2.4 用一元二次方程解决问题（第2课时）教学设计

.4用一元二次方程解决问题（2）教学设计1.教学内容本课为新教材苏科版九年级上册第二章《一元二次方程》2.4用一元二次方程解决问题（2）。核心知识点：1.连续两次平均增长(降低)率模型a(1±x)2=b的建立与求解；2.将直角三角形中的动态运动情境2.内容解析本节聚焦“如何用一元二次方程刻画与解决实际问题”。首先，以“价格两次变动”与“产量两年增长”为例，引出“连续两次平均变化率”这一数量关系，通过列表法概括出不变量“原量×(1±x)2=现量”，帮助学生体会“同一对象、分步变化、逐步乘积”的建模逻辑。其次，借助“缉私艇拦截”“矩形内点运动”等情境，引导学生将动态过程转化为直角三角形中的静态几何关系，凭借勾股定理构建方程a2+b2=c1.教学目标•理解“连续两次平均增长率(降低率)”问题的数量关系，能正确列出并求解形如a(1±•能将含直角三角形的动态运动情境转化为勾股定理方程，建立一元二次方程模型。•能依据实际情境检验方程根的合理性，正确舍弃不合题意的解。2.目标解析•会用列表或变量替换明确“原量—变化—现量”之间的乘积关系，熟练解a(1±•通过“画图—化动为静—应用定理—列方程”四步法，掌握将运动问题模型化为x的二次方程的策略•在检验根意义的过程中，体验数学模型与现实世界的密切联系，树立严谨求真的科学态度3.重点难点•教学重点：连续两次平均变化率模型a(1±•教学难点：对“平均每次变化率”含义的正确理解与表达。学生已掌握一次方程与一元二次方程的解法，对勾股定理、矩形与直角三角形的性质有基本认识，能进行简单的图形分析。但在实际问题中，往往忽视“变化率的乘积关系”与“动态—静态”转换，列式欠准确；同时，对方程解的意义检验意识薄弱，易保留负根或超范围正根。针对这些薄弱环节，需通过典型示例与探究活动，强化模型思想、检验意识和规范化表达，帮助学生突破“建模与解的取舍”两大难点。创设情景，引入新课知识回顾：1.列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？审题→设元→列方程→解方程→检验→作答2．上节课我们解决了哪些类型的问题？在解的取舍方面要注意什么？矩形面积类实际问题．除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意，超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去．【设计意图】借助复习旧知，引出“连续两次平均增长率(降低率)”的数学模型a(1±探究点：连续两次平均增长(降低)率模型a1.典例分析：例2某种药品原价125元/盒，经过连续两次降价，现价格为80元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？分析：①“连续两次降价”是什么意思？②如果平均每次降价的百分率是x，第一次降价后的价格如何表示？③第二次降价是在哪个价格基础上进行的？如何表示？④这个问题的等量关系是什么？设这种药品平均每次降价的百分率是x，可以列表分析如下：等量关系：两次降价后价格＝现价解：设这种药品平均每次降价的百分率是x．根据题意，得125(1－x)²＝80．解这个方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)答：这种药品平均每次降价的百分率是20%．注意：变化率0＜x＜1，大于1的根无实际意义，必须舍去．连续两次下降模型：原量×(1-变化2.新知巩固1．某种帆布鞋原价每双160元，经过两次降价，现售价每双102.4元．求该种帆布鞋平均每次降价的百分率．解：设这种帆布鞋平均每次降价的百分率是x．根据题意，得160(1－x)²＝102.4．化简，得(1－x)²＝0.64解这个方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去答：这种帆布鞋平均每次降价的百分率是20%．2．某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，平均每年增产的百分率是多少？分析：这道题与“药品降价”问题有什么相同点和不同点？相同：都是连续两次变化；不同：药品是降价（降低率），粮食是增产（增长率）解：设平均每年增产的百分率是x．根据题意，得3000(1＋x)²＝3630．化简，得(1＋x)²＝1.21解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去答：平均每年增产的百分率是10%．3.例题讲解例3如图，海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行，缉私艇随即以75km/h的速度沿直线行驶，在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？分析：①设缉私艇从C到B需航行xh，则BC的长度为多少？②同一段时间内，可疑船只从A到B航行了多少？③观察△ABC,这是什么三角形？三边之间有什么关系？解：设缉私艇从C处到B处需航行xh．根据题意，得△ABC是直角三角形，AC=30km，AB＝60xkm，BC＝75xkm．于是(60x)2＋302＝解这个方程，得x1＝23，x2＝－23(答：缉私艇从C处到B处需航行23h2.交流讨论解决动态运动问题的基本步骤是什么？(1)画图标注：画出运动过程中的关键状态图，标注所有已知量和含未知数的代数式；(2)化动为静：分析运动过程中的不变量，将动态问题转化为静态几何关系；(3)寻找定理：根据图形特征选择几何定理（如勾股定理），建立方程；(4)双重检验：既要检验方程解是否为实数且为正，还要检验是否满足几何条件．【设计意图】通过“列表—等量关系—列方程—检验”的完整链条，使学生体会到一元二次方程模型a(1±1．如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝22，点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动．点P出发几秒后，点P，A的距离是点P，C的距离的2倍？解：设点P出发xs后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．根据题意，得x2＝4[(7－x)解这个方程，得x1＝6，x2＝383≈12.67＞7(超出范围，舍答：点P出发6s后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍．2.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：AB＝3x，甲共行走：AC＋BC＝7x，∵AC＝10，∴BC＝7x－10，又∵∠A＝90°，∴BC2＝AC2＋∴(7x－10)2＝10解得：x＝0（舍去）或x＝3.5，∴AB＝3x＝10.5，AC＋BC＝7x＝24.5.答：相遇时甲走了24.5步.思维提升如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．(1)当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？解：(1)根据题意，得AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝(6－2t)cm，∵△PAQ为等腰三角形，∠A＝90°，∴AQ＝AP，即t＝6－2t，解得：t＝2，答：当t＝2时，△PAQ为等腰三角形．(2)当t为何值时，△APD的面积为6cm2解：(2)∵S△APD＝12AD·AP＝12×4×(6－2t)＝(12－4t)(∴12－4t＝6，解得：t＝32答：当t＝32时，△APD的面积为6cm(3)五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t解：(3)∵S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD－S△APQ＝6×4－＝(24－3t＋t2)（cm∴24－3t＋t2＝20，整理得：t2－3t＋4＝∵Δ＝(－3)2－4×1×4＝－7＜0答：五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2(4)当t为何值时，P、Q两点之间的距离为25cm？解：(4)在Rt△APQ中，PQ＝AP2＋AQ根据题意，得(6－2t)2＋化简，得：5t2－24t＋16＝0，解得：t1＝4，t2∵