第26章 二次函数 数学活动 导学案（解析版）

.二次函数数学活动（导学案）（1）能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大值.能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性质分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用知识解决探究性问题.（2）经历观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数学思维方法.（3）在自主探究和小组合作中体验数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养.重点:探究和为定值的两个数的乘积最值规律，建立二次函数模型求解最值问题；感知抛物线的几何特征，掌握简单实物抛物线问题的二次函数建模方法.难点:从数字规律、实物图形中自主提炼变量关系，准确建立二次函数模型；结合数形结合思想，解释二次函数最值、图象特征对应的实际意义.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课情境提问：同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问题.今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律.抛出问题：若两个数的和为10，这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？引发学生思考、口算猜想.导入课题：本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二次函数数学活动.【学法指导】新知自研：自研课本数学活动的内容【学法指导】自研课本数学活动页内容（一）和定数乘积的最值探究活动1.和为定数，哪个数的积最大？自主计算，初步猜想给定两个正整数和为10，学生分组计算：1×9、2×8、3×7、4×6、5×5、6×4……记录乘积结果，观察变化规律，猜想规律.规律：和为定值的两个数，两数越接近，乘积越大，两数相等时乘积最大.建模推理，验证猜想设其中一个数为x，则另一个数为10-x，设两数乘积为y，列出函数关系式：y=x(10-x)=-x²+10x（x>0，10-x>0，即0<10）引导学生分析函数：二次项系数<0，抛物线开口向下，函数有最大值.根据顶点公式，当时，，验证猜想成立.规律归纳，推广结论：若两个正数的和为定值m，设一数为x，另一数为m-x，乘积y=-x²+mx，当，即两数相等时，乘积取得最大值.（二）抛物线图形建模探究活动2刹车距离与刹车时车速的关系动手作图，感知图形：指导学生按照教材步骤作图：取一条直尺，固定一端点，将细绳一端固定于定点，细绳长度大于直尺固定点到动点的距离，移动细绳端点，绘制出平滑曲线，观察曲线形状，感知抛物线轨迹特征.解决问题：由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表:刹车时车速/(km/h)404856647280刹车距离/m1722.427.935.343.452.8(1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.(2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式.(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为70m，已知这条高速公路限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断:在事故发生时，汽车是否超速行驶?解决问题活动过程：①把6组坐标(40,17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8)在平面直角坐标系描点，用平滑曲线连接.观察猜测图象特征：图象从左向右上升，上升速度越来越快，曲线开口向上，符合二次函数（抛物线）特征，排除一次、反比例函数.结论：该变量关系近似二次函数.②求二次函数解析式设二次函数一般式：y=ax²+bx+c，选取三组差距较大、代表性强的数据：(40,17)、(64,35.3)、(80,52.8)，代入列三元一次方程组：分步消元计算：2式−1式：2496a+24b=18.3①3式−2式：2304a+16b=17.5②联立①②化简求解，近似得：a≈0.0083,b≈-0.099,c≈7.7解析式：y=0.0083x²-0.099x+7.7验证：代入x=56，y≈0.0083×56²-0.099×56+7.7≈28.2，与实测27.9误差极小，模型成立.③判断车辆是否超速（刹车距离70m，限速100km/h）已知y=70，代入解析式解方程，求出车速x，和100比较.解方程：0.0083x²-0.099x+7.7=70整理：0.0083x²-0.099x-62.3=0两边同乘10000得：83x²-990x-623000=0用求根公式，舍去负根（车速不能为负），计算得：x≈93.8km/h∵93.8<100结论：该车没有超速.归纳总结：解决问题思路：1.建模思想：散点拟合，根据图象形状选择二次函数模型；2.待定系数法：三点代入求二次函数近似解析式；3.函数与方程转化：已知函数值解方程求自变量，结合实际舍去负根；4.实际应用：利用二次函数模型解决交通安全测速问题.易错提醒：1.不能随便选2个点求解析式，三点才能确定二次函数；2.车速是正数，一元二次方程负根必须舍去；3.本题是实测数据拟合，解析式为近似式，计算结果存在微小误差属正常.【自研自探】自研课本数学活动内容典型例题例1.用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，求长方形面积的最大值.【分析】长方形面积=长×宽，长+宽=18（定值），构建二次函数，开口向下，顶点处面积最大.【详解】设长方形长为xcm，则宽为(18-x)cm，面积为ycm²，依题意得y=x(18-x)=-x²+18xa=-1<0，函数有最大值。顶点横坐标：宽：18-9=9最大面积：y=9²=81答：长和宽都为9cm（正方形）时，面积最大为81平方厘米.例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：0912151821…05…

(1)根据表中数据预测足球落地时，______m；(2)求h关于s的函数解析式；(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；（3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可．【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，抛物线关于对称，当时，，时，；（2）由（1）知，抛物线关于对称，设，把代入上述解析式，，解得，（3）当，∴，∴守门员不能成功防守．第二环节合作探究讨论如何解决两数的和为定值，积最大问题？讨论如何解决抛物线型问题？拓展提升：1．如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由；(3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围．【详解】（1）解，设，将代入得，．（2）将代入，得，，，将代入，得，，小球不能飞过这个障碍物；（3），，，解得：，．，若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：．1.两数之和为20，其中一个数取值范围3≤x≤8，求两数乘积的最大值.【详解】设一个数为x，两数积为y，则函数y=-x²+20x，对称轴x=10，开口向下，在对称轴左侧y随x增大而增大，给定区间在对称轴左边，最大值在x=8处.解答x=8，另一个数12乘积y=8×12=96答：乘积最大值为96.2．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米，(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？【详解】（1）解：设抛物线解析式为，由题意知，隧道的最大高度为米；米，米，由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，则有，，，抛物线的解析式为，（2）由题意得，当时，，，．当或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时，当时，此时刚好违反交通规则，汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，的取值范围是．1．(2026.四川成都)已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表：x…-2-1013…y…3430…下列说法错误的是（

）A．函数图象的开口向下B．函数图象的对称轴是直线C．D．【详解】解：将点代入得：，解得，∴二次函数的解析式为，∵，∴函数图象的开口向下，则选项A正确；将二次函数化成顶点式为，∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确；又∵，∴，则选项C错误；，则选项D正确．2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为m．【解答】解：由题意，OA＝1.6m，得A（0，1.6），将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5，解得：a=-1∴y=-1令y＝0，得-1解得：x1＝8，x2＝﹣2，∴OB为8m，故答案为：8．3．（2025·临沂校考）音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一座高为1米的喷泉喷出的水流状为抛物线形，喷水最大高度为3米，此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为米，如图所示，求水柱落地处离池中心的距离．【详解】解：设这段抛物线的解析式为，由题意可知，顶点坐标为，∴，，∴抛物线解析式，由题意得抛物线经过，∴，解得，∴抛物线解析式为当水柱落地时，，即，∴，解得，（舍去），∴水柱落地处离池中心米．4．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）已知抛物线L3的函数表达式为y=-316(x-4)2，【解答】解：（1）∵BO＝4m，∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4），设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，∵AC＝16m，结合二次函数的对称性得A（﹣8，0），C（8，0），将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，得0＝64a+4，则a=-1∴y=-1（2）由（1）得抛物线L1的函数表达式y=-1∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.NQ=52m，且抛物线L3∴y=y整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，解得x1＝x2＝6，∴MN＝2×6＝12（m）.知识技能：（1）和定积最值规律：两个正数和为定值，两数相等时乘积最大，可通过建立二次函数模型求解最值；（2）实物抛物线建模：根据抛物线顶点、对称轴特征，合