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文档简介
高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)
专题06对数函数与幂函数
基础知识复习
1.分数指数幂
m
nn
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a=am(a>0,m,n∈N*,且n>1).于是,在条件a>0,m,n∈N*,
且n>1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,
m
1
我们规定n=,,∈*,且的正分数指数幂等于;的负分数指数幂没有意义.
am(a>0mnNn>1).000
an
+
(2)有理数指数幂的运算性质:aras=ars,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
2.指数函数的图象与性质
【知识拓展】
1.指数函数图象的画法
1
-1,
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),a.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
典型习题强化
1.已知,则()
−�
2
A.3=8B.�log3=C.D.
【答6案】B−68−8
【解析】
由,得,所以,
−��
3
3=8−2=log8�=−2log38
所以
ln8ln3
232ln3ln2
故选:�loBg3=−2log8×log3=−2××=−6
2.已知.则a,b,c的大小关系为()
2
5245
A.�=log2,�=lBo.g4,�=C.D.
【答�案>】�B>��>�>��>�>��>�>�
【解析】
∵,,
2
lg2lg225
524245
�=log2=log252=lg25�=log4=2log2=log242=lg24�=5=log22=log22=log322=
,且,
lg2
lg321<24<25<32
故选:B∴�>�>�
3.已知函数①;②;③;④;⑤;⑥.
�
其中是对数函数�的=是4(�)=log�2�=−log3��=log0.2��=log3�+1�=log2�+1
A.①②③B.③④⑤
C.③④D.②④⑥
【答案】C
【解析】
根据对数函数的定义,只有符合(且)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a
�
是常数.易知,①是指数函数;②中�=的l自og变�量在�>对0数的�底≠数1的位置,不是对数函数;③中,
1
3
�=−log�=log3�
是对数函数;④中,是对数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数,由此可知只有③④
是对数函数.�=log0.2�=log0.04�
故选:C.
.已知,则的解析式为()
42
��+1=lg�
�(�)
A.B.
22
�(�)=lg�+1�(�)=lg�−1
C.D.
11
2�−12�+1
【答�案(�】)=Blg�(�)=lg
【解析】
令,则,
22
�+1=�,(�>1)�=�−1
所以,
2
�(�)=lg�−1(�>1)
所以.
2
�−1
故选:�(�B)=lg(�>1)
5.函数的图像恒过定点,点在幂函数的图像上,则()
A.16�=log��−1B+.48�C.4��=��D.2�(4)=
【答案】A
【解析】
当时,,
所以�=函2数�=log�1+4=的4图像恒过定点
记�=,lo则g�有�−1+,4解得(2,4)
��
所以�(�)=�2.=4�=2
2
故选:�(4A)=4=16
6.“当时,幂函数为减函数”是“或2”的()条件
2
2�−2�−3
�∈0,+∞�=�−�−1��=−1
A.既不充分也不必要B.必要不充分
C.充分不必要D.充要
【答案】C
【解析】
当时,幂函数为减函数,
2
2�−2�−3
所以�∈有0,+∞�=�,−�−1�
2
�2−�−1=1
所以幂函数⇒�=2为减函数”是“或2”的充分不必要条件,
�−2�−3<02
2�−2�−3
故选:C�=�−�−1��=−1
7.函数的值域为()
A.�=ln(�−2)+B1.C.D.
