广东省汕头市潮阳区2024-2025学年上学期九年级第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年度初三上数学第二次诊断性检测总分：120分时间：120分钟选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1、2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A．B． C．D．2、下列抛物线中，开口方向与其他三个不同的是（

）A． B． C． D．3、若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（

）A．25 B． C． D．4、将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（

）A．B．C．D．5、在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则这次酒会的人数为（

）A．19人 B．10人 C．11人 D．12人如图，四边形内接于，、为对角线，经过圆心O．若，则的度数是（

）A． B． C． D．7、已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（

）A． B． C． D．8、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（

）A．或B．或C．或D．或9、如图是一个圆形分格干果盒，这种干果盒既美观又实用，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇形的一部分．它的截面示意图（小格的厚度忽略不记）通过测量得到，，则图中阴影部分的面积是（

）A．B．C． D．6题8题9题10题10、如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（

）A．B．C．D．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11、“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是．12、机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝m/s．13、数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106157264527105615872650盖面朝上频率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为.（精确到0.01）14、如图，把绕点顺时针旋转，得到交于点，若．则的度数为15、如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为11题12题14题15题三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）16、已知关于x的一元二次方程．(1)当时，请适当方法解此方程；(2)若方程有两个相等的实数根，则k的值为________；17、我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题．18、中国古代“四大发明”是在世界上具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A指南针、B造纸术、C黑火药、D印刷术，如图是小刚收集的四大发明的卡片，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后第一次从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，第二次再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率：(1)第一次取出的卡片图案为“C黑火药”的概率为______．(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19、利用以下素材解决问题．问题驱动十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离设计方案方案一：圆弧型方案二：抛物线型任务设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图1，过B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分）22、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．【初步探究】（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．【深入探究】（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．①求证：点F是PD的中点；②若CD＝20，则△CEF的面积为．23、综合运用已知：抛物线与轴交于，，与轴交于点，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1：抛物线的对称轴交轴于点，在抛物线对称轴上找点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2：点在对称轴上，以点为圆心过A、两点的圆与直线相切，求点的坐标．（4）如图3，点M是直线EC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线EC下方），已知MN＝1，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．2024-2025学年度初三上数学第二次诊断性检测答案1、【答案】D．2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】B5、【答案】C6、【答案】D7、【答案】D8、【答案】B9、【答案】A10、【答案】A11、【答案】相交12、【答案】4．13、【答案】0.5314、【答案】15、【答案】116、【详解】（1）解：把代入方程，得：，------------------------------1分，，，∴；------------------------------5分（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴，解得，，------------------------------7分17、【答案】解：设矩形的长为x步，列方程得------------------------------1分．------------------------------3分解得，．------------------------------5分∴矩形的长为36步，宽24步，(步)．------------------------------6分答：长比宽多12步．------------------------------7分18、【答案】（1）；------------------------------2分（2）画树状图为：

------------------------------5分由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A指南针”的结果有7种．------------------------6分∴P（至少一张卡片图案为“A指南针”）．------------------------------7分19、【答案】解：方案一，设圆的圆心为O，连接．∵，∴．∵，∴，直线过点O．∵，∴．∴．∴．∵，∴是等边三角形．∴．故半径为．------------------------------5分方案二，∵顶点C坐标为，∴设桥拱的函数解析式为．∵，∴．代入得．解得．故函数解析式为．------------------------------9分20、【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵MN是AB的中垂线，∴NE＝NB，∴∠B＝∠NEB，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠NEB+∠OEA＝90°，∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EN，∵OE是半径，∴EN是⊙O的切线；------------------------------4分（2）解：如图，连接ON，∵MN是BE的中垂线，∴NE＝NB，设EN＝x＝BN，在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，∴OC2+CN2＝OE2+EN2，即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，解得x＝，即EN＝．------------------------------9分21、【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，∴A（2，6），将A（2.6）代入得，解得k＝12，∴反比例函数表达式为；------------------------------2分（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），由可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，解得m1＝1，m2＝﹣4（舍去），∴B（1，3）；------------------------------5分（3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，∴∠HEB+∠EBH＝90°，∵点A绕点B顺时针旋转90°，∴∠ABE＝90°，BE＝BA，∴∠EBH+∠ABF＝90°∴∠BEH＝∠ABF，∴△EHB≌△BFA（AAS），设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，∴点E（6﹣2n，4n﹣2），∵点E在反比例函数图象上，∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，解得，n2＝2（舍去）．∴点E（3，4）．------------------------------9分22、【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠DEC，∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠DCE+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠D，∴△ABC≌△CED（AAS）；------------------------------3分（2）PC＝PD，理由如下：------------------------------4分∵CF是∠ACD的平分线，∴∠ACF＝∠DCF，由（1）知，AC＝CD，△ABC≌△CED，∴∠A＝∠DCE，∵CF＝CF，∴△ACF≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠PDC，∴∠PDC＝∠DCE，∴PC＝PD；------------------------------7分（3）①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，∵DE⊥BC，∴∠PED＝90°，∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，∴∠PEF+∠PDE＝90°，∴∠PDE＝∠DEF，∴EF＝DF，∴PF＝DF，∴点F是PD的中点；------------------------------10分②△CEF的面积是30．------------------------------13分23、【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，∴解得，故抛物线解析式为，；------------------------------3分（