第三节-曲面及其方程

四、二次曲面第五节一、曲面研究的基本问题二、旋转曲面

三、柱面曲面及其方程

第八章一、曲面研究的基本问题定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程建立曲面方程.(2)已知坐标x,y,z间的方程时,研究它所表示的几何形状(有时需作图).故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.例2.

研究方程解:

配方得可见此方程表示一个球面说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为球心为一个球面,或点.定义2.一条平面曲线二、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴.例如:建立yOz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yOz

面上曲线

C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z

轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yOz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线交点叫做圆锥面的顶点，两直线夹角叫做圆锥面的半顶角。例4.

求坐标面xOz

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转所成曲面叫做旋转单叶双曲面,所成曲面叫做其方程为旋转双叶双曲面,其方程为三、柱面引例.

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在

xOy面上，表示圆C,沿圆周C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.平行于定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xOy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.

z

轴的平面.

表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于定曲线C

叫做柱面的准线,动直线l

叫做它的母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线xOz

面上的曲线l3.母线柱面,准线

xOy

面上的曲线l1.母线准线

yOz面上的曲线l2.母线四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)特别,当p=q时为绕

z轴的旋转抛物面.用截痕法讨论：用坐标面与曲面相截，截得坐标原点设它是椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.与平面不相交.用坐标面与曲面相截截得抛物线椭圆抛物面与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyo(2)双曲抛物面（马鞍面）(p,q同号)用截痕法讨论：用坐标面与曲面相截，截得一对相交直线设与平面的交线为双曲线.xyzo用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的交线为开口向下的抛物线.顶点以此截痕l为母线,顶点的轨迹L为准线,母线l的顶点在准线上滑动，且母线作平行移动，由此就得到了双曲抛物面.用坐标面，与曲面相截，类似。3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18图形4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到,见P42)内容小结1.

空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于