第16讲 图形的相似全章复习与测试-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第16讲图形的相似全章复习与测试【学习目标】（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；

（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；

（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；

（4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)；【基础知识】一．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．二．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．三．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．四．相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．五．相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．六．相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．七．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．八．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．九．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．十．作图-相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．十一．位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．十二．作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．【考点剖析】一．比例的性质（共1小题）1．（2022•鼓楼区二模）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝二．比例线段（共1小题）2．（2021秋•覃塘区期末）已知四条线段2，3，4，x成比例，则x的值不可能是（）A．6 B． C．8 D．三．平行线分线段成比例（共2小题）3．（2022•江安县模拟）如图，AF∥BE∥CD，AB＝6，BC＝1.8，EF＝5，则线段FD的长（）A．6 B．6.5 C．7 D．7.54．（2022•广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5四．相似图形（共1小题）5．（2022•汝阳县一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（）A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆五．相似多边形的性质（共1小题）6．（2021秋•泸西县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（）A．55° B．65° C．75° D．85°六．相似三角形的性质（共1小题）7．（2022•沈阳模拟）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．七．相似三角形的判定（共1小题）8．（2022春•新罗区校级月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．八．相似三角形的判定与性质（共1小题）9．（2022•鄂州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．（1）若FD＝3FB，求的值；（2）若，，求S△FDC的值．九．相似三角形的应用（共1小题）10．（2022•新城区模拟）阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB．一十．作图-相似变换（共1小题）11．（2022•延平区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝4．（1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值．一十一．位似变换（共1小题）12．（2020秋•兴化市期末）如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；（2）分别写出A，B两点的对应点A'，B'的坐标．一十二．作图-位似变换（共1小题）13．（2022•广西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣5）、B（﹣3，﹣1）、C（﹣5，﹣4）．（1）画出将△ABC向上平移6个单位长度后对应的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，为位似比，在第一象限内，画出△ABC的位似图形△A2B2C2；（3）点M是BC的中点，请直接写出点M分别在△A1B1C1和△A2B2C2中的对应点M1和M2的坐标．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A． B． C． D．2．（3分）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（）A．12m B．11m C．10m D．9m3．（3分）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（）A．1cm B．10cm C．cm D．cm4．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m5．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝6．（3分）能判定△ABC∽△DEF的条件是（）A．＝ B．＝，∠A＝∠F C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．6 B．6.25 C．6.5 D．79．（3分）如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝．12．（3分）若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝．13．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件使得△ABP∽△ACB．14．（3分）如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为cm．15．（3分）如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是m．16．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．17．（3分）如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为m．18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．三．解答题（共6小题，满分46分）19．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90