材料力学（I）（第5版）课件 单辉祖 第1-5章 绪论、轴向拉压应力 -弯曲内力

第

1

章绪论第

1

章绪论

材料力学的研究对象与任务

材料力学的基本假设

材料力学的基本概念本章主要介绍：2§1

材料力学的任务§2

材料力学的研究对象§3

材料力学的基本假设§4

外力与内力§5

应力§6

应变§7

胡克定律§8

杆件的变形形式3§1材料力学的任务

工程实例

构件的强度、刚度与稳定性

材料力学的任务4

工程实例埃菲尔铁塔铁塔承受风载的计算简图铁塔变形示意图5Tacoma海峡大桥(美国Tacoma市)Tacoma

海峡新桥因设计不良1940年破坏6Tacoma大桥破坏过程点击画面7Tacoma桥受压壁板的破坏形式加筋板由平直（原有平衡形式）变弯或断裂加筋板8

构件的强度、刚度与稳定性构件：组成机械与结构的零、构件变形－构件的形状与尺寸发生变化，包括弹性变形（可恢复变形）与塑性变形（不可恢复变形）强度－构件抵抗破坏的能力构件的力学响应：构件的承载能力：失稳－构件不能保持初始平衡形式

破坏－构件发生显著塑性变形或断裂刚度－构件抵抗变形的能力稳定性－构件保持初始平衡形式的能力9

材料力学的任务

研究构件在外力作用下的变形与失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法（包括试验方法）。构件安全工作基本条件

构件应具备足够的强度、刚度与稳定性，以保证在规定的使用条件下，不破坏、不过大变形与不失稳。材料力学的任务构件破坏、过大变形与丧失稳定性,统称为失效,即丧失正常功效10§2材料力学的研究对象

杆件与板件

材料力学的研究对象11

杆件与板件杆件实例12一方向尺寸远大于其他两方向尺寸的构件

杆件

横截面沿轴线不变化的杆,称为等截面杆,否则为变截面杆横截面与轴线相正交；轴线通过横截面的形心

轴线为直线的杆件,称为直杆,否则为曲杆

13中面：板件厚度的平分面板：中面为平面的板件壳：中面为曲面的板件板件薄壁圆筒：圆柱形薄壁壳一方向尺寸远小于其他两方向尺寸的构件14材料力学主要研究对象是杆（包括薄壁杆）,以及由若干杆组成的简单杆系结构,同时也研究一些形状与受力均较简单的板与壳（例如承压圆柱形薄壁壳）。

一般杆系结构与板壳问题,分别属于结构力学与弹性力学的研究范畴。

材料力学的研究对象15

§3

材料力学的基本假设

连续性假设

均匀性假设

各向同性假设

基本假设小结16

连续性假设

构件内的一些力学量（例如各点的位移与变形）可用坐标的连续函数表示.也可采用无限小的数学分析方法。

当空穴或裂纹不能忽略时,采用“断裂力学”方法专门研究。裂纹连续性：在构件所占有的空间内处处充满物质

连续性假设不仅适用于构件变形前,也适用于变形后,

即构件内变形前相邻近质点变形后仍保持邻近。

17

均匀性假设微观非均匀，宏观均匀钢的显微照片灰口铸铁的显微照片均匀性：材料的力学性与其在构件中的位置无关18

各向同性假设宏观各向异性材料晶粒－各向异性材料－宏观各向同性纤维增强复合材料金属材料各向同性：材料沿各个方向的力学性能相同19构件是由连续、均匀与各向同性材料制成的可变形固体

基本假设小结连续性：构件所占有的空间内处处充满物质

（密实体）均匀性：材料的力学性能与其在构件中的位置无关

（力学性能与位置无关）各向同性：材料沿各个方向的力学性能相同

（力学性能与受力方向无关）20

§4外力与内力

外力

内力与截面法

例题21

外力分布力：连续分布在构件表面某一范围的力集中力：当分布力的作用范围远小于构件表面面积或杆长时，可简化为作用于一点处的力F1F2外力：作用于构件上的载荷与约束反力22静载荷：随时间变化极缓慢或不变化的载荷,例如重力静载荷的特点是各质点的加速度可忽略不计动载荷：随时间显著变化或使构件各质点产生明显加速度的载荷离心力冲击力23

内力与截面法内力－由于外力作用，构件内部相连两部分之间的相互作用力内力性质－连续分布力24FN－沿横截面轴线的内力分量FSy,FSz－作用线位于所切横截面的内力分量Mx－矢量沿轴线的内力偶矩分量My,Mz－矢量位于所切横截面的内力偶矩分量内力分量将分布内力向截面形心简化将主矢与主矩沿坐标轴分解25

假想将杆切开,并选切开后的任一杆段为研究对象截面法确定内力

建立所选杆段的平衡方程:

画所选杆段的受力图，内力用其分量表示由此建立内、外力间关系,或由外力确定内力26解：例题求横截面m-m上的内力假想切开

画受力图

由平衡方程求解

例题27

§5

应力

应力概念

正应力与切应力

例题28

应力概念截面m-m上DA内的平均应力截面m-m上k

点处的应力应力定义应力特点

应力是矢量

同一横截面上,不同点处的应力一般不同

过同一点,不同方位截面上的应力一般不同29

正应力与切应力应力分解应力

p

的法向分量－正应力

s

应力单位（Pa－Pascal

帕）（M－Mega

兆）应力

p

的切向分量－切应力

t30解：

例题例

题

矩形截面杆,正应力沿截面高度线性分布,沿宽度均匀分布,st,max=sc,max,求横截面上的内力。

半截面内力

向形心C简化31

§6

应变

正应变概念

切应变概念

例题32

正应变概念棱边ka方位的平均正应变k点沿棱边ka方位的正应变

正应变是无量纲量

过同一点不同方位的正应变一般不同33

切应变概念微体相邻棱边所夹直角的改变量,称为切应变

切应变是无量纲量

切应变单位是弧度（rad）

过同一点不同方位的切应变一般不同∠34

例题例题解：35

§7

胡克定律

应力状态与切应力互等定理

胡克定律

剪切胡克定律

例题36

应力状态与切应力互等定理

单向应力状态（单向受力）纯剪切状态两种基本应力状态仅在微体一对平行截面上存在正应力微体互垂截面仅存在切应力37在微体互垂截面上,垂直于截面交线的切应力数值相等,方向则均指向或离开该交线,称为切应力互等定理切应力互等定理38

胡克定律实验表明：当正应力

s

不超过一定限度时，比例系数E,称为弹性模量,其值由试验测定引进比例系数E,得对于钢与合金钢E=200～220GPa称为胡克定律39

剪切胡克定律实验表明：当切应力

t

不超过一定限度时,引进比例系数G,得比例系数G,称为切变模量,其值由试验测定对于钢与合金钢G=75～80GPa称为剪切胡克定律40

例题例题图示板件,边宽为a,已知

Ds=

a/1000,G=80GPa,

试求板边切应力t。解：g虽很小,但

G很大,切应力

t

不小g为一很小的量,所以41

§8

杆件的变形形式

基本变形形式

组合变形形式42

三种基本变形形式杆件的整体变形,有三种基本形式在作用线沿杆轴的外力作用下，杆件轴向伸长或缩短以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为

轴向拉压轴向拉压43扭转以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式，称为

扭转在作用面垂直于杆轴的外力偶作用下，各横截面绕轴线相对旋转44弯曲在垂直于杆轴的外力或矢量垂直于杆轴的外力偶作用下，杆件轴线由直线变为曲线以轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲45

组合变形形式基本变形－轴向拉压，扭转，弯曲组合变形－由两种或三种不同基本变形组成的变形形式拉扭组合弯扭组合00例如拉扭、弯扭、弯拉与弯拉扭等组合变形46本章结束！47第

2

章轴向拉压应力

本章主要研究：第2章轴向拉压应力

拉压杆的内力、应力与强度计算

材料在拉伸与压缩时的力学性能

拉压杆连接部分的强度计算

49§1

引言§2

轴力与轴力图§3

拉压杆的应力§4

材料拉伸力学性能§5

材料拉压力学性能进一步研究§6

应力集中§7

拉压强度条件§8

剪切与挤压50§1

引言

轴向拉压实例

轴向拉压及其特点51

轴向拉压实例52

轴向拉压及其特点外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线轴向拉压:

以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式拉压杆:

以轴向拉压为主要变形的杆件53§2轴力与轴力图

轴力概念

轴力计算

轴力图

例题54

轴力概念符号规定：拉力为正,压力为负轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力分量55

轴力计算试分析杆的轴力要点：逐段分析轴力；设正法求轴力（F1=F，F2=2F）56

轴力图在x-FN平面内,轴力沿杆轴变化的图线,称为轴力图以横坐标

x

表示横截面位置,以纵坐标

FN

表示轴力,绘制轴力沿杆轴的变化曲线。57例

题图示螺纹杆,承受轴向载荷F,画杆的轴力图解：1.计算简图载荷集度为设AD段的外力沿杆轴均匀分布

例题58AD段：2.轴力分析DB段：3.轴力图AD段：DB段：直线水平直线59例题用拉力F起拔地桩,地基对地桩的摩擦力集度q(x)沿杆轴线性变化,最小值q0,最大值3q0,试画地桩的轴力图解：1.载荷集度分析轴力图为二次曲线2.轴力分析60§3拉压杆的应力

