吉林省长春市2026届九年级下学期3月中考一模数学试卷（含解析）

2026年吉林省长春市九年级阶段性练习数学（一模数学试题）一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．2．如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（

）A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥3．如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（

）A． B． C． D．4．用四舍五入法将130542精确到千位得到的近似数是（

）A．131 B．130 C． D．5．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定6．市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（

）A．米 B．米C．米 D．米7．如图，在中，，，．分别以点和点为圆心、相同长度（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点．连接，则的周长是（

）A．12 B．14 C．16 D．188．如图，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题9．计算______．10．若点在第一象限，则的取值范围是____________．11．如图，已知直线，若，则的度数是______．12．如图，与都是直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么的度数是______．13．过，两点画一次函数的图象，已知点的坐标为，则点的坐标可以是______．（填一个符合要求的点的坐标即可）14．如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论：①；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是矩形；④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为．上述结论中，正确结论的序号是______．三、解答题15．先化简，再求值：，其中．16．一个不透明的口袋中装有1个红球和1个白球，这两个小球除颜色不同外其余均相同，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球都是红球的概率．17．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图：(1)在图①中，确定格点，作射线，使；(2)在图②中，确定格点，作射线，使．18．今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量．19．如图，将等腰直角三角尺沿着直线平移到的位置，连结．已知，平移距离．求证：四边形是菱形．20．近年来，学生体质健康情况受到广泛关注．国际上常用握力体重指数（，缩写）来综合评价上肢肌肉力量与身体协调性，该指数不仅是体质健康评估的核心项目之一，更被多项权威研究证实与心血管健康和寿命密切相关．握力体重指数计算公式是，例如：某人握力为35公斤，体重为50公斤，则他的．《国家学生体质健康标准》．对初中男生的参考标准为：为优秀；为良好；为及格；为不及格．某中学为了解九年级男生的握力体重指数（）情况，从该校九年级男生中随机抽取了21名男生进行测试，通过计算得到他们的，并绘制了不完整的条形统计图．根据以上信息回答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)这21名男生的中位数属于______水平；（填序号）①优秀；

②良好；

③及格；

④不及格．(3)基于上述统计结果，学校建议小于60的男生进行针对性训练．学生小刚体重为70公斤，为48．接下来他需要通过科学训练，使得能达到“良好”水平，那么小刚的握力至少需要增加______公斤．（假设体重保持不变）21．一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示．(1)进水管每分进水______L，出水管每分出水______L；(2)当时，求与之间的函数关系式；(3)当容器内的水量是时，求的值．22．【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值．【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下：证明：如图②，取边的中点，连结．证明过程缺失．．请你帮助小明补全上述证明过程．【问题解决】的最小值为______．【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______．23．如图，点是直线上一定点，以点为圆心、8为半径作圆，交直线于、两点（点在点的左侧）．点是直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，，且．点在射线上，．(1)点到直线的距离是______；(2)当点在射线上时，①连接．当时，求线段的长；②当射线所在的直线与相切时，求线段的长；(3)连接、．当是钝角时，直接写出线段长的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为．(1)求点的坐标；(2)当时，的值为______；(3)当时，求的取值范围；(4)作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围．

