第10讲 用因式分解法求解一元二次方程 （教师版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第10讲用因式分解法求解一元二次方程（6种题型）【知识梳理】一、用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.二、常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）①②∴；②∴．【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程的解为：___________．【答案】，【分析】先移项，然后用分解因式法解方程即可．【详解】解：，移项得：，分解因式得：，∴或，解得：，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基础知识比较简单，解题的关键是分解因式．题型2利用平方差公式例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．【变式】解关于的一元二次方程：．【答案】．【解析】移项，得：，，，，，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．题型4十字相乘法因式分解例4.用合适的方法解下列关于的方程：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）；【解析】（1），，解得：；（2），解得：；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例5.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）直接开方法①②∴；∴．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！【变式1】解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因式分解法（2）把看作一个整体，因式分解①②∴；②∴．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．【变式2】用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）（2），②，，解得：；解得：；（3）整理得：（4）∵原方程是一元二次方程，，，，解得：；，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．题型6：因式分解中的新定义例6．（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．【详解】解：当时，则，∴，即，解得：（不符合题意，舍去），当时，则，∴，即，解得：（不符合题意，舍去），，综上：x的值是5或，故选：B．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．【变式】在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根据规则可得：，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解为，故选：D．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．【变式2】定义新运算“※”，规则：，如，．若的两根分别为，则______．【答案】3【分析】先通过因式分解法解方程，求出，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解．【详解】解：方程，分解因式得：，解得：或，则或．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键．题型7：因式分解综合应用例7.在一堂数学课上，李老师对课本上的一道习题进行了改编，改编后的习题为：一架梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙角距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，此时点将向外移动米，（参考数据：，，）

(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题．【答案】(1)(2)有可能，理由见解析【分析】（1）根据梯子长度不变进而得出等式求出即可；（2）设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米代入（1）中方程，求出的值符合题意．【详解】（1）解：设的长是，根据题意得出：，，解得：，，答：梯子的长是；（2）有可能．设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，则有，解得：或（舍）当梯子顶端从处下滑米时，点向外也移动米，即梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出关于的一元二次方程是解答此题的关键．【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子，请同学们自己出问题并解答．(1)小磊的问题：若代表，代表，计算该式的值；(2)小敏的问题：若，代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【答案】(1)22(2)0或1【分析】（1）根据代数式代入值进行计算即可；（2）设该数为a，则，再进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：原式；（2）解：设该数为a，则，解得：，，∴求该数为0或1．【点睛】本题考查代数值求值、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数，，______（填“满足”或“不满足”）这种关系；连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系；延伸：设中间整数为n（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简；（2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．【答案】验证：满足；不满足；（1）和为，积为；（2），0，1（答案不唯一）【分析】先分别计算和的值，比较两组值是否相等；再分别计算和的值，比较两组值是否相等即可；（1）设中间整数为，则三个连续整数可表示为：，，，将，，三数相加得其和；将，，三数相乘得其积；（2）令（1）中的和等于积，解方程，求得的值，从而可得符合要求的连续整数．【详解】验证：解：，，，满足这种关系；，，，，2，3，4不满足这种关系．延伸：设中间整数为，则三个连续整数可表示为：，，，（1）三个连续整数的和可表示为：，三个连续整数的积可表示为：，（2）当时，解得：，或，符合要求的一组连续整数为：，0，1.【点睛】本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·全国·九年级假期作业）方程的根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：移项，得，因式分解，得，则或，解得．故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）已知的解是，，则方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得，，解这两个一元一次方程即得方程的解．【详解】解：令，∵方程的解是，，∴方程的解是，，∴对于方程方程而言，或，解得或，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程中的当作一个整体，则此方程与毫无二致．3．（2023·全国·九年级假期作业）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：，，，，，，有两种情况：①三角形的三边为，，，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为，，，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．4．（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或3【答案】C【分析】利用换元法求解即可．【详解】解：设，∵，∴，∴或，解得或，∴或，故选C．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．5．（2023·江苏·九年级假期作业）方程：的较小的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．【详解】解：提公因式，得：，整理得：，∴，∵，∴较小的根是，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．6．（2023·云南楚雄·统考二模）已知，则代数式（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由可得，则有，即，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．7．（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设，则原式变形得，因式分解法解一元二次方程得，，∴，，当时，，变形得，，根据判别式，无实根；当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；∴，故选：．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(