拉压杆横截面上的应力

拉压杆斜截面上的应力

圣维南原理

例题61

拉压杆横截面上的应力

横线仍为直线

横线仍垂直于杆轴

横线间距增大1.试验观察62轴向拉压变形交互式动画,演示轴向拉力或压力及其大小变化下杆的变形或通过按钮632.假设变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂直,仅沿杆轴相对平移

–

拉压平面假设3.正应力公式横截面上各点处仅存在正应力，并沿横截面均匀分布设想杆件是由无数纵向“纤维”所组成，根据上述假设，杆内各“纤维”的伸长变形相同，且横截面上各点处均无切应变。

设想杆由无数纵向“纤维”所组成,各纤维的伸长变形相同,横截面上各点处的正应力相同,且均无切应变。

64横截面间纤维纵向变形相同斜截面间纤维纵向变形相同斜截面上的应力均匀分布

拉压杆斜截面上的应力1.斜截面应力分布652.斜截面应力公式a-以x轴为始边,逆时针转向者为正t-外法线On沿顺时针方向旋转90,与该方向同向的切应力为正66

圣维南原理圣维南原理力作用的分布方式,只影响杆端局部的应力分布,影响区约距杆端1~2倍杆件宽度应力均布区非均布区非均布区67

例题例题

F=50kN,A=400mm2,试求斜截面

m-m上的应力

解：68§4

材料拉伸力学性能

拉伸试验与应力－应变图

低碳钢拉伸力学性能

卸载与再加载规律

材料的塑性69

拉伸试验与应力－应变图拉伸试样与试验装置70

一般金属材料的拉伸力学性能s0.2-名义屈服应力

延伸率大,均为塑性材料

并非均有屈服阶段

无屈服阶段材料塑性金属材料拉伸CD//OA71拉伸试验与应力－应变图应力－应变图72

低碳钢的拉伸力学性能拉伸４阶段低碳钢Q235sb-强度极限sp-比例极限ss-屈服应力滑移线73卸载与再加载规律e

p－塑性应变s

e－弹性极限e

e－弹性应变冷作硬化：由于预加塑性变形,使s

e

或s

p提高的现象O1C//OA74材料的塑性

延伸率－塑性程度指标l－试验段原长（标距）Dl0－试验段残余变形

塑性

材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力75

断面收缩率塑性材料：d

≥5%例如结构钢与硬铝等脆性材料：d

<5%例如灰口铸铁与陶瓷等A

－试验段横截面原面积A1－断口的横截面面积

塑性与脆性材料76§5材料拉压力学性能

进一步研究

一般金属材料拉伸力学性能

复合与高分子材料的力学性能

材料压缩力学性能

温度对力学性能的影响77

一般金属材料的拉伸力学性能塑性金属材料拉伸s0.2-名义屈服应力

延伸率大,均为塑性材料

并非均有屈服阶段

无屈服阶段材料CD//OA78灰口铸铁拉伸断口与轴线垂直79

复合与高分子材料的力学性能纤维增强复合材料高分子材料各向异性,线弹性,脆性材料延伸率差别极大

80

材料压缩力学性能低碳钢压缩灰口铸铁压缩(sb)c=3~4(sb)t断口约为45°宜作为承压构件愈压愈扁81

材料力学性能总结

82

温度对力学性能的影响中碳钢硬铝材料强度与弹性常数（E,G）一般随温度升高而降低83据分析,由于大量飞机燃油燃烧,温度高达1200C,组成大楼结构的钢材强度急剧降低,致使大厦铅垂塌毁案例大厦受撞击后,为什麽沿铅垂方向塌毁？点击画面911－世贸中心塌毁84§6

应力集中

应力集中概念

应力集中对构件强度的影响85

应力集中与应力集中因数由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中应力集中圆孔半径愈小,应力局部增大现象即应力集中愈严重86应力集中因数smax－最大局部应力sn－名义应力d－板厚87

应力集中对构件强度的影响

应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展,对构件（塑

性与脆性材料）的疲劳强度影响极大

对于塑性材料构件,当smax达到ss

后再增加载荷,s

分布趋于均匀化,不影响构件静强度

对于脆性材料构件,当

smax=sb

时,构件断裂88§7拉压强度条件

极限应力与许用应力

轴向拉压强度条件

例题89

极限应力与许用应力材料静荷失效形式－屈服与断裂脆性材料：塑性材料：根据分析计算所得构件应力，称为工作应力n≥1安全因数脆性材料：塑性材料：极限应力许用应力屈服应力与强度极限，统称为材料的极限应力su对于由一定材料制成的具体构件,工作应力的最大容许值,称为许用应力90

轴向拉压强度条件保证拉压杆不致因强度不够而失效的条件校核强度

已知杆外力、A与[s],检查杆能否安全工作截面设计

已知杆外力与[s],确定杆所需横截面面积确定承载能力已知杆A与[s],确定杆能承受的FN,max常见强度问题类型强度条件-变截面变轴力拉压杆-等截面拉压杆912.应力计算3.确定直径

