内蒙古赤峰市2023学年高三二模数学理科试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页内蒙古赤峰市2023学年高三二模数学理科试题一、单选题1．设全集，，，则集合为（

）A． B．C． D．2．棣莫弗公式rcosθ+isinθn=rncosnθ+isinnθ，（i是虚数单位，r＞0）是由法国数学家棣莫弗（1667−1754）发现的.根据棣莫弗公式，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（

）A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；B．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；C．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；D．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.4．函数在上的图像大致为（

）A． B．

C． D．5．九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来（或套上），规则如下：如果要解下（或套上）第环，则第号环必须解下（或套上），往前的都要解下（或套上）才能实现.记解下连环所需的最少移动步数为，已知，，，若要解下7环最少需要移动圆环步数为（

）A．42 B．85 C．170 D．3416．下列选项中，命题是命题的充要条件的是（

）A．在中，：，：.B．已知，是两个实数，：，：.C．对于两个实数，，：，：或.D．两条直线方程分别是，，：，：或.7．记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6二、多选题8．四叶草曲线是数学中的一种曲线，某方程为，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如图），在几何学、数学、物理学等领域中有广泛的应用.例如，它可以用于制作精美的图案、绘制函数图象、描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性质，其中错误的是（

）A．四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数；B．曲线上两点之间的最大距离为；C．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）；D．四个叶片围成的区域面积小于.三、单选题9．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（

）A．4 B．6 C．8 D．1810．如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，给出下列命题:①四棱锥的体积恒为定值；②直线与直线交于点，直线与直线交于点，则、、三点共线；③当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点至少有两个；④为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面，其中真命题是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④11．已知，，，其中为自然对数的底数，则（

）A． B．C． D．12．初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图像顺时针旋转可以得到双曲线.已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（

）A． B． C． D．四、填空题13．已知向量，，且与的夹角为，则______.14．已知，则____.15．某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的体积是__________.16．已知抛物线，焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，，已知线段的中点，则的值是__________.五、解答题17．①函数对任意有，数列满足，令；②数列中，已知，对任意的都有，令.在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)数列是等差数列吗？请给予证明；(2)设，，试比较与的大小.18．2022年中国新能源汽车销售继续蝉联全球第一，以生产充电电池起家的比亚迪在2002年才进入汽车行业，2022年2月已成为全球唯一一家同时掌握电池、电机、电控芯片、整车制造等全产业链核心技术的新能源汽车厂商，成为新能源汽车（纯电动和插电式混动）的销量冠军，在中国新能源汽车的总销量中占比约为.2022年4月3日，比亚迪宣布停止纯燃油汽车的整车生产，成了全球首家“断油”的企业，为了解中国新能源车的销售情况，随机调查10000辆新能源汽车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)求的值，并求出中国新能源车的销售价格的平均数、众数、中位数；(2)若从新能源车中随机的抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为，求的分布列与数学期望，并解释此期望值的含义.19．已知为等边三角形，其边长为，点为边的中点，点在边上，并且，将沿折起到.(1)证明：平面平面；(2)当平面与平面成直二面角时，在线段上是否存在一点，使得平面和平面所成二面角的正切值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.20．已知函数.(1)在当时，分别求和过点的切线方程；(2)若，求的取值范围.21．已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为,左右焦点为,点为椭圆上异于的动点，且的面积最大值为.(1)求椭圆的方程及的值；（、分别指直线的斜率）(2)设动直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线过定点；②设的面积分别为，求的取值范围.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；(2)设点，曲线，的交点为A，，求的值.23．已知函数，若的解集为.(1)求实数的值；(2)已知均为正数，且满足，求证：.

