山东省德州市2026届高三上学期1月期末考试数学试卷（含解析）

山东省德州市2025-2026学年高三上学期期末数学试题一、单选题1．若，其中是虚数单位，则的虚部为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．22．已知集合，，则（

）A． B．或C． D．3．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（

）A． B． C． D．5．从标有1，2，3，4，5的5个小球中随机摸取3个，则摸到的3个小球上数字之和是3的倍数的概率为（

）A． B． C． D．6．已知，是方程的两个实根，则（

）A． B． C． D．7．在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号强度值（单位：分贝，dB），为信号传播距离（单位：米），表示工作频率（单位：MHz），某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可近似为：（，为常数），若工作频率不变，距离缩减一半，信号强度值约增加dB；当时，dB，若dB，信号传播距离与工作频率之间的关系为（

）A． B． C． D．8．已知函数，存在，，满足，令，若，则在上的最大值为（

）A． B． C． D．1二、多选题9．在长方体中，已知，与平面所成的角为，则（

）A．B．四面体的体积为C．与平面所成的角为D．二面角所成角的余弦值为10．已知函数，则（

）A．曲线是中心对称图形B．当在上单调递增时，C．当的极小值为时，D．当时，若，则11．已知抛物线，的准线与轴交于点，过焦点的直线与交于、两点，点在第一象限，连接、，则（

）A．面积的最小值为B．若，则的倾斜角为60°C．D．三、填空题12．已知是奇函数，则________．13．在的展开式中，的系数为-10，各项系数之和为-1，则含项的系数为________．14．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________．四、解答题15．已知数列的首项为2，前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，记数列的前项和为，求证：．16．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”在高二某班作了一次调查，若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生追星”，“抽取的学生是女生”，且，，．(1)求；(2)若该班有45名同学，请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星是否与性别有关？追星不追星合计男生女生合计参考数据及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828公式：，其中．17．已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示．(1)当时，证明：平面平面；(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值．18．已知函数，曲线在处的切线斜率为1．(1)求实数的值；(2)当时，总有，求的最小值；(3)已知且，证明：．19．已知双曲线的左右顶点为，，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于，两点（其中在第一象限，且，异于点），为坐标原点．(1)求双曲线的标准方程；(2)过分别作，的垂线，垂足分别为，，记，的面积为，，若，求的最大值；(3)设圆上一点处的切线．若与双曲线左右两支分别交于，，问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．参考答案1．D解析：，则的虚部为.故选：D.2．A解析：由可得，则；又由可得或，则或则.故选：A.3．B解析：当时，，当时，因为，所以不成立，当时，因为，所以成立，因此由不一定能推出.当时，则有，此时，所以由能推出，因此“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．B解析：因圆锥的底面半径为，则其底面周长为，又圆锥的母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为.故选：B.5．C解析：从袋中的5个小球中取出3个小球，共有种情况，取出小球之和为3的倍数情况为：，共4种情况，所以取出之和为3的倍数的概率：故选：C6．C解析：，是方程的两个实根，，，，.故选：C.7．A解析：由题意可知，，得，则，解方程，得，即.故选：A8．C解析：函数，则，,所以,若存在，，满足，则，则,即，则,即，所以令，由，因为所以，令,则,则,当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以在上的最大值为,故选：C9．BC解析：，则，，在长方体中，平面，与平面所成的角为，，，，，在长方体中，，，故A错误；，，，，故B正确；平面，即为与平面所成的角，，，故，故C正确；选项D：连接，则二面角即为平面与平面所成的角，设为，由长方体的性质可知，即为二面角所成的角，即，故D错误．故选：BC．10．ACD解析：对于A，设函数，定义域为R，满足，即为奇函数，其图象关于原点对称；，其图象是由的图象向右平移1个单位得到的，所以的对称中心为，即曲线是中心对称图形，A正确；对于B，，则，当在上单调递增时，在R上恒成立，即在R上恒成立，由于，故，B错误；对于C，函数的定义域为，导函数，当时，，函数为增函数，无极值，与条件矛盾，当时，令可得，或，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取极小值，极小值为，由已知得，即，所以，C正确；对于D，因为，又，所以，即，又因为时，函数在R上单调递增，所以，D正确；故选：ACD11．ABD解析：对于A：由抛物线的标准方程可得焦点的坐标为，且，根据题意可设直线的方程为，与抛物线的方程联立，得，显然，设，因为点在第一象限，所以，因此有，，显然当时，面积有最小值，所以本选项说法正确；对于B：分别过作轴，轴，垂足分别为，因为，，所以，因为，所以，所以由，，当时，，所以直线的斜率为，所以若，则的倾斜角为60°或120°，因为点在第一象限，所以的倾斜角为60°，本选项说法正确；对于C：，当时取等号，所以本选项说法不正确；对于D：，因为，所以.因为所以，由题意可知，所以，因此，所以，因此本选项结论正确；故选：ABD12．解析：根据指数函数性质，，则，即奇函数的定义域为，由，故，即，即，则，即对任意恒成立，当时，有，即所以.故答案为：13．解析：由题意得，在的展开式中的系数为，令，得各项系数之和为，则为奇数，且，即得，所以含项的系数为故答案为：14．/解析：设点，点，因为是P向x轴作垂线的垂足，所以，已知，，可得，即，因为点在圆上，所以将代入圆的方程可得：，化简得，即椭圆的标准方程为；

由椭圆，可得，则，所以椭圆的左右焦点，那么，设，则，在中，根据三角形内角和为π，可得，由正弦定理得，所以，又，故，即，而，则，由于，故，即，得，结合，解得，则，故，，故，故的面积为，故答案为：；15．(1)(2)见详解解析：（1）由题得，且，则有，递推后联立，得，化简得，即，故，故数列的通项公式为.（2）由题得，则因为，则，所以，易得为递增数列，故，即，故，得证.16．(1)(2)表格见解析，依据的独立性检验，认为中学生追星和性别有关.解析：（1）根据条件概率公式，，，由，则，则，代入，解得（2）由，总人数人，则女生有人；由可知追星人数一共人；由可知，追星的人中女生占一半，因此追星的男生女生各人，则不追星的女生是人，不追星的男生是人，表格如下：追星不追星合计男生102030女生10515合计202545零假设为：中学生追星与性别无关，又，故依据的独立性检验，认为中学生追星和性别有关.17．(1)证明见解析.(2)解析：（1）取的中点，连接，在中，由余弦定理可得，解得，所以，即，因为，所以，即，平面，平面，所以，又菱形中，，为的中点，且，所以四边形为平行四边形，即，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）取的中点为，连接，作，因为，所以为正三角形，由（1）可知，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，则，同理设平面的法向量为，则，取，则，所以平面与平面所成角的余弦值为.18．(1)；(2)；(3)证明见解析.解析：（1），，，曲线在处的切线斜率为1，，，，.（2），，，，，恒成立，当时，此不等式恒成立，此时；当时，转化为恒成立，设，当时，转化为恒成立，，，，设，，，，，函数在上单调递减，当时，，即，，，，，在上是单调递减函数，，其中由洛必达法则可得，故，，，当时，转化为恒成立，，的最小值为.（3），，当时，，解得，则在上是单调递增函数，当时，，解得，则在上是单调递减函数，则当时，取最小值，且最小值为，，，当时，，，不妨设，要证，即证，，，，，在上是单调递增函数，只需证，即证明，，，设，，，，，，设，对称轴为，，在范围内为单调递增函数，，，，在上是单调递减函数，，，，，，，，，，.19．(1)；(2)；(3)是，定值为，理由