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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题06对数函数与幂函数

基础知识复习

1.分数指数幂

m

nn

(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a=am(a>0,m,n∈N*,且n>1).于是,在条件a>0,m,n∈N*,

且n>1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,

m

1

我们规定n=,,∈*,且的正分数指数幂等于;的负分数指数幂没有意义.

am(a>0mnNn>1).000

an

(2)有理数指数幂的运算性质:aras=ars,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.

2.指数函数的图象与性质

【知识拓展】

1.指数函数图象的画法

1

-1,

画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),a.

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为

c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.

3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.

典型习题强化

1.已知,则()

−�

2

A.3=8B.�log3=C.D.

【答6案】B−68−8

【解析】

由,得,所以,

−��

3

3=8−2=log8�=−2log38

所以

ln8ln3

232ln3ln2

故选:�loBg3=−2log8×log3=−2××=−6

2.已知.则a,b,c的大小关系为()

2

5245

A.�=log2,�=lBo.g4,�=C.D.

【答�案>】�B>��>�>��>�>��>�>�

【解析】

∵,,

2

lg2lg225

524245

�=log2=log252=lg25�=log4=2log2=log242=lg24�=5=log22=log22=log322=

,且,

lg2

lg321<24<25<32

故选:B∴�>�>�

3.已知函数①;②;③;④;⑤;⑥.

其中是对数函数�的=是4(�)=log�2�=−log3��=log0.2��=log3�+1�=log2�+1

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【解析】

根据对数函数的定义,只有符合(且)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a

是常数.易知,①是指数函数;②中�=的l自og变�量在�>对0数的�底≠数1的位置,不是对数函数;③中,

1

3

�=−log�=log3�

是对数函数;④中,是对数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数,由此可知只有③④

是对数函数.�=log0.2�=log0.04�

故选:C.

.已知,则的解析式为()

42

��+1=lg�

�(�)

A.B.

22

�(�)=lg�+1�(�)=lg�−1

C.D.

11

2�−12�+1

【答�案(�】)=Blg�(�)=lg

【解析】

令,则,

22

�+1=�,(�>1)�=�−1

所以,

2

�(�)=lg�−1(�>1)

所以.

2

�−1

故选:�(�B)=lg(�>1)

5.函数的图像恒过定点,点在幂函数的图像上,则()

A.16�=log��−1B+.48�C.4��=��D.2�(4)=

【答案】A

【解析】

当时,,

所以�=函2数�=log�1+4=的4图像恒过定点

记�=,lo则g�有�−1+,4解得(2,4)

��

所以�(�)=�2.=4�=2

2

故选:�(4A)=4=16

6.“当时,幂函数为减函数”是“或2”的()条件

2

2�−2�−3

�∈0,+∞�=�−�−1��=−1

A.既不充分也不必要B.必要不充分

C.充分不必要D.充要

【答案】C

【解析】

当时,幂函数为减函数,

2

2�−2�−3

所以�∈有0,+∞�=�,−�−1�

2

�2−�−1=1

所以幂函数⇒�=2为减函数”是“或2”的充分不必要条件,

�−2�−3<02

2�−2�−3

故选:C�=�−�−1��=−1

7.函数的值域为()

A.�=ln(�−2)+B1.C.D.

【答R案】A(1,+∞)[1,+∞)(2,+∞)

【解析】

由对数函数的值域为,向右平移2个单位得函数的值域为,

则�=ln�的值域为R,�1=ln(�−2)R

故选�=:lAn(.�−2)+1R

8.已知函数,给出下述论述,其中正确的是()

2

A.当时�,�=lg的�定+义�域�为−�−1

B.�=一定0有最�小�值−∞,−1∪1,+∞

C.当��时,的定义域为

D.若�=0在区间��上单调递�增,则实数的取值范围是

【答案�】�A2,+∞���≥−4

【解析】

对A,当时,解有,故A正确;

2

对B,当�=0时,�−1>0�,∈此−时∞,−1∪1,+∞,,

22

此时�=0�值�域=为lg�,故−1B错误;�∈−∞,−1∪1,+∞�−1∈0,+∞

2

对C,�由�A=,lg�−的1定义域为�,故C错误;