例题例题

图示吊环,最大吊重

F=500kN,许用应力[s]=120MPa,夹角a=20°,试确定斜杆的直径

d。解：1.轴力分析92例题

A1=A2=100

mm2,[st]=200

MPa,[sc]=150

MPa,试

求载荷F的许用值解：93例题

已知

l,h,F,AC为刚性梁,斜撑杆的许用应力为

[s],为使杆

BD重量最轻,试求q的最佳值。解：94解：取微段分析其受力与平衡各横截面具有同样强度的立柱－等强度柱例

题

图示立柱,材料密度为r,为使各横截面的应力均

等于[s],试确定横截面的变化规律。

95§8

剪切与挤压

连接实例

剪切与剪切强度条件

挤压与挤压强度条件

例题96

连接实例耳片销钉螺栓97剪切强度条件：tu-剪切强度极限假设：剪切面上的切应力均匀分布剪切面切应力公式：

剪切与剪切强度条件剪力FS：作用线位于横截面且通过截面形心的内力分量98

挤压与挤压强度条件挤压破坏－在接触区的局部范围内,产生显著塑性变形挤压应力－挤压面上的应力挤压面－连接件间的相互挤压接触面最大挤压应力：挤压强度条件：sbs-挤压强度极限dd－挤压面在径向平面的投影面积99

例题例题

已知

d

=

2mm,b=15mm

,d=4mm,[t]

=100MPa,[sbs]=300

MPa，[s]=160

MPa，试求许用载荷。解：1.失效形式分析1002.许用载荷确定

1012.许用载荷确定

102例题

F=45

kN;d

=

10mm,b=250mm,h=

100

mm,l=100

mm;顺木纹方向,[t]

=

1MPa,[sbs]

=

10

MPa,[s]

=

6

MPa；试校核杆端强度。解：1.受力分析表面aa－挤压,截面cd－拉应力最大,截面ab－剪切103剪切强度：挤压强度：拉伸强度：2.强度校核104例题

F=80

kN,d

=

10

mm,b=80

mm,d=

16

mm,[t]

=

100MPa,[sbs]

=

300

MPa,[s]

=

160

MPa,校核接头强度解：1.接头受力分析

研究表明：当各铆钉的材料与直径均相同,且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影,通过铆钉群剪切面形心时,通常即认为各铆钉剪切面上的剪力相等1052.强度校核

铆钉剪切强度：

铆钉与孔边挤压强度：

板的拉伸强度：106本章结束！107塑性变形前塑性变形后塑性变形前、后多晶粒金属的晶粒变化108第

3

章轴向拉压变形第

3

章轴向拉压变形

本章主要研究：

轴向拉压变形分析的基本原理

简单拉压静不定问题分析

热应力与初应力分析

110

§1

拉压杆的变形

§2

节点位移与小变形

§3

应变能概念

§4

简单拉压静不定问题

§5

热应力与初应力

111§1

拉压杆的变形

轴向变形与胡克定律

横向变形与泊松比

例题112

轴向变形与胡克定律分析基础－胡克定律

比例极限内,正应力与正应变成正比E－弹性模量,应力-应变图直线段的斜率值轴向变形

拉压杆沿轴线方位的变形横向变形

拉压杆垂直轴线方位的变形113轴向变形基本公式

EA－杆截面的

拉压刚度

Dl－伸长为正,缩短为负在比例极限内,拉压杆的轴向变形Dl,与轴力FN及杆长l成正比,与乘积EA成反比－仍称胡克定律114轴向变形一般公式

n－总段数FNi－杆段

i

的轴力

变截面变轴力杆

阶梯形杆115

横向变形与泊松比拉压杆的横向变形泊松比试验表明：在比例极限内,e’

e,并异号,m－泊松比

Db－杆的横向变形－杆的横向正应变b－杆的宽度引入比例常数m,得116

例题例题

已知

l=54mm,di=15.3mm,E=200GPa,m=

0.3,

拧紧后,AB

段Dl=0.04mm,试求螺栓s,Dd与受力。解：1.