参考答案题号12345678答案BDBCACBC1．B【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意；B、是无限不循环小数，属于无理数，故符合题意；C、是有限小数，属于有理数，故不符合题意；D、是分数，属于有理数，故不符合题意．2．D【详解】解：该作品里绘制了棱柱、棱锥、球体，没有圆锥．3．B【详解】解：在中，，，，同理，，．4．C【详解】解：130542用科学记数法表示为，精确到千位得到的近似数是．5．A【详解】解：点和点都在抛物线上，将代入解析式得；将代入解析式得；，．故选：．6．C【详解】解：∵，∴，在中，（米），∵由题意可知，∴四边形为矩形，∴（米），∴米．7．B【详解】解：由题意得：是线段的垂直平分线，，在中，，，，，则的周长．8．C【详解】解：设点的坐标为，点在反比例函数的图象上，且轴，．点在线段上，且，点到轴的距离与点到轴的距离（即）之比为．和同底（底边均为），．，．，解得．反比例函数图象在第二象限，，．9．3【详解】解：．10．【详解】解：∵点在第一象限，∴，解得：，故答案为：．11．/度【详解】，．12．/度【详解】解：顺时针旋转得到．，，．13．（答案不唯一）【详解】解：，当时，，点的坐标可以为．故答案为：（答案不唯一）．14．①②④【详解】解：∵、是三个等边三角形．∴，∴，即，∴，故①正确；同理可证，，∴，∴∴四边形是平行四边形；故②正确；当时，∵∴，∴四边形不可能是矩形；故③错误；∵，，∴，过点作于点，∵是等边三角形，∴，，∴∴，∴五边形的面积为．故④正确．15．，【详解】解：，当时，原式．16．【详解】解：画树状图为：由图可得，共有4种等可能结果，其中两次摸出的球都是红色的情况只有1种，故两次摸出的球都是红球的概率为．17．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，射线即为所求；（2）解：如图，射线即为所求；18．该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵【详解】解：设该班的学生人数为x人，由题意得，，解得，∴这批树苗的数量是（棵），即该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵．19．见解析【详解】证明：由平移的性质可得：，，∴四边形是平行四边形，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴四边形是菱形．20．(1)见解析(2)②(3)【详解】（1）解：不及格人数为，补全条形统计图如下：（2）解：∵21名男生进行测试，∴中位数为第11名男生，根据条形统计图可知第11名男生为良好；（3）解：由题意可知握力（公斤），小刚的原握力为（公斤），∵能达到“良好”水平，∴小刚训练后的握力至少为（公斤），∴小刚的握力至少需要增加（公斤）．21．(1)；(2)(3)【详解】（1）解：前只进水，总水量为，因此进水管每分钟进水，到共，既进水又出水，水量从增加到，总增加水量，设出水管每分钟出水，可得：，解得．故答案为：；．（2）解：当时，是的一次函数，设，由图可知，函数过点和，代入得：，解得，因此函数关系式为：．（3）解：因为，所以在范围内，将代入解析式：，解得：．22．问题探究：见解析；问题解决；拓展提升：【详解】解：问题探究：证明：如图②，取边的中点，连结．∵正方形，∴，，∵M，分别为边、的中点，∴，，∴，∵，∴，即，，．问题解决：如图②，连接，∵，∴当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于N，∵正方形，正方形，为边的中点，，∴正方形，∴，，∴由勾股定理，得，∴的最小值为．拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，如图③，由问题探究可知：，，∵∴当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，∵正方形，正方形，，，∴，，，∴由勾股定理得：，∴的最小值为．23．(1)4(2)①15；②10(3)【详解】（1）解：如下图，过点B作于点，∴，可设，则，在中，可得，即，∴，解得或（负值舍去），∴，，∴点到直线的距离是4；（2）解：①如下图，连接，由（1）可知，，，∵，∴在中，可得，∴；②如下图，设射线所在的直线与相切于点，过点作于点，连接，则，可设，，∴在中，可得，∴，∵射线所在的直线与相切，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴在中，，∴，解得，∴，∴；（3）解：令点自点P左侧向右运动，当点B在左侧时，如下图，设交于点，∵为直径，∴，此时；当点运动到上时，如下图，过点B作于点，连接，∵为直径，∴，由（1）可知，，，∴在中，可得，∴；点继续向右运动，当点位于内部时，如下图，可知，即是钝角；点继续向右运动，当点再次运动到上时，如下图，过点B作于点，连接，此时，且，，∴在中，可得，∴，∴；点继续向右运动，当点B运动到右侧时，如下图，设交于点，∵为直径，∴，此时．综上所述，当是钝角时，线段长的取值范围为．24．(1)(2)