专题04 判别式、根与系数的关系及含参数问题（专项训练）（原卷版）

专题04判别式、根与系数的关系及含参数问题常考题型·精准突破题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况（重）题型2根据一元二次方程根的情况求参数（高频）题型3利用根与系数的关系求代数式的值（高频）题型4判别式和根与系数的关系的综合问题（难）题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况1．（25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（

）A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根3．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定◆题型2根据一元二次方程根的情况求参数4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________．5．（25-26八年级下·吉林·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________．6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________．◆题型3利用根与系数的关系求代数式的值7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．8．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________．9．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值；(1)(2)(3)◆题型4判别式和根与系数的关系的综合问题10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程的两根为，，且，求m的值．11．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，．(1)求k的取值范围；(2)若，满足，求实数k的值．12．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若、是方程的两根，且，求的值．◆题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”．(1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）．①；②；③．(2)若是“美丽方程”，求的值．(3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由．14．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．(1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值；(2)若，是方程的两根，记，，…，，①当为不小于的整数时，证明：；②计算，的值．15．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）①；②(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值．(3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（

）A． B． C． D．2二、填空题4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义新运算，对于任意实数m、n有，则方程的根的判别式的值为__________．5．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．6．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为________．三、解答题7．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围．(2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值．8．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个根均为整数，求整数的值．9．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)求的取值范围；(2)当时，①求的值；②求的值．10．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．11．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若，是原方程的两根，且．求m的值．12．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中．(1)写出方程①的“换位方程”；(2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；(3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值．13．（25-26九年级上·广东韶关·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程（）的两根为，，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)【材料理解】一元二次方程的两根为，，则_______，_______；(2)【类比运用】已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，满足，求的值．14．（25-26八年级上·上海普陀·期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”．（1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”）（2）如果、n