螺栓横截面正应力2.螺栓横向变形

3.螺栓受力117例

题图示螺纹杆,承受轴向载荷F,横截面面积为A,弹性模量为E,试计算螺纹杆的轴向变形。解：1.计算简图载荷集度为设AD段的外力沿杆轴均匀分布118杆段AD：2.轴向变形分析杆段DB：结论：119例

题图示椭圆形截面杆,承受轴向载荷F作用。已知弹性常数E与m，试计算杆件的体积改变量。

解：展开并略去高阶小量120§2

节点位移与小变形概念

节点位移分析

小变形概念

例题121

节点位移分析1.轴力与变形分析

图示桁架,杆1与2分别用钢与松木制成。F

=

10

kN;E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

10

GPa,A2

=

4000

mm2。试求节点

A的水平与铅垂位移。122

圆弧法

切线代圆弧法2.作图法求节点位移3.节点位移计算用切线或垂线代替圆弧作图123

小变形概念小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形应用：在小变形条件下,通常即可：

按结构的原有几何形状与尺寸,计算约束反

力与内力

采用切线代圆弧的方法确定节点位移124例

题

F1

=

F2

/

2

=

F，求截面

A

的位移DAy解：1.计算FN与Dl

例题3.位移计算2.画变形图刚体EA由Dl与C点垂线确定C’,再由BC’延长线与A点垂线AA’确定A’125解：1.计算FN与Dl3.位移计算2.画变形图例

题图示桁架,承受载荷F作用,各杆EA相同,求节点A的位移。

由Dl1与Dl2确定B’

；A点铅垂线与A2水平线相交,确定A’126解：例

题梁BD为刚体,承受F作用,各杆E相同,

A1=2A2=2A3,

求C点位移，

过B1作水平直线,过B作杆2垂线,二者相交于B’,代表刚杆的水平位移

过D1作水平直线,取,D’即节点D的新位置

取,过C1作铅垂线,与轴线B’D’相交于C’,此即中点C的新位置127§3

应变能概念

应变能与功能原理

外力功与应变能计算

拉压与剪切应变能

例题128

应变能与功能原理应变能与外力功

弹性体因变形而储存的能量－应变能

Ve

外力在变形过程中所作之功－外力功

W

功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大,弹性体的动能与热能等的变化均可忽略不计。

根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能，数值上等于外力所作的功弹性体功能原理129

外力功与应变能计算

线弹性杆的外力功

线弹性拉压杆的外力功与应变能130

拉压与剪切应变能单位体积内应变能－应变能密度拉压应变能密度剪切应变能密度131

例题解：1.

轴力分析例题用能量法计算DBy2.应变能计算3.位移计算132解：例题承载刚性杆AB,由钢丝、光滑滑轮支持。钢丝产生单位轴向变形所需之力为k,试求端点B的铅垂位移DB钢丝应变能：外力功：功能原理：133例

题

图示隔振器，钢杆与钢套可视为刚体，橡皮的切变模量为G

。求橡皮管内的应力

t

与钢杆的位移

D。解：1.应力分析1342.应变能计算3.位移计算135§4

简单拉压静不定问题

静不定概念

拉压静不定问题分析

例题136

静不定概念

静不定度未知力数与独立平衡方程数之差增加杆AD,增加一未知力两个未知力,两平衡方程

静不定问题仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题

静定问题仅由平衡方程即可确定全部未知力的问题

静不定问题特点存在多余杆件或约束，于是静定变为

静不定,同时限制了各杆变形,使其相互关联137

拉压静不定问题分析

建立平衡方程

建立补充方程补充方程变形协调方程

联立求解求解思路多余约束使各杆变形满足一定关系138

平衡方程

补充方程

联立求解－变形协调方程E1A1=E2A2求解算例－补充方程139综合考虑三方面

外力与FNi

满足静力平衡方程

各

Dli

之间满足变形协调方程

Dli

与FNi

间满足给定物理关系（如胡克定律）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点

内力不仅与载荷有关,而且与截面刚度有关

一般讲,对于杆i,

EiAi

加大,FNi也加大内力特点：140

例题例题求两端固定杆的支反力解：联立求解式(a)与

(b)一度静不定141解：

画变形图与受力图注意受力图与变形图协调

伸长～拉力；缩短～压力例题已知

F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

MPa，

A1=A2。试问

A1=?A2=?

建立平衡方程

建立补充方程142

截面设计

内力计算联立求解平衡方程与补充方程结构条件：A1=

A2143例题图示桁架,承受水平载荷F作用,杆1长l,各杆各截面EA相同,

试计算各杆轴力。

求解

节点A存在双侧约束,只能水平移动。解：问题分析

设节点A位移至A’,各杆均伸长,

未知力3个,独立平衡方程两个,一度静不定。各杆均受拉。联立求解,得144例题图示桁架,承受铅垂载荷F作用,各杆各截面EA

相同,杆3长度为

l,a=45º,试求各杆的轴力。

分析：A,B两节点,4平衡方程,5未知轴力,一度静不定。节点C下移,杆1

3均受拉；变形协调方程为节点B随之下移,杆4,5均受压145解：变形协调方程为利用胡克定律,得补充方程为根据节点B与C的平衡,得

联立求解平衡方程与补充方程,得并从而有

146§5

热应力与初应力

热应力与初应力概念

例题147

热应力与初应力概念引起应力的非力学因素1.温度变化2.杆长制造误差强致安装后两端固定杆,温度变化DT两端固定杆,制造误差d148热应力与初应力

由于杆长制造误差或温度变化,结构在未受载时即已存在的应力,分别称为初应力与热应力

在静不定结构中,各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件,因此,温度变化或杆长制造误差,一般将引起应力

