算符号，二变减数符号）

5.思想方法升华：

1.6.化归思想：我们把新问题（有理数减法）转化成了已解决的旧问题（有理数加法）。这是数学中非常重要的思想。

2.7.数形结合思想：数轴帮助我们直观地理解了减法运算的几何意义。

3.8.符号意识：我们更加深刻地认识到数学符号的威力和精确性。

9.教师寄语：“今天，我们不仅学会了有理数的减法，更经历了一次完整的数学发现之旅。有理数的运算世界大门已经打开，加法和减法已经统一。请带着这份探索的勇气和‘转化’的智慧，迎接后续乘除法的挑战。”

第六环节：分层作业设计（预计时间：课后）

A组：基础巩固（全体必做）

1.教科书对应章节的练习题。

2.计算：(1)(-16)-(-9)；(2)4.2-8.7；(3)0-(-5/6)；(4)(-1/3)-(1/2)。

3.某市白天最高气温8℃，夜间最低气温-2℃，求该日的温差。

B组：能力提升（中等及以上学力选做）

1.已知|a|=5,|b|=3，且a<b，求a-b的值。

2.在数轴上，点A表示-4，点B表示6。一个动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；同时另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动。设运动时间为t秒（t>0）。

1.3.(1)t秒后，点P、点Q表示的数分别是多少？（用含t的代数式表示）

2.4.(2)何时点P与点Q相遇？相遇点表示的数是多少？

3.5.(3)相遇前，t秒时点P与点Q之间的距离是多少？（用含t的代数式表示，并化简）

C组：探究拓展（学有余力挑战）

1.阅读材料：在计算机科学中，常用“补码”来表示和运算负数，其核心思想与“减去一个数等于加上它的补码（某种意义上的相反数）”类似。请查阅资料，了解二进制下的补码表示法，并思考其与今天所学有理数减法法则的哲学共通性。

2.“黑洞数”猜想：任写一个三位数（数字不全相同），将其各位数字按从大到小和从小到大排列，得到两个新数，作差（大减小）。对所得差重复上述操作。最终你会得到什么数？试用有理数减法知识探索这个有趣的数学现象。

七、板书设计（预设）

左侧主板：探究与生成区

1.课题：有理数的减法

2.核心问题：5-(-3)=?

3.数轴直观演示：（简笔画数轴，标注点A(5)，移动至点C(8)）

4.探究发现：

1.5.5-2=3;5+(-2)=3

2.6.5-(-2)=7;5+(+2)=7

3.7.(-5)-2=-7;(-5)+(-2)=-7

4.8.(-5)-(-2)=-3;(-5)+(+2)=-3

9.归纳猜想：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

中间主板：法则与应用区

1.有理数减法法则：

1.2.文字语言：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2.3.符号语言：a-b=a+(-b)

3.4.操作要点：一变（运算符号），二变（减数符号），一不变（被减数）。

5.例题示范：

1.6.例1(2)：(-3)-1=(-3)+(-1)