参考答案1．【答案】C【分析】根据交集，并集和补集的运算即可求解.【详解】因为全集，由知，，；由知，，，则集合，故选：C.2．【答案】B【分析】先求得复数2cosπ4+isinπ【详解】2cos=2210−2故选：B3．【答案】C【分析】设该直播间第一季度总收入为单位1，结合图中数据对四个选项一一进行判断.【详解】A选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，则设该直播间第二季度总收入为单位2，该直播间第三季度总收入为单位4，所以第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，故A错误；B选项，因为第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，设该直播间第一季度总收入为单位1，故该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的倍，B错误；C选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，故直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的倍，C正确；D选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，则该直播间第三季度食品收入为，前两个季度的食品收入之和为，因为，故该直播间第三季度食品收入高于前两个季度的食品收入之和，D错误.故选：C4．【答案】D【分析】利用为偶函数排除选项AB；利用在上的单调性排除选项C，进而选项D正确.【详解】，，又，则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项AB；又，当时，恒成立，则在单调递增；令，，则在恒成立，则在单调递减，又，，则存在唯一，使得，当时，，即，则单调递增；当时，，即，则单调递减.故在单调递增；在单调递减，排除选项C.故选：D.5．【答案】B【分析】根据给定的递推公式，依次计算作答.【详解】连环所需的最少移动步数为，，，，则，，，，.故选：B6．【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.在中，当时，由三角形中大边对大角，小边对小角得，又由正弦定理可得；当时，由正弦定理可得，又由三角形中大边对大角，小边对小角得，所以命题是命题的充要条件，故A正确；B.由得，故命题是命题的必要条件，故B错误；C.对于两个实数，，若，则或，反之不成立，故命题是命题的充分条件，故C错误；D.两条直线方程分别是，，当时，，解得，所以命题是命题的充分条件，故错误；故选：A7．【答案】C【分析】先求出函数的周期，再由可求出，然后由为的零点，可求得结果.【详解】因为的最小正周期为，且，所以，因为，所以，所以，因为为的零点，所以，所以，解得，因为，所以的最小值为4，故选：C8．【答案】AB【分析】根据函数与方程的定义可判断A；设曲线上的点到原点的距离为，利用基本不等式可得的范围可判断B；由的范围可得的范围，可得曲线上的整点可判断C；由的范围得曲线上的点到原点的距离最大值为，求出以为圆心，为半径的圆的面积可判断D.【详解】对于A，用替换方程中，方程不变，四叶草曲线方程不是函数的解析式，所以不是偶函数，也不是奇函数，只是四叶草曲线关于轴、原点对称，故A错误；对于B，设曲线上的点到原点的距离为，因为，所以，，所以，可得，即，根据对称性可得两点之间的最大距离为，故B错误；对于C，由B可知，所以，可得曲线上的整点有，曲线经过5个整点，故C正确；对于D，由B可知，曲线上的点到原点的距离最大值为，以为圆心，为半径的圆的面积为，所以四个叶片围成的区域面积小于，故D正确.故选：AB.9．【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案.【详解】，由正弦定理得，，又，所以，因为，所以，故，因为，所以，由三角形面积公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周长为.故选：B10．【答案】C【分析】利用割补法判断四棱锥的体积是否为定值，即可判断①；利用两平面有且仅有1条通过其公共点的直线证明、、三点共线，即可判断②，利用面面平行性质定理证明四边形是平行四边形，再利用侧面展开图求得截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点个数，即可判断③；取的中点，连接，根据线面平行的判定定理即可证明④.【详解】①四棱锥的体积等于三棱锥的体积与三棱锥的体积之和，又长方体中，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，则点、到平面的距离为定值，又为定值，则四棱锥的体积恒为定值，故①正确；②直线与直线交于点，直线与直线交于点，则、、三点均为平面与平面的公共点，由平面与平面有且仅有一条交线，可得、、三点共线，故②正确.③由平面与棱交于点，可得平面平面，平面平面，又平面平面，则；又平面平面，平面平面，又平面平面，则，又，四边形是平行四边形，当的值最小时，四边形的周长取得最小值.将侧面与侧面展开在同一平面，当且仅当为直线与交点时的值最小，则当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点仅有1个，故③错误；④如图的中点，连接，因为为底面对角线和的交点，所以为的中点，所以，平面，平面，所以平面，即在棱上存在点，使平面，故④正确；故选：C11．【答案】B【分析】由，构造函数，利用导数法判断；由，构造函数，利用导数法判断.【详解】解：，，，则，令，则在上递减，则，所以在上递增，则，即，则，令，则在上递减，则，所以在上递减，则，即，故选：B12．【答案】A【分析】利用题中所给信息，找出两条渐近线方程，再利用双曲线的对称性，建立新的坐标系，再利用条件求出和，进而求出结果.【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，故函数图像关于原点对称，当，且时，，当时，，此时的图像与无限靠近，故的两条渐近线为轴和，作出其图像如下图所示：为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴必须平分两条渐近线的夹角，又，其斜率为，此时其在原坐标系中其倾斜角为，与轴的夹角为，故在新坐标系中，轴与轴的夹角应为，故轴所在直线在原坐标系中的方程为，轴与垂直，在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，联立，解得，，所以，又在新坐标系下，双曲线的渐近线与的夹角为，故，即，故在新坐标系下双曲线方程为，故选：A.13．【答案】【分析】依据向量数量积列出关于x的方程，解之即可求得x的值.【详解】向量，，则，又与的夹角为，则，解之得或（舍）故答案为：14．【答案】60【分析】利用二项展开式通项公式即可求得的值.【详解】则故答案为：6015．【答案】【分析】先求得三棱锥的直观图，进而得到三棱锥外接球的半径，代入球体积公式即可解决.【详解】三棱锥直观图如下，其所在长方体长宽均为1，高为2，此三棱锥外接球的直径为此长方体的体对角线，则此三棱锥外接球的半径为，该球体积为故答案为：16．【答案】17或44【分析】设切点，，利用导数的几何意义，写出两条切线方程，联立解方程组，并结合点和的坐标，推出的值，再利用抛物线的定义计算的值即可.【详解】由题意知，，设，，则，，，所以，，因为线段的中点，所以，即，所以，即，因为，所以，则，所以切线的方程为，即因为，所以可化为同理切线的方程为，可化为.联立方程，解得，即，因为，所以，，即，，又因为，所以，把和代入上式，可得，化简得，解得或，由抛物线定义可得，，所以，因为，，所以，所以，当时，，当时，，综上，的值为或.故答案为：或.17．【答案】(1)是等差数列，证明见解析(2)【分析】（1）对于条件①，根据函数性质及倒序相加法求出，再利用等差数列定义证明数列是等差数列；对于条件②，令，即可.（2）先求出，再对放大后求和即可比较大小.【详解】（1）选择条件①由已知得，，