由于杆长制造误差或温度变化，静不定结构将可能存在热应力与初应力－静不定结构特点

由于杆长制造误差或温度变化，静定结构将发生外形改变,但不会引起热应力与初应力－静定结构特点149

例题例题杆1温度升高

DT,求

FN1,FN2与支座

C

反力解：1.画变形图2.画受力图注意分清哪一段是弹性变形

Dl,哪一段是热膨胀

dT注意轴力

FN与轴向变形

Dl的协调3.建立平衡方程1504.建立补充方程5.联立求解151例

题结构左右对称,杆3误差d,试建立平衡与补充方程解：画变形图画受力图

建立平衡与补充方程

152例

题AC为刚体,各杆EA相同,热胀系数al,杆1长度误差d,杆2温度

升高DT,并承受载荷F作用,试求各杆轴力。

设刚梁位于直线AB’C’位置,则且均为伸长变形,各杆均受拉解：153解：变形协调方程为利用胡克定律,得补充方程为根据节点B与C的平衡,得

联立求解平衡方程与补充方程,得并从而有

154本章结束！155e’e横向应变e’与轴向应变e156第

4

章扭转第

4

章扭转

圆截面轴的扭转应力与变形

圆截面轴的扭转强度与刚度

矩形等非圆截面轴扭转

薄壁截面轴扭转本章主要研究：158

§1

引言

§2扭矩

§3

圆轴扭转应力

§4

圆轴扭转强度与合理设计

§5

圆轴扭转变形与刚度条件

§6

简单静不定轴

§7

非圆截面轴扭转

§8

薄壁杆扭转159§1引言

扭转实例

扭转及其特点160

扭转实例MFF

扭转及其特点变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转,轴线仍为直线－扭转变形外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转

以扭转为主要变形的杆件－轴扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩扭转角：横截面饶轴线间的相对角位移§2

扭矩

功率、转速与扭力偶矩的关系

扭矩与扭矩图

例题163

功率、转速与扭力偶矩的关系传动轴是一种常见受扭构件。现研究轴的转速n(r/min),

所传递功率P(kW)与扭力偶矩M(N.m)间的关系。设角速度为

(rad/s)例:P＝5kW,n=1450r/min,则

扭矩与扭矩图扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用

T

表示符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，

矢量方向与横截面外法线方向一致

的扭矩为正，反之为负扭矩扭矩图（m－轴单位长度内的扭力偶矩）试分析轴的扭矩在x

-T平面内,扭矩沿杆轴变化的图线,称为扭矩图根据上述方程，画扭矩沿杆轴的变化曲线

例题例

题

MA=76N

m,MB=191N

m,MC=115N

m,画扭矩图解：§3

圆轴扭转应力

扭转试验与假设

扭转应力分析

薄壁圆管扭转切应力

极惯性矩与抗扭截面系数

例题168

扭转试验与假设圆轴扭转时,横截面仍保持平面,其形状、大小与间距均不改变,而且,半径仍为直线,称为扭转平面假设

当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变扭转平面假设扭转试验

各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面169扭转变形交互式动画,演示正或负扭矩及其大小变化下圆轴的变形或通过按钮点击画面170

扭转应力分析物理方面几何方面dj

/

dx－扭转角变化率静力学方面应力与变形公式－极惯性矩－抗扭截面系数公式的适用范围：圆截面轴；

薄壁圆管扭转切应力假设

切应力沿壁厚均匀分布适用范围适用于所有匀质薄壁杆,包括弹性、非弹性、各向同性与各向异性情况公式精度在线弹性情况下,当

d≤R0/10

时,误差≤4.53

173

极惯性矩与抗扭截面系数

空心圆截面

实心圆截面174

例题例

题已知MC=2MA=2MB=200N·m；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。解：175例

题直径为d圆截面轴,应力应变关系为t=kgn,式中,k与n为材料常数,试利用平面假设建立扭转切应力公式。

解：根据平面假设由静力学可知于是得由此得扭转切应力为176例题图示托架,承受铅垂载荷F作用。各铆钉的材料相同,直径均为

d,试求铆钉的最大剪切应力。

在分析中,视托架为刚体。解：

在F作用下,托架刚性铅垂下移,各铆钉的剪切应力均为

将载荷F平移至铆钉群剪切面形心C,得集中力F与矩为Fl的附加力偶M。

在M作用下,托架绕C点刚性转动。设铆钉1的剪切应力为tM1,则铆钉2的剪切应力

tM2=tM1/3,从而有177§4

圆轴扭转强度与合理设计

扭转极限应力

圆轴扭转强度条件

圆轴合理强度设计

例题178

扭转极限应力塑性材料屈服断裂脆性材料断裂扭转屈服应力与扭转强度极限,统称为扭转极限应力tu圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限扭转极限应力扭转失效形式179

圆轴扭转强度条件tu－扭转极限应力n-安全因数塑性材料：[t]=（0.5~0.577）[s]

脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[st]为保证轴不因强度不够而失效,要求轴的最大扭转切应力不超过扭转许用切应力危险点处于纯剪切状态,又有180

圆轴合理强度设计1.

