【暑假拔高训练】七年级全等三角形综合尖子生培优系列 专题06 等腰旋转模型的综合应用（原卷版）（北师大版）

专题06等腰旋转模型的综合应用模型说明应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。题型精讲例1.（基本模型）如图在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE绕点C旋转（0°<∠ACD<180°），连结BD和AE：(1)求证：△BCD△ACE;(2)试确定线段BD和AE的数量关系和位置关系；例2.（双等腰三角形中的旋转模型）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．例3.（培优综合1）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．例4.（培优综合2）如图（1），在中，，，点是斜边的中点，点，分别在线段，上，且．（1）求证：为等腰直角三角形；（2）若的面积为7，求四边形的面积；（3）如图（2），如果点运动到的延长线上时，点在射线上且保持，还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

迁移应用1．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度；（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积；（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．2．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．（2）设，．①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．3．如图（1），在中，，，点是斜边的中点，点，分别在线段，上，且．（1）求证：为等腰直角三角形；（2）若的面积为7，求四边形的面积；（3）如图（2），如果点运动到的延长线上时，点在射线上且保持，还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

4．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．5．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．（2）设，．①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．6．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是ACBD（填“>”“<”或“=”）AC与BD的位置关系是ACBD（填“∥”或“⊥”）；（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．7．已知