【答R案】A(1,+∞)[1,+∞)(2,+∞)
【解析】
由对数函数的值域为,向右平移2个单位得函数的值域为,
则�=ln�的值域为R,�1=ln(�−2)R
故选�=:lAn(.�−2)+1R
8.已知函数,给出下述论述,其中正确的是()
2
A.当时�,�=lg的�定+义�域�为−�−1
B.�=一定0有最�小�值−∞,−1∪1,+∞
C.当��时,的定义域为
D.若�=0在区间��上单调递�增,则实数的取值范围是
【答案�】�A2,+∞���≥−4
【解析】
对A,当时,解有,故A正确;
2
对B,当�=0时,�−1>0�,∈此−时∞,−1∪1,+∞,,
22
此时�=0�值�域=为lg�,故−1B错误;�∈−∞,−1∪1,+∞�−1∈0,+∞
2
对C,�由�A=,lg�−的1定义域为�,故C错误;
对D,若在�区�间上单−∞调,递−增1,∪此1时,+∞在上单调递增,所以对称轴
2
,解�得�,2但,+当∞时,�=�+��−�在−1处2,+无∞定义,故D错误.�=−
�2
2≤2
故选:A.�≥−4�=−4��=lg�−4�+3�=2
9.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补
原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个
图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数满足,
�(�)�(8−�)=�(�)
且当时的解析式为�,则函数在的图像与直线y=2
2log22−2,0≤�≤2
�
�∈0,4��=1�=�(�)�∈0,8
所围成封闭图形的面积为()2log22,2<�≤4
A.4B.8C.16D.32
【答案】C
【解析】
由题意知:关于对称,
���=4
而当时,�,
2log2(2−2),0≤�≤2
�
�∈[0,4]�(�)=1
且,2log2,2,2<�≤4
∴�在(0)=�(8上)=,2�(、4)=−2及的图象如下,
�∈0,8�(�)�(8−�)�=2
∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域,
可得到图示:由x轴、y轴、、所围成的矩形的面积,
∴函数在的图�=象与2直�线=8围成封闭图形的面积为.
故选:C�=���∈0,4�=216
10.已知函数(且)的图像如图所示,则以下说法正确的是()
��=log��−��>0�≠1
A.B.C.D.
�
【答�案+】�C<0��<−10<�<1log��>0
【解析】
由图象可知在定义域内单调递增,所以,
令��,即,所�以>函1数的零点为,结合函数图象可知,
所以��=log��,−�=0�=�+1���+10<�+1<1
因此−1<�<,0故A错误;
�+�>,0又因为,所以,因此不一定成立,故B错误;
因−�为<��<0,即�>1,−且�<−1,�所�以<−1,故C正确;
−1�01�1�
��
因为�<�<�,所以<�<1,0<即<1,0故<�D错<误1,
故选:0C<.�<1log��<log�1log��<0
11.已知正实数a,b,c满足,则一定有()
��
A.B.�<�<1<loCg.��D.
【答�案<】1AB�<��<��<�
【解析】
由正实数a,b,c,以及,可得,
��
又,所�以<1�<.1�,�∈0,1
所以log��>1,=又log��,所�以<�<1,
������
即�<�,等�价<于��,<�
ln�ln�
�ln�<�ln��<�
构造函数,
ln�
��=��>0
,
1−ln�
2
�'�=�
当时,
1−ln�
2
�∈0,1�'�=�>0
故在上递增,从而.
ln�
又取��=时�,原0,式1为�<�同样成立,
��
故CD�=不�正确,�<�<1<log��
故选:AB
12.如图所示,直线分别与函数和的图象交于,两点,若在函数
的图象上存在点�,=使�得为�等=腰l直og角2�三角�=形l,og则2�的−值2可以为(�)��=log2�−
2�△����
A.B.C.D.
【答1案】AClog233−log232𝑙�23
【解析】
由题意,设,,,,,.
���
若�2,��2+2��2+2�
°
则∠���,=90,与,重合,不合题意.
��
若�=��2,+2��2+2�
°
则∠���=90,即,即,
��8
2=2+2��−2�
2=2+22=3
解得�:−�=2.
若�=3−,log23
°
∠���=90
��
则2+2+2�,
2=2+2
��
即�−�=2,=即1,
��
2=2+1��−1
2=2+1
即�−�=,解1得:.
�
故选2:=A2C.�=1
13.,下列说法正确的有()
A.��=ln�关于对称
B.�=��+�2−�是�奇=函1数
C.�=�增�长−速2度−先�快�后+慢2
D.��无最大值
【答�案=】�A�C+�2−�
【解析】
对于A,令,则,
关于��=对�称�,+A�正2确−;��2−�=�2−�+��=��
对∴�于�B,由�=1知:,解得:,函数定义域不关于原点对称,原函数为
�−2>0
�=��−2−��+2�>2∴
非奇非偶函数,B错误;�+2>0
对于C,图象如下图所示,
��=ln�
根据图象可知:增长速度先快后慢,C正确;
对于D,��,
2
则当�时=,��+�2−�=ln�,+此ln时2−�=ln−�+2取�得最大值,D错误.
2
故选:�=AC1.−�+2�max=1�=��+�2−�0
14.已知函数且的图象经过定点,若幂函数的图象也经
1
��=log�3−�+4(�>0�≠1)��=��
过该点,则_______________________.