合理截面形状若

Ro/d

过大将产生皱褶空心截面比实心截面好2.

合理截面变化－采用变截面轴与阶梯形轴注意减缓应力集中181

例题例

题已知T=1.5kN

.

m，[t]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

a

=

0.9

的空心圆轴，并进行比较。解：1.确定实心圆轴直径2.

确定空心圆轴外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻182解：1.扭矩分析例

题R0=50

mm的薄壁圆管,左、右段的壁厚分别为

d1=5mm,d2=4mm,m=3500N

.m/m,l=1m,[t]=50MPa,

试校核圆管强度。2.

强度校核危险截面：截面A与B183例

题密圈螺旋弹簧应力分析与强度条件解：1.内力分析密圈螺旋弹簧—螺旋升角a

很小的弹簧1842.应力分析3.应力修正公式4.强度条件[t]－纯剪切许用切应力185§5

圆轴扭转变形与刚度条件

圆轴扭转变形

圆轴扭转刚度条件

例题186

圆轴扭转变形圆轴扭转变形一般公式GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度常扭矩等截面圆轴187

圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件[q

]－单位长度的许用扭转角

注意单位换算:

一般传动轴，

[q

]=0.5~1

()/m188

例题例题已知：MA=180N.m,MB=320N.m,MC=140N.m,Ip=3105mm4,l=2m,G=80GPa,[q]=0.5()/m。jAC=?校核轴的刚度解：1.变形分析1892.刚度校核注意单位换算！190例题试计算图示圆锥形轴的扭转角解：191例题图示密圈弹簧,由n圈弹簧丝组成,弹簧直径为Ｄ,切变模量为

Ｇ,在拉力F作用下，试计算弹簧的轴向伸长l。解：弹簧的轴向伸长主要是弹簧丝的扭转变形造成的。

微段ds的扭转角与应变能分别为根据功能原理弹簧丝的总长为

弹簧的应变能为

192§6

简单静不定轴

扭转静不定问题分析

例题193

扭转静不定问题分析问题

试求图示轴两端的支反力偶矩问题分析未知扭力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定194建立补充方程计算支反力偶矩联立求解方程(a)与(b)

195

例题例题

已知

G1

=G2

=

G，Ip1=2Ip2，试求圆盘的转角。解：1.建立平衡方程1962.建立补充方程3.扭矩与圆盘转角联立求解方程(a)与(b)

197例题由铜管与钢轴组成组合轴,二者的截面极惯性矩分别为Ipc与Ips,且Ipc/Ips=b,钢与铜的切变模量分别为Gs与Gc,且Gs/Gc=2,扭力偶矩为M,试求铜管的扭矩。解：198§7

非圆截面轴扭转

矩形截面轴扭转

椭圆等非圆截面轴扭转

例题199

矩形截面轴扭转

圆轴平面假设不适用于非圆截面轴试验现象

截面翘曲,角点处

g为零,侧面中点处

g最大200应力分布特点

横截面上角点处,切应力为零

横截面边缘各点处,切应力

//

截面周边

横截面周边长边中点处,切应力最大201弹性力学解系数

a,b,g表长边中点

t最大a

0.208

0.219

0.231

0.239

0.246

0.258

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

b

0.141

0.166

0.196

0.214

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

g

1.000

0.930

0.859

0.820

0.795

0.766

0.753

0.745

0.743

0.742

0.742

0.742

202狭窄矩形截面扭转h－中心线总长推广203

椭圆等非圆截面轴扭转

Wt,

It的量纲分别与

Wp,

Ip相同

计算公式见《材料力学Ⅰ》的附录D椭圆、三角形等非圆截面轴204

例题解：1.边宽a与直径d的关系例题

材料、横截面面积与长度均同的两轴,一为正方形截面,一为圆形截面。在同值扭力偶矩

M作用下,试比较tmax与扭转变形。2.方形轴的应力与变形4.比较圆形截面轴的抗扭性能比方形截面轴好3.圆形轴的应力与变形解：1.闭口薄壁圆管例题试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设

R0＝20d2.开口薄壁圆管3.抗扭性能比较闭口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好207§8

