呼和浩特市实验中学2026届九年级下学期3月中考模拟数学试卷（含解析）

内蒙古呼和浩特市实验中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题一、单选题1．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举行，由内蒙古一机集团制造的第四代主战坦克首次公开亮相接受检阅．若某坦克向前行进记作，则向后倒退应记作（

）A． B． C． D．2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（

）A． B．C． D．4．一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在边上，连接，，是的中点，连接，，，则线段的长为（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，直线交于点，连接，再通过尺规作图得射线，交于点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．7．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，8．周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是（

）A．小华的速度是B．爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：C．爸爸在出发25分钟后与小华相遇D．小华家到植物园的距离是二、填空题9．内蒙古草原主要由六大核心草原（呼伦贝尔草原、科尔沁草原、锡林郭勒草原、乌兰察布草原、鄂尔多斯草原和乌拉特草原）组成，若从中随机选择一个，则选中“科尔沁草原”的概率是________．10．港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，若汽车通过海底隧道需要a小时，通过主桥需要b小时，则主桥和海底隧道的长度和用代数式表示为________千米．11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为_________．12．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________．三、解答题13．计算：(1)；(2)．14．呼和浩特市素有“乳都”之称，为了解学生的日常饮奶情况，呼和浩特某初中组织开展了“初中生日常饮奶习惯”调查．中学生巴特尔作为学生统计员，从全校1000名学生的每日饮奶数据中随机抽取了n名学生的数据．他首先整理了同学们“每日平均饮奶量x（单位：盒，每盒250ml）”的分布情况，绘制了如下频数分布直方图（第一组，第二组，以此类推）．同时，巴特尔统计了同学们最常饮用的牛奶类型，分别是A（纯牛奶），B（酸奶），C（风味奶），D（其它），并绘制了如下扇形统计图．请根据以上信息及统计图表，解决以下问题：(1)若每日饮奶盒数小于1的学生占样本的，则________；扇形统计图中B部分对应的圆心角度数为________；(2)补全频数分布直方图；(3)已知《中国居民膳食指南》建议青少年每日饮奶量约为（2盒）．根据频数分布直方图，估计该校被调查学生中，达到或超过此建议量的人数，并为该校提升学生“健康饮奶水平”设计一条具体建议．15．2025年是内蒙古博物院里程碑式的一年，全年接待观众272万人次，举办各类活动3500多场，以全新姿态展现了草原文明的多元魅力．博物院在售A，B两种文旅产品，已知每个B种产品的价格是每个A种产品价格的，用300元购买B种产品的数量比用200元购买A种产品的数量多7个．(1)求每个A种产品的价格；(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种产品，且购买B种产品的数量比A种产品的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种产品．16．如图所示，四边形内接于，过点作交的延长线于点．(1)求的度数；(2)求证：是的切线；(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段有关的三个结论，，，你认为哪个结论正确，请说明理由．17．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式；【探究二】研究心形叶片的尺寸（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度；【探究三】探究幼苗叶片的特征（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值．18．学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下：【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由；【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形；【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．参考答案1．B解：因为向前行进记为正，向后倒退与向前行进是一对相反意义的量，所以向后倒退应记作．2．D解：A选项：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不符合题意；B选项：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；C选项：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意；D选项：该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意．故选：D．3．D解：，由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：D．4．A解：则，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．5．D解：设，，，矩形中，，中，由勾股定理得：，即，解得：，即，是的中点，矩形中，是的中位线，，即线段的长为．故选：．6．C解：中，，．由作图可知，点D在线段的垂直平分线上，，故选项A结论正确，不合题意；由作图可知，平分，，故选项B结论正确，不合题意；，故选项C结论错误，符合题意；，，，，故选项D结论正确，不合题意；故选：C．7．A解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，反比例函数的图象上有，两点，当，即时，；当，即时，；当，即时，；故选：A．8．D解：如图，A：由图象可知，小华走了，∴小华的速度为，故该选项不合题意；B：由题意知，爸爸开车的速度是，爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，故该选项不合题意；C：时，小华离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，由图可知爸爸和小华在点处相遇，当时，解得，，∴爸爸在出发25分钟后与小华相遇，故该选项不合题意；D：设家到植物园的路程为，则有，解得，故该选项符合题意．故选：D．9．解：所有等可能的选择结果总数为，选中“科尔沁草原”的结果只有种，因此选中“科尔沁草原”的概率是．10．【详解】汽车在海底隧道行驶的平均速度为，通过时间为小时，因此海底隧道的长度为千米，汽车在主桥上行驶的平均速度为，通过时间为小时，因此主桥的长度为千米，因此主桥和海底隧道的长度和为千米．11．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线∴，，∵EF是AC的垂直平分线，∴点为外接圆的圆心，∵OA＝3，∴外接圆的面积为：，故答案为：．12．解：如下图所示，过点作，菱形中，，，，，与是等边三角形，，，，，，，，，，，，，．13．(1)6(2)（1）解：原式；（2）解：原式．14．(1)40；(2)见解析(3)100人；建议：开展“牛奶与健康”主题班会，普及每日饮奶的健康知识；（合理即可）（1）解：由题意，抽取的n名学生中每日饮奶盒数小于1的学生共有（人），∵每日饮奶盒数小于1的学生占样本的，∴（人）；由扇形统计图可知B部分占总体的百分比为，∴B部分对应的圆心角度数为；（2）解：由题意，得每日平均饮奶量的人数为（人），补全频数分布直方图如图：（3）解：由题意，得抽取的40名学生中，达到或超过2盒的人数为人，则该校被调查学生中，达到或超过此建议量的人数约为（人），建议：开展“牛奶与健康”主题班会，普及每日饮奶的健康知识；（合理即可）．15．(1)每个A种产品的价格为25元．(2)该游客最多购买11个A种产品．（1）解：设每个A种产品的价格为x元，则每个B种产品的价格为元，根据题意，得，解得，经检验是原方程的解，答：每个A种产品的价格为25元；（2）解：由（1）知：每个B种产品的价格为元，该游客购买a个A种产品，根据题意，得，解得，∵a为正整数，∴a的最大值为11，故该游客最多购买11个A种产品．16．(1)(2)见解析(3)②正确，理由见解析（1）解：∵四边形内接于，∴；（2）证明：连接并延长交于点，连接，则：，∵，∴垂直平分，∵，∴，又∵是的半径，∴是的切线；（3）解：结论②正确，理由如下：由（1）可知：，∵，∴为等边三角形，∴，∴，在上截取，连接，则为等边三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．17．（1）C点坐标为，；（2）；（3）2解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，∴解得：，，∴抛物线的解析式为．当时，．解得，，∴C点坐标为；（2）∵直线与坐标轴交于，两点，∴令，得，令，则，，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点，∴，，∴,∴是等腰直角三角形，∴，∵C点坐标为，∴，∴，∴；（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得，解得，∴，设M点坐标为，则，，∵，，∴当时，的最大值为2．18．[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：证明见解析；[探究提升]：能，四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下：将△沿翻折得到△，，，，，四边形是菱形；[探究证明]：证明：如图：将沿翻折得到，，，，，四边形是菱形，，为边的中点，为边的中点，，，四