第07讲 认识一元二次方程（教师版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第07讲认识一元二次方程（3种题型）【知识梳理】一．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．【考点剖析】一．一元二次方程的定义（共4小题）1．（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．2．（2022秋•临潼区期中）已知关于x的方程（m+2）x|m|+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．【分析】根据一元二次方程的定义，即可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x|m|+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，∴，解得：m＝2，∴m的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．3．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2且a≠2 B．a≥0且a≠2 C．a≥2 D．a≠2【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），可得a﹣2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．4．（2023春•文登区期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．【解答】解：A．当a＝0时，原方程为一元一次方程，选项A不符合题意；B．方程是分式方程，选项B不符合题意；C．x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，选项C不符合题意；D．3（x+1）2＝﹣3是一元二次方程，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．二．一元二次方程的一般形式（共3小题）5．（2023春•鼓楼区校级期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝0【分析】根据二次项系数及常数项得到结果即可．【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+1＝0，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，移项得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．故选：D．【点评】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．7．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论．【解答】解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式为：3x2﹣5x+1＝0，故二次项系数是3，一次项系数是﹣5．故选：D．【点评】本题考查是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．三．一元二次方程的解（共17小题）8．（2023春•吴兴区期中）若m是关于x的方程x2﹣2023x﹣1＝0的根，则（m2﹣2023m+3）•（m2﹣2023m+4）的值为（）A．16 B．12 C．20 D．30【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2023m﹣1＝0，变形得m2﹣2023m＝1，然后整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得m2﹣2023m﹣1＝0，所以m2﹣2023m＝1，所以（m2﹣2023m+3）•（m2﹣2023m+4）＝（1+3）•（1+4）＝20．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的解以及整体代入思想，掌握整体代入思想是解题的关键．9．（2023春•巴东县期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4【分析】把x＝2代入一元二次方程得4+2b﹣b＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣b＝0得4+2b﹣b＝0，解得b＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2023•微山县三模）已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式的值应（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】根据一元二次方程解的意义可得3m2﹣m﹣1＝0，从而可得3m2﹣m＝1，然后把3m2﹣m＝1代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：3m2﹣m﹣1＝0，∴3m2﹣m＝1，∴＝2（3m2﹣m）+＝2×1+＝2+，∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴代数式的值应在3和4之间，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．11．（2023•定西模拟）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为2020．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2m2﹣3m＝﹣1，再把2m2﹣3m＝﹣1整体代入所求式子中求解即可．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，∴2m2﹣3m+1＝0，∴2m2﹣3m＝﹣1，∴6m2﹣9m+2023＝3（2m2﹣3m）+2023＝﹣1×3+2023＝2020，故答案为：2020．【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．12．（2022秋•镇原县期中）关于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值．【分析】代入x＝0可求出a值，由一元二次方程的定义可确定a值，将其代入原方程利用根与系数的关系结合方程的一根，可求出方程的另一根，此题得解．【解答】解：当x＝0时，a2+a＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝0．又∵原方程为一元二次方程，∴a＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的代入法是关键．13．（2022秋•锦江区校级月考）化简求值：，已知x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根．【分析】先将分式按照分式的加减乘除法则进行化简，再根据x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根，可得x2+3x＝1，求出3x2+9x的值，再代入求值即可．【解答】解：＝＝＝，∵x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根，∴x2+3x＝1，∴3x2+9x＝3（x2+3x）＝3，∴原式＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，熟练掌握分式的加减法则，乘除法则是解题的关键．14．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为2019．【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．故答案为：2019．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15．（2023•单县三模）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x满足方程x2+x﹣1＝0．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2+x﹣1＝0可以求得x的值，然后选取使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：÷（﹣x+1）＝＝•（﹣）＝，∵x满足方程x2+x﹣1＝0，解得，x＝或x＝，当x＝时，原式＝＝1，当x＝时，原式＝＝1．【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．16．（2023•萍乡二模）先化简，再求值，其中m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解．【分析】先化简分式，然后根据m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解，求出m的值，再选择使得原分式有意义的m的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]÷＝（）•m＝•m＝，∵m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解，∴m＝﹣2或m＝3，∵当m＝3时，原分式无意义，∴m＝﹣2，当m＝﹣2时，原式＝＝＝﹣．【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握运算法则和解方程的方法是解答本题的关键．17．（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝[+]×＝＝，∵a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根，∴a2+3a﹣4046＝0，∴a2+3a＝4046，把a2+3a＝4046代入原式＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18．（2023•剑阁县二模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+4x﹣12＝0的根．【分析】根据分式混合运算的法则化简分式，再把方程的解代入即可得到结论．【解答】解：原式＝＝＝．解方程x2+4x﹣12＝0，得x＝﹣6或x＝2．又∵x（x+1）（x﹣1）（x﹣2）≠0，∴x＝﹣6．∴原式＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简取值，正确地计算是解题的关键．19．（2022秋•遵义期末）先化简，再求值．（﹣m+1），其中m为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式＝m2+2m﹣5＝0，然后根据一元二次方程解的定义得到m2+2m＝5，最后利用整体代入的方法求值．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝m2+2m+1，∵m为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，∴m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5，∴原式＝5+1＝6．【点评】本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了分式的化简求值．20．（2022秋•长汀县期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）试判断方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．【分析】（1）根据方程的系数的特点加以判断即可；（2）当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c，由2a+2b+c＝612，即2（a+b）+c＝12，推出c＝2，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝24，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝4，由此即可解决问题．【解答】解：（1）方程x2+2x+1＝0中，∵a＝1，b＝1，∴c＝，∴c＝×＝2，∴方程x2+2x+1＝0是勾系一元二次方程．故答案为：是；（2）当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c，∵2a+2b+c＝12，即2（a+b）+c＝12，∴3c＝12，∴c＝2，a+b＝c＝4，∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝4，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴ab＝4，∴S△ABC＝ab＝2．【点评】本题考查一元二次方程的解，勾股定理、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（2022秋•吉林月考）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣5＝0，若该方程的一个根为x＝3，求a的值并直接写出该方程的常数项．【分析】把x＝3代入方程x2+ax+a﹣5＝0，易得a的值；然后代入原方程，由一元二次方程的一般形式写出该方程的常数项．【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax+a﹣5＝0，得32+3a+a﹣5＝0．解得a＝﹣1．则该方程为：x2﹣x﹣6＝0．其常数项为﹣6．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．22．（2023•江汉区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，则的值是（）A． B． C． D．2【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，接着利用一元二次方程根的定义得到a2＝2（a+1），然后利用整体代入的方法得到原式＝，最后约分即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，∵a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，∴a2﹣2a﹣2＝0，即a2＝2a+2＝2（a+1），∴原式＝＝．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．23．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．①若，则x2＝18；②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有7个．【分析】①把m＝，x1＝9代入求值即可；②由题意知：（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，则4＝1×4＝2×2＝4×1，再分三种情况讨论即可．【解答】解：①把m＝，x1＝9时，（×9﹣2）×（x2﹣2）＝4，解得：x2＝18；故答案为：18．②当m，x1，x2为正整数时，（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，m2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，而4＝1×4＝2×2＝4×1，∴或或，∴或或，当时，m＝1时，x1＝3，x2＝6；m＝3时，x1＝1，x2＝2，故（x1，x2）为（3，6），（1，2），共2个；当时，m＝1时，x1＝4，x2＝4；m＝2时，x1＝2，x2＝2，m＝4时，x1＝1，x2＝1，故（x1，x2）为（4，4），（2，2），（1，1），共3个；当时，m＝1时，x1＝6，x2＝3；m＝3时，x1＝2，x2＝1，故（x1，x2）为（6，3），（2，1），共2个；综上所述：共有2+3+2＝7个．故答案为：7．【点评】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．24．（2022秋•南昌期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式b2﹣4ac＝0；判断241不是“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m＝，即mn＝1；故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（