薄壁杆扭转

开口与闭口薄壁杆

闭口薄壁杆扭转应力与变形

开口薄壁杆扭转简介

薄壁杆合理截面形状

例题208

截面中心线－截面壁厚平分线闭口薄壁杆－截面中心线为闭合曲线的薄壁杆开口薄壁杆－截面中心线为非闭合曲线的薄壁杆

开口与闭口薄壁杆薄壁杆－壁厚远小于截面中心线长度的杆件209

闭口薄壁杆扭转应力与变形假设切应力沿壁厚均匀分布,并平行于中心线切线td

－剪流，代表中心线单位长度上的剪切力应力公式闭口薄壁杆扭转应力210

t与截面中心线所围面积W

成反比

tmax发生在壁厚最薄处211根据功能原理:一般闭口薄壁杆的应变能常扭矩、等截面闭口薄壁杆的应变能得：式中：单元体

abcd的应变能闭口薄壁杆的扭转变形212

开口薄壁杆扭转简介开口薄壁杆扭转切应力沿截面周边呈环流分布,力偶臂小,抗扭性能差用隔板或肋板增强，限制截面翘曲，显著提高开口薄壁杆的抗扭性能开口薄壁杆的抗扭性能与局部增强213开口薄壁杆的扭转变形与应力计算

hi-狭长矩形截面

i

的长度

di-狭长矩形截面

i

的厚度tmax发生在最薄矩形截面边缘开口薄壁杆可视为狭长矩形截面杆组成的组合杆,按扭转静不定问题求解,得各组成部分的应力与变形。

n-狭长矩形截面的总数214

薄壁轴合理截面形状

闭口薄壁轴中,等壁厚比变壁厚好因在周长相同的条件下,圆内所包含的面积最大

在中心线总长相同的方形闭口薄壁轴中,

中心线为正方形者比一般矩形者好

在中心线总长相同的闭口薄壁轴中,中心线为圆形者比非圆形

者好

闭口薄壁轴,比开口薄壁轴好215判据：在中心线总长

l

相同的条件下,W大者为好结论：在中心线总长相同正四边形中,正方形内包含的面积

W

最大为什么正方形薄壁轴比矩形薄壁轴好216

例题例题平均半径R0,铆钉总数n,壁厚d

,

求铆钉剪切力解：217例题图示薄壁轴,轴长l,两端承受矩为M的扭力偶作用,上、下半轴的切变模量分别为G1与G2,试计算最大扭转切应力与扭转角j。

解：薄壁轴扭转应力公式,与轴壁材料沿中心线是否匀质无关，因此取轴长dx、夹角dq的微体,其应变能为

因此,上、下半轴的应变能分别为

218本章结束！219第

5

章弯曲内力第

5

章弯曲内力

直梁弯曲内力

载荷与弯曲内力间的微分关系

刚架与曲梁的弯曲内力本章主要研究:

§1

引言

§2

梁的约束与类型

§3

剪力与弯矩

§4

剪力、弯矩方程与图§5

FS,M

与

q

间的微分关系§6

刚架与曲梁的内力§1

引言

弯曲实例

弯曲及其特征

弯曲实例

弯曲及其特征外力或外力偶矢量垂直于杆轴变形特征杆轴由直线变为曲线弯曲与梁以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲以弯曲为主要变形的杆件－梁外力特征画计算简图时，通常以轴线代表梁计算简图§2

梁的约束与类型

约束形式与反力

梁的类型

约束形式与反力主要约束形式与反力

固定铰支座：支反力

FRx与

FRy

可动铰支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy与矩为

M

的支反力偶

梁的类型

简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁

外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁

悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁常见静定梁约束反力数超过独立平衡方程数的梁－静不定梁§3

剪力与弯矩

剪力与弯矩

正负符号规定

剪力与弯矩计算

例题

剪力与弯矩

作用线位于横截面并通过其形心的内力－剪力矢量位于横截面的内力偶矩－弯矩分析横向外力作用下横截面m-m上的内力横截面上：一内力，一内力偶。外力向形心C简化

得主矢F’R与主矩MC

正负符号规定

使微段沿顺时针方向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹形或顶部缩短的弯矩为正

剪力与弯矩计算

在保留段上,与正FS反向的横向力为正,与正M反向的力矩为正

解法一

解法二计算横截面m-m上的FS与M

上述方程表明：剪力等于切开面一侧所有横向外力的代数和；弯矩等于该侧所有外力对切开面形心之矩的代数和。

例题

例题

试计算横截面D与A+的剪力与弯矩

解：

支反力计算

截面D的剪力与弯矩

截面A+的剪力与弯矩§4

剪力、弯矩方程与图

剪力与弯矩方程

剪力与弯矩图

例题

剪力与弯矩方程

FS与M

沿杆轴（x轴）变化的解析表示式－剪力方程－弯矩方程

剪力与弯矩图在x-FS与x-M坐标面内，剪力与弯矩沿梁轴变化的图线,分别称为剪力图与弯矩图。二次抛物线－直线

剪力方程与图

弯矩方程与图

例