)A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】将代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．【详解】解：将代入方程得：，解得：，∴原方程为：，则，解得：或，∴另一个根为1．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．9．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设，则原方程可变形为，即；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律（其中，字母按的降幂排列，b的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着展开式中各项的系数，有如下结论：①；②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024；③“杨辉三角”中第20行第3个数为190；④的结果是；⑤当代数式的值是1时，实数a的值是或，上述结论中，正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】把中换成后可得，，由此即可判断①；观察并计算可以发现第n行所有数字之和为，由此即可判断②；观察并计算可以发现第n行（n大于2）第三个数诶为，由此即可判断③；时，，即可判断④；当时，，再由的值为1，得到，解方程即可判断⑤．【详解】解：∵，∴把上述式子中的换成后可得，，∴，故①正确；第1行的所有数字之和为，第2行的所有数字之和为，第3行的所有数字之和为，第4行的所有数字之和为，……，∴可以得到规律第n行所有数字之和为，∴“杨辉三角”中第9行所有数之和，故②错误；第2行第三个数为，第3行第三个数为，第4行第三个数为，第5行第三个数为，……，∴第n行（n大于2）第三个数为，∴“杨辉三角”中第20行第3个数为，故③正确；∵，∴当时，，故④正确；∵，∴当时，，∵的值为1，∴，∴，∴，∴，故⑤正确；故选C．【点睛】本题主要考查了多项式乘法中得规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．二、填空题11．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为______．【答案】【分析】把化为再结合题意得到解出即可．【详解】解：，．令，则∵方程（）有一个根为，方程有一根为，有一根为，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．12．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】原方程可转化为，再化为两个一次方程即可．【详解】解：∵，∴，∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．13．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】∵，∴．∴．∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．14．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：方法如下：

第①步

第②步

第③步

第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）．【答案】④【分析】由，，解得或，进而判断作答即可．【详解】解：，，解得或，∴第④步错误，故答案为：④．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．15．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若，则______．【答案】【分析】设，则，根据换元法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：设，则，∴原方程可以化为，解得：或（舍去）即故答案为：．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．16．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足，则代数式的值为_______．【答案】2023【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次方程，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式，方程有解．【详解】解：设，由原方程，得，整理，得，所以或．当时，，则；当时，即时，，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．三、解答题17．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程：(1)；(2)（用配方法）；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解；（3）把看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（5）先整理方程，用公式法比较简便．【详解】（1）解：，整理，得，．或．，；（2）（用配方法），移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，．．，；（3），，即．或．，；（4），，或，，；（5），方程整理，得，．，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解决本题的关键．18．（2023·全国·九年级假期作业）已知，求的值．【答案】3【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可．【详解】解：令，则原等式可化为：，解得：，，，即．的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键．19．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘，得，整理得，，∴，解得：，，检验：当时，，是增根，当时，，原方程的解为．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．20．（2023春·湖南永州·九年级校考阶段练习）先化简，再求值，其中为方程的根．【答案】【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．【详解】，解方程得：或，如果已知分式有意义，必须不等于2，，1，∵为方程的根，∴只能为，∴当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法．21．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知数字A为负数，将其加6得到数字B，若数字A与数字B的积为7，求数字A．【答案】【分析】根据题意得，解一元二次方程即可求解．【详解】解：由题意得，，∴，∴，即，解得或，∵数字A为负数，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“因式分解法”解一元二次方程是解题的关键．22．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是，，，．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：；(2)已知实数，满足，试求的值．【答案】(1)，，，；(2)【分析】（1）设，则，整理，得，解关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可求解；（2）设，则，整理，得，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设，则，整理，得，解得，，当即时，解得；当即时，解得；∴原方程的解为，，，；（2）设，则，整理，得，解得，舍去，．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．23．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程