1
【答案】�2=
【解析】4
因为,所以,设幂函数,
11�
�(2)=4�(2,4)�=��=�
因为幂函数的图象经过,
1
�=���(2,4)
所以,
�1−2
2=4⇒�=−2⇒�(�)=�
因此,
11−2
故答案�(为2):=(2)=4
15.已知函数4的图象如图,则________.
��=log��+���=
【答案】8
【解析】
由图像可得:过点和,则有:,解得.
�−3
log�=0�=4
��=log��+�−3,00,2
∴.log��=2�=2
故答��案=为8:8.
16.已知函数(且)的图象恒过定点,若点也在函数的图象上,
8�
�9
则_______�_=__.log(�+3)−�>0�≠1����=3+�
【答�=案】
【解析】−1
解:由题意函数的图象恒过定点,故得,
88
�
又点也在函数�=log(�+的3)图−象9(上�,>0,�≠1)��(−2,−9)
�
�,�解�得=3+�,
8−2
故∴−答9案=为3:+�.�=−1
17.已知函数−1为幂函数,且为奇函数.
2�+1
(1)求的值,并��确定=�的−解5�析+式1;��∈Z
(2)令���,求在的值域.
1
2
【答案�(】�)(1=)�,(�)+2;�+1�=���∈−,1
(2)0�.�=�
1
−2,3+1
【解析】
(1)因为函数为幂函数,
2�+1
所以��=�,−解5得�+1�或�∈,Z
2
当�−时5,�函+数1=1是�奇=函0数,�符=合5题意,
当�=0时,函数��=�是偶函数,不符合题意,
6
综上�所=述5,的值为��,=函�数的解析式为.
(2)由(1)知�,0,����=�
所以��=�,
令�(�)=�(,�)则+2�+1,=�+2�+1
2
�−1
�=2�+1�=2
,
1
∵−2≤�≤1,∴0≤1+2�≤3,∴0≤�≤3
所以,,
22
�−1�1
�(�)=2+�=2+�−2�∈0,3
根据二次函数的性质知,的对称轴为,开口向上,
1
1
�=−2×2=−1
所以在上单调递�(增�);
所以�(�)0,3,
2
011
�(�)min=�(0)=2+0−2=−2
2
31
�(�)max=�(3)=+3−=3+1
所以函数在的值域为.22
11
22
18.(1)已�知�−,1,求−,3的+值1;
�−��−�
(2)化简并计2算−2=34+4.
11
−28−3110
0.25+(27)−2lg16−2lg5+(2)
【答案】(1)11;(2).
5
【解析】2
解:(1),,
�−��−�2
∵2−2,=3∴(2−2.)=9
�−��−�
(∴42)+原4式−2=9∴4+4=11
−12−1
=0.5+(3)−2lg2−2lg5+1
.
35
=2+2−2+1=2
19.已知函数,.
�1
42
(1)证明:�为�偶函=数log;4+1−��∈R
��
(2)若函数,,是否存在,使最小值为0.若存在,求出的值;
�
��+2�
2
若不存在,�说�明=理4由.+�⋅2−1�∈0,log3����
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解�析=】−1
(1)证明:定义域为,
�1
∵�(�)=log4(4+1)−2�R
∴�(−�)−�(�)
−�1�1
=log4(4+1)+�−log4(4+1)+�
22
�
4+11�1
=log4�+�−log4(4+1)+�
422
��1�1
=log44+1−log44+�−log4(4+1)+�
,22
��
=即为log4(4+1)−�−,log4(4+1)+�=0
则�(为−偶�)函=数�;(�)
(2)�解(�:)
��
�(�)+2�log4(4+1)�
�(�)=4,+�⋅2−1=4+�⋅2−1
�2�
=当(2)+�⋅2时,,
�
令�∈0,,lo则g232∈,1,3,
�2
当2=�时,�=即�+��,�∈1,3在上单调递增,
�2
所以−2≤1时,�≥−2�=�,+解�得�1,3,
min
当�=1时�即=�+1=0,�=时−,1,
2
���
min
解得1:<−2<3不成立−;6<�<−2�=−2�=−4=0
当�=时0,即,在上单调递减,所以时,,
�2
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