中考数学高分突破 专题6　代数式的综合问题 第1课时　代数式的推理类问题

第1课时代数式的推理类问题专题六代数式的综合问题

（2025·重庆）已知整式M：a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，其中a0

为自然数，n，a1，a2，…，an为正整数，且a0＋a1＋…＋an＝4.下列

说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3＋4x2＋4x＋1；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负

数的整式M共有3个.代数式中的特殊条件问题其中正确的个数是（

C

）A.0B.1C.2D.3C

当n＝1时，则a0＋a1＝4.若a0＝0，a1＝4，则整式M为4x，当

a0＞0时，整式M不可能为单项式.当n＞1时，∵a1，a2，…，an为正

整数，∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅

有1个单项式，故①正确；当n＝3时，a0＋a1＋a2＋a3＝4，当a0＝0

时，a1＋a2＋a3＝4，则有x＋x2＋2x3，x＋2x2＋x3，2x＋x2＋x3三种

情况，当a0＝1时，a1＋a2＋a3＝3，则有1＋x＋x2＋x3一种情况，当a0

＞1时，不存在满足题意的整式，∴满足条件的所有整式M的和为5x3

＋5x2＋5x＋1，故②错误；[解析]

（2025·巴蜀）已知整式M＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a2x2＋a1x＋

a0，其中a0，a1，a2…an－1，an均为自然数，n为正整数，满足a0＜a1

＜a2＜…＜an－1＜an≤20，且对于任意的正整数n，均有an－an－1≥2.

则下列说法正确的个数是（

D

）①若a0＝10，则n的最小值与最大值的和为6；②若n≥3时，M＝（2x－1）n，当n为奇数时，an＋an－1＋…＋a2＋

a1＝p；当n为偶数时，an＋an－1＋…＋a2＋a1＝q，则p＋q＝2；③若M满足a5＝5a2，则这样的整式M有66个.A.0B.1C.2D.3D∵n为正整数，∴n最小为1.对于任意的正整数n，均有an－an－

1≥2，若要使n最大，则相邻系数的差取最小值2.∵a0＜a1＜a2＜…＜

an－1＜an≤20，从a0＝10开始依次取到a5＝20，则n的最大值为5，∴n

的最小值与最大值的和为1＋5＝6，故①正确；令x＝1，将其代入多项

式M中，得（2×1－1）n＝an×1n＋an－1×1n－1＋…＋a2×12＋a1×1

＋a0，∴an＋an－1＋…＋a2＋a1＝1－a0；令x＝0，代入多项式M中，

得到a0＝（2×0－1）n＝（－1）n.当n为奇数时，（－1）n＝－1，

∴a0＝－1，∴p＝1－（－1）＝2，当n为偶数时，（－1）n＝1，∴a0

＝1，∴q＝1－1＝0，∴p＋q＝2，故②正确；[解析]∵a0最小为0，对于任意的正整数n，均有an－an－1≥2，∴a1最小为2，

a2最小为4.∵a5＝5a2，∴a5最小为20，即a5≥20.∵a5≤20，∴a5＝20，

∴a0＝0，a1＝2，a2＝4.当a3＝6时，则a4＝8，9，…，18，共11个；

当a3＝7时，则a4＝9，10，…18，共10个；当a3＝8时，则a4＝10，

11，…，18，共9个；…当a3＝16时，则a4＝18，共1个，∴共有11＋10

＋9＋…＋1＝66（个）满足条件的整式M，故③正确.故选D.

代数式中的操作问题

A.0B.1C.2D.3C

[解析]1

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①所有最终结果的乘积非负；②当n＝2时，若“绝对操作”的最终结果有部分为0，则一定有a＋b

＝c＋