同时，两式相加，得，因为函数f（x）对任意有，所以.所以.故，且,所以数列是以为首项，公差的等差数列.选择条件②因为对任意的p，都有，令，则，故数列为以为首项，公差为公差的等差数列.∴.（2）选择条件①由（1）知，∴，当时，.所以，故.选择条件②由（1）知，所以，当时，.所以，故.18．【答案】(1)详见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）利用频率分布直方图的频率之和为1求得的值，并依据相应规则求得新能源车的销售价格的平均数、众数、中位数；（2）服从二项分布，先求得各个值对应的概率，进而得到的分布列与数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图得，.∴.销售价格的平均数由频率分布直方图得，众数为20（万元）.∵∴中位数（万元）（2）∵比亚迪汽车在中国新能源汽车的总销量中占比约为，∴，即X服从二项分布.则，，，.所以，X的分布列为：X0123P∴.其含义是：若从新能源车中随机地抽出3辆，平均有一辆是比亚迪汽车.19．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为线段BC的中点.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）由给定的直二面角结合（1）可得，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】（1）因为，于是在折后，，，，平面，因此平面，又平面BCDE，所以平面平面BCDE.（2）由（1）知，为二面角的平面角，而平面与平面成直二面角即有，，则两两互相垂直，以E为坐标原点，分别以所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，因为点P在线段BC上，则令，，因此，，由（1）知，平面，即平面的法向量，设平面的法向量，则，令，则，设平面和平面所成二面角为，则，，，∴，于是，解得，所以存在符合条件的点P，满足条件，点P为线段BC的中点.20．【答案】(1)(2){1}【分析】（1）利用导数几何意义即可求得和过点的切线方程；（2）构造函数，利用导数并按的分类讨论，进而求得的取值范围.【详解】（1）设过点的切线与的切点为.由，则切线方程为，把代入得，，故切线方程为.当时，，因在的图象上，故为切点，故，则切线方程为.（2）由，得.则，令则，①当时，，所以在R上为增函数.∵，∴，使，故，当时，，单调递减，当时，，不符合题意.②当时，，，∵恒成立，∴在R上恒增，且故，当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴，恒成立，∴.③当时，，在上单调递增，且，故在上单调递增，又，，则，使，故，当时，，单调递增，当时，，不符合题意.④当时，由，不符合题意综上，a的取值范围{1}.21．