）A．2，1，3 B．2，，3 C．2，， D．2，，1【答案】C【分析】把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．【详解】解：由方程可得：，则有；故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．2．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式后，一次项系数的一半为（

）A．8 B．4 C． D．-4【答案】D【分析】将方程化为一般形式，再求出答案即可．【详解】解：原方程变为，可知一次项系数的一半是．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断系数是解题的关键．3．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程化成的形式，则，，的值分别为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出，，的值．【详解】解：将原方程化为一般形式得：，∴，，．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．4．（2022春·甘肃兰州·九年级校考阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是()A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，得出，进而即可求解．【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．5．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（

）A． B．1 C．或 D．0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】∵关于的一元二次方程的常数项为0，∴且，解得．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．6．（2023·广东惠州·统考一模）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（

）A．1 B．1或 C． D．0.5【答案】C【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入方程，求出a的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴，，∴；故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）若a是方程的一个解，则的值是（

）A．10 B．5 C． D．【答案】A【分析】根据是方程的解可得到的值，进而得到的值．【详解】解：∵是方程的一个解，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将方程转化为关于的代数式是解题的关键．8．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可．【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．二、填空题9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）一元二次方程的一次项系数为______．【答案】【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案．【详解】解：一元二次方程的一次项为，一次项系数为，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．掌握上述知识是解题的关键．10．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）用公式法解一元二次方程时，应先将其化成“一般形式”为________．【答案】【分析】把原方程去括号、移项、合并同类项，即可得到一般形式．【详解】解：去括号得，，移项合并同类项得，，即一元二次方程的一般形式为，故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式为是解题的关键．11．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．【答案】1【分析】将代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为即可得出答案．【详解】解：将代入方程中得，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义，熟记相关定义是解本题的关键．12．（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．13．（2023·山东东营·统考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．【答案】2023【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴．故答案为：2023．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握定义是解题的关键．14．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若是方程的一个解，则代数式的值是___________．【答案】【分析】将代入一元二次方程的得到，再将代数式中即可解答．【详解】解：∵是方程的一个解，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值化简代数式，理解一元二次方程的解是解题的关键．三、解答题15．（2022秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．【答案】【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．【详解】解：是一元二次方程，，，解得：，，，原不等式变为：，∴，即．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出m的值．16．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．【答案】(1)，(2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．【详解】（1）由是一元一次方程，得，解得，原方程变为：，∴解得；（2）由是一元二次方程，得，解得，∴时，是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．17．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．【答案】【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．【详解】解：∵m是方程的解，∴，即：，∴．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；(2)若是倍根方程，则___________．【答案】(1)是，理由见解析(2)4或16【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．【详解】（1）解：方程是倍根方程，理由如下：由方程，解得，，，方程是倍根方程；（2）解：由方程，解得，，方程是倍根方程，或，得或，故或，故答案为：4或16．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．19．（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．【答案】，1．【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．【详解】解：原式．∵是方程的根，∴．∴．∴原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键．20．（2023·北京西城·统考一模）已知a是方程的一个根，求代数式的值．【答案】，3【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．【详解】解：，∵a是方程的一个根，∴，即．

∴原式．【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．21．（2021秋·江苏·九年级专题练习）设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．【答案】-3【分析】先把x=-2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关的项合并后，令它的系数部分为0，就可求出方程p、q的值．【详解】解：把-2代入方程，9-4-p+2p+q=0，∴-×（4+p）+（2p+q+9）=0，∵p、q是整数，∴p=-4，q=-1，∴p-q=-4+1=-3．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并一起