2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题14解三角形（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题14解三角形

基础知识复习

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

(2)a2＝b2＋c2－2bccos_A；

abc

内容(1)＝＝＝2Rb2＝c2＋a2－2cacos_B；

sinAsinBsinC

c2＝a2＋b2－2abcos_C

(3)a＝2RsinA，

b＝2Rsin_B，

b2＋c2－a2

c＝2Rsin_C；(7)cosA＝；

2bc

＝a，＝b，＝c；

(4)sinAsinBsinCc2＋a2－b2

变形2R2R2RcosB＝；

2ac

(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

a2＋b2－c2

(6)asinB＝bsinA，cosC＝

2ab

bsinC＝csinB，

asinC＝csinA

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

3.三角形常用面积公式

1

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

2

111

(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；

222

1

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

2

【知识拓展】

1．三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

A＋BπC

变形：＝－.

222

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；

A＋BCA＋BC

(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.

2222

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；

b＝acosC＋ccosA；

c＝bcosA＋acosB.

4.实际测量中的常见问题

【知识拓展】

实际问题中的常用术语

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在

水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

典型习题强化

1．在中，，，，则的值为（）

�

�=3

A．△𝐴��=B3．�=3�C．D．

2．在3中，角所2对3的边分别是，且33，则3的形状为（）

A．等△腰�三�角�形�,�,��,�,B�．直�角=三2角�c形os�△𝐴�

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

3．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东4

5°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，

B两处岛屿间的距离为（）

A．海里B．海里C．海里D．40海里

4．在20A6BC中，AC＝3，406，AB＝2，则A2B0边(1上+的3高)等于（）

A．△B．��=7C．D．

32633

22223

5．已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（）

333

A．锐角△三�角�形�B．钝角三角�形+�=C�．直角三角形D．无法确定

6．在锐角中，若，且，则的取值范围是（）

cos�cos�

��

A．△𝐴�B．3sin�(+)=Csi．n�sin�3sin�+Dco．s�=2�+�

7．在23,4中，内角A，B，2,2C所3对的分别为a，b0，,4c，下列结论错误的是2,（4）

A．若△a＝𝐴2�，b＝2021，c＝2022，则为钝角三角形

B．若sin2A＝sin2B，则是等腰△三�角��形

C．若a：b：c＝2：3：4△，�则��中最小的内角为A，且

�

△𝐴��∈0,6

D．若a＝2，，，则

�5�

�=312

8．在中�，=角6A，B，C所对�的=边分别为a，b，c，若，，则实数的最小

值是（△𝐴）�sin�=23sin�sin��=���

A．B．C．D．

33

22

9．在锐3角中，角A，B+，C3所对的边分别为2a−，b3，c，已知2+，3且，则下列命题正确的

有（）△个𝐴��=2�cos��≠�

①②角B的取值范围是

�

�=2�0,4

③的取值范围是④的取值范围是

1�

2�

A．co1s�0B,．2C．3(2,3)D．4

10．在面积为的锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的最

12

小值为（）�𝐴��������=2�tan�tan�

A．B．4C．D．2

9

2

11．在中，角､､所对的边分别为､､，2下3列说法中正确的是（）

A．△𝐴�������

B．若sin�+�=si，n�则

C．若sin�>sin��，>则�是直角三角形

D．若�cos�−�cos�，=三�角形△面�积��，则三角形的外接圆半径为

∘13

12．在�=3,�中=，60分别为，�=3，3的对边，下列叙述正确的是3（）

A．若△𝐴�为钝角�,三�,角�形，则∠�∠�∠�

222

△𝐴��+�<�

B．若是锐角三角形，则不等式恒成立

C．△𝐴�，则sin�>cos�

�

∠�=4

D．�若=�sin�+�cos�，则为钝角三角形

13．已t知an角A+，tan，�+是tan�<0的三个△内�角��，下列结论一定成立的有（）

A．若���，△则𝐴�是等腰三角形

B．若sin2�=sin2，�则△𝐴�

C．若sin�>是si锐n�角三角�形>，�则

D．若△𝐴�，，sin，�>则cos�的面积为或

33

𝐴=3��=1�=30°△𝐴�42

14．设的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且.若a､b､c成等差数列，则_______

�

�−�=2

____△𝐴�cos�=

15．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则__________．

2

△𝐴��������=3�=4sin�=3�=

16．在三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则该三角形周长的最大

sin�3cos�2

值为_________�_�_�.�=�=2

17．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的

2�−�cos��

横线上，并�加=以c解os�答．sin�=cos23�=�sin�+3cos�

在中，角的对边分别是，若__________．（填条件序号）

(1)△求�角��的大小；�,�,��,�,�

(2)若�，求面积的最大值．

注：如�=果选3择多△个�条��件分别解答，按第一个解答计分．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，②

，△③𝐴�中任选一个，�cos�+�cos�=2�cos��+�+��+�−�=

(31�)�求角Cc的os大2�小+；cos�=0

(2)若，求周长的最大值．

19．在�=①2△，�②��AC边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解

3321

答.�=72sin�=7

问题：记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，______.

(1)求c的△值；∠�=60°