对D,若在�区�间上单−∞调,递−增1,∪此1时,+∞在上单调递增,所以对称轴

2

,解�得�,2但,+当∞时,�=�+��−�在−1处2,+无∞定义,故D错误.�=−

�2

2≤2

故选:A.�≥−4�=−4��=lg�−4�+3�=2

9.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补

原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个

图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数满足,

�(�)�(8−�)=�(�)

且当时的解析式为�,则函数在的图像与直线y=2

2log22−2,0≤�≤2

�∈0,4��=1�=�(�)�∈0,8

所围成封闭图形的面积为()2log22,2<�≤4

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】

由题意知:关于对称,

���=4

而当时,�,

2log2(2−2),0≤�≤2

�∈[0,4]�(�)=1

且,2log2,2,2<�≤4

∴�在(0)=�(8上)=,2�(、4)=−2及的图象如下,

�∈0,8�(�)�(8−�)�=2

∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域,

可得到图示:由x轴、y轴、、所围成的矩形的面积,

∴函数在的图�=象与2直�线=8围成封闭图形的面积为.

故选:C�=���∈0,4�=216

10.已知函数(且)的图像如图所示,则以下说法正确的是()

��=log��−��>0�≠1

A.B.C.D.

【答�案+】�C<0��<−10<�<1log��>0

【解析】

由图象可知在定义域内单调递增,所以,

令��,即,所�以>函1数的零点为,结合函数图象可知,

所以��=log��,−�=0�=�+1���+10<�+1<1

因此−1<�<,0故A错误;

�+�>,0又因为,所以,因此不一定成立,故B错误;

因−�为<��<0,即�>1,−且�<−1,�所�以<−1,故C正确;

−1�01�1�

��

因为�<�<�,所以<�<1,0<即<1,0故<�D错<误1,

故选:0C<.�<1log��<log�1log��<0

11.已知正实数a,b,c满足,则一定有()

��

A.B.�<�<1<loCg.��D.

【答�案<】1AB�<��<��<�

【解析】

由正实数a,b,c,以及,可得,

��

又,所�以<1�<.1�,�∈0,1

所以log��>1,=又log��,所�以<�<1,

������

即�<�,等�价<于��,<�

ln�ln�

�ln�<�ln��<�

构造函数,

ln�

��=��>0

1−ln�

2

�'�=�

当时,

1−ln�

2

�∈0,1�'�=�>0

故在上递增,从而.

ln�

又取��=时�,原0,式1为�<�同样成立,

��

故CD�=不�正确,�<�<1<log��

故选:AB

12.如图所示,直线分别与函数和的图象交于,两点,若在函数

的图象上存在点�,=使�得为�等=腰l直og角2�三角�=形l,og则2�的−值2可以为(�)��=log2�−

2�△����

A.B.C.D.

【答1案】AClog233−log232𝑙�23

【解析】

由题意,设,,,,,.

���

若�2,��2+2��2+2�

°

则∠���,=90,与,重合,不合题意.

��

若�=��2,+2��2+2�

°

则∠���=90,即,即,

��8

2=2+2��−2�

2=2+22=3

解得�:−�=2.

若�=3−,log23

°

∠���=90

��

则2+2+2�,

2=2+2

��

即�−�=2,=即1,

��

2=2+1��−1

2=2+1

即�−�=,解1得:.

故选2:=A2C.�=1

13.,下列说法正确的有()

A.��=ln�关于对称

B.�=��+�2−�是�奇=函1数

C.�=�增�长−速2度−先�快�后+慢2

D.��无最大值

【答�案=】�A�C+�2−�

【解析】

对于A,令,则,

关于��=对�称�,+A�正2确−;��2−�=�2−�+��=��

对∴�于�B,由�=1知:,解得:,函数定义域不关于原点对称,原函数为

�−2>0

�=��−2−��+2�>2∴

非奇非偶函数,B错误;�+2>0

对于C,图象如下图所示,

��=ln�

根据图象可知:增长速度先快后慢,C正确;

对于D,��,

2

则当�时=,��+�2−�=ln�,+此ln时2−�=ln−�+2取�得最大值,D错误.

2

故选:�=AC1.−�+2�max=1�=��+�2−�0

14.已知函数且的图象经过定点,若幂函数的图象也经

1

��=log�3−�+4(�>0�≠1)��=��

过该点,则_______________________.

1

【答案】�2=

【解析】4

因为,所以,设幂函数,

11�

�(2)=4�(2,4)�=��=�

因为幂函数的图象经过,

1

�=���(2,4)

所以,

�1−2

2=4⇒�=−2⇒�(�)=�

因此,

11−2

故答案�(为2):=(2)=4

15.已知函数4的图象如图,则________.

��=log��+���=

【答案】8

【解析】

由图像可得:过点和,则有:,解得.

�−3

log�=0�=4

��=log��+�−3,00,2

∴.log��=2�=2

故答��案=为8:8.

16.已知函数(且)的图象恒过定点,若点也在函数的图象上,

8�

�9

则_______�_=__.log(�+3)−�>0�≠1����=3+�

【答�=案】

【解析】−1

解:由题意函数的图象恒过定点,故得,

88

又点也在函数�=log(�+的3)图−象9(上�,>0,�≠1)��(−2,−9)

�,�解�得=3+�,

8−2

故∴−答9案=为3:+�.�=−1

17.已知函数−1为幂函数,且为奇函数.

2�+1

(1)求的值,并��确定=�的−解5�析+式1;��∈Z

(2)令���,求在的值域.

1

2

【答案�(】�)(1=)�,(�)+2;�+1�=���∈−,1

(2)0�.�=�

1

−2,3+1

【解析】

(1)因为函数为幂函数,

2�+1

所以��=�,−解5得�+1�或�∈,Z

2

当�−时5,�函+数1=1是�奇=函0数,�符=合5题意,

当�=0时,函数��=�是偶函数,不符合题意,

6

综上�所=述5,的值为��,=函�数的解析式为.

(2)由(1)知�,0,����=�

所以��=�,

令�(�)=�(,�)则+2�+1,=�+2�+1

2

�−1

�=2�+1�=2

1

∵−2≤�≤1,∴0≤1+2�≤3,∴0≤�≤3

所以,,

22

�−1�1

�(�)=2+�=2+�−2�∈0,3

根据二次函数的性质知,的对称轴为,开口向上,

1

1

�=−2×2=−1

所以在上单调递�(增�);

所以�(�)0,3,

2

011

�(�)min=�(0)=2+0−2=−2

2

31

�(�)max=�(3)=+3−=3+1

所以函数在的值域为.22

11

22

18.(1)已�知�−,1,求−,3的+值1;

�−��−�

(2)化简并计2算−2=34+4.

11

−28−3110

0.25+(27)−2lg16−2lg5+(2)

【答案】(1)11;(2).

5

【解析】2

解:(1),,

�−��−�2

∵2−2,=3∴(2−2.)=9

�−��−�

(∴42)+原4式−2=9∴4+4=11

−12−1

=0.5+(3)−2lg2−2lg5+1

.

35

=2+2−2+1=2

19.已知函数,.

�1

42

(1)证明:�为�偶函=数log;4+1−��∈R

��

(2)若函数,,是否存在,使最小值为0.若存在,求出的值;

��+2�

2

若不存在,�说�明=理4由.+�⋅2−1�∈0,log3����

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解�析=】−1

(1)证明:定义域为,

�1

∵�(�)=log4(4+1)−2�R

∴�(−�)−�(�)

−�1�1

=log4(4+1)+�−log4(4+1)+�

22

4+11�1

=log4�+�−log4(4+1)+�

422

��1�1

=log44+1−log44+�−log4(4+1)+�

,22

��

=即为log4(4+1)−�−,log4(4+1)+�=0

则�(为−偶�)函=数�;(�)

(2)�解(�:)

��

�(�)+2�log4(4+1)�

�(�)=4,+�⋅2−1=4+�⋅2−1

�2�

=当(2)+�⋅2时,,

令�∈0,,lo则g232∈,1,3,

�2

当2=�时,�=即�+��,�∈1,3在上单调递增,

�2

所以−2≤1时,�≥−2�=�,+解�得�1,3,

min

当�=1时�即=�+1=0,�=时−,1,

2

���

min

解得1:<−2<3不成立−;6<�<−2�=−2�=−4=0

当�=时0,即,在上单调递减,所以时,,

�2

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