正切函数的图像与性质教学设计

课题：正切函数的性质与图象

教学内容解析：

本节课之前研究函数的性质是零散的，分别在必修一和必修四的局部章节之中.本节课借助

正切函数的性质和图象把函数的性质集中在一节课中来讨论，是对函数的性质概括性地学

习，为学生继续研究学习函数性质提供一个研究示范.

研究函数的性质往往要借助于函数的图象，描绘函数的图象首先要考虑函数的定义域.

根据函数的图象来发现函数可能存在的性质再用有关定义（定理）来验证是一种数型结合

的思想方法；这表达了新课程“注重培养学生分析问题和解决问题的能力，开展学生的创

新意识和应用意识，提高学生数学探究能力，进一步开展学生的数学实践能力的要求.

教学目标

1、知识与技能：

通过正切函数的性质和图象的学习，使学生能够掌握“通过函数的图象去研究其性质”

的技能.

2、过程与方法：

通过正切函数性质和图象的学习过程，使学生感悟由图索性,理解研究函数性质的一般

步骤与方法.

3、情感态度价值观：

通过正切函数的性质和图象的学习，锻炼学生发现问题和解决问题的能力.

学情分析：

我所在学校是海南省万宁市的一所乡镇中学，升高中时成绩优异的学生都去省、市重

点学校进行就读，报考我校高中的学生根底相对较差，学习的积极性相对较低.因此，教学

上要求由浅入深，循循善诱才有效果.

本节课由学生才学习过的正弦、余弦的的性质的相关经验，结合正切函数的图象来研

究其性质.例题讲解、课堂练习与习题搭配都不能太难，否则收不到好的效果.

教学策略分析：

1、数型结合：由正切函数的图象，学生容易看出正切函数的值域，周期，单调性;

由图象关于原点而称会思考正切函数是否是奇函数.

2、多媒体辅助教学：目的是充分发挥其快捷生动形象的特点，为学生提供直观感性

的画面，有助于学生对问题的理解和认识.

教学重点：

正切函数的性质.

教学难点

正切函数的单调性及其运用.

教学过程设想

教学环节教学过程及师生互动设计意图

师：同学们，我们己经学习了正弦、余弦函数，它们有

哪些性质呢？

温（学生答复）

通过回忆

师：我们今天学习正切函数，正切函数的性质又有哪正余弦函数的

故

些呢？性质，引导学生

探讨正切函数

知（学生思考）其性质，从而培

（老师板书课题）养学生自主探

索的精神，提高

新了学生的总结

正切函数的性质与图象归纳能力.

教学环节教学过程及师生互动设计意图

师：欲研究函数的性质，我们首先要考虑函数的什么

性质呢？

（学生答复）

JT

1.定义域：X=ixeR\xk7r+—,keZ,■

2

师：正弦函数我们利用正弦线做出函数图象，正切函

数图象我们利用正切线来做y=tanx在区间上

的图象（多媒体）：

主

动

通过教师

探引导，让学生

明确在正切函

究数定义域的

区间

22

解上作图象，并让

学生能自主作

决图，从而培养学

师：利用正切线画正切函数图象，在没有电脑的情况生的动手操作

能力.

问卜.不太方便，所以我们要应用画函数图象的一般方法-一

描点法.

题

师：在平面直角坐标系中，先在内，描出

22

点(一］,一扬,(一［,一1),当,(0,0),(,当

3463634

(£6)按照自变量从小到大的顺序用平滑的曲线依次连

接起来就得到了…皿在昌亭的大致图象.

教学过程及师生互动

教学环节设计意图

主

师:值得注意的是’函数尸xe甘奉的图

动

探象向上无限伸展,越来越接近直线x=-,始终不与其相交,

2

向下无限伸展,越来越接近直线x=--,始终不与其相交.

究2

同理可以得到此函数在其它区间内的图象.

解

决

问

题

师：由图象可以看出：正切曲线是被相互平行的直线

x=&4+工MwZ所隔开的无穷多支形状相同曲线组成，

2

利用图象，

我们称这个图象为正切曲线.根据研究函数

性质的一般过

下面我们就根据正切函数的图象，按照函数性质一般程，引导学生

的研究方法来探讨一下正切函数的性质.得出正切函数

2、值域：的性质，渗透

数型结合的思

学生：通过观察图象在区间内是上下无限

22想.

教学环节延伸.设计意图

教学过程及师生互动

师:因此,正切函数丁=tanx(xwR,xh^+k-kwZ)的

值域是实数集R.

3、奇偶性：

学生:通过观察图象在区间内是关于原点对引导学生

22观察图象和利

称的，得到一奇函数.

用奇偶函数的

师:你能根据奇函数的定义进行验证吗？定义验证正切

函数的奇偶

主X=^xeR\x^k;r+^,keZ►

性，培养学生

严谨的学习态

动度.

XXGX=>-XGX,f(-x)=tan(-^)=-tanx=-/(x)

探所以）'=/（X）=tanx是奇函数.

4、周期性：

究引导学生

学生:通过观察y=tanx（xGR,xy+k,kGZ）图象得

观察图象并运

解知周期是1.用诱导公式确

定正切函数的

教师:你又能根据周期函数的定义进行验证吗？周期性，让学生

决充分体会诱导

/（x+乃）=tan（x+^-）=tanx=/（x）

公式的转化作

用.

问X£R,XHX+k〃，k£Z可知，正切函数是周期函数，其最小

2

正周期是乃.

题

5、单调性：

师：⑴观察函数），=tanx的图象在W）内自

通过图形

变量X从小到大的增加,其图象是上升趋势，因此,函数），的感性认识，

让学生准确理

的值也从小到大地增加.所以，函数y=lanx,XG解掌握正切函

数的单调性，

是增函数.从而突破了本

22

节课的难点.

师：（2）根据每隔万个单位，图象重复出现，因此，

正切函数在开区间Gbr-C次乃+工），攵£Z上都是增函数.

22

师：正切函数在整个定义域上是增函数吗？（用函数

图象说明）

教学过程及师生互动

教学环节设计意图

例1、求函数y=tan(-x+-J的定义域、周期和单

23

调区间.

解：令z=2x+工

23

例

那么函数y=tanz的定义域是，zcR|z丰%作、kcZ

通过对例

/.z=—x+—^k^+—,keZ,题的讲解，深化

232学生对本节课

题所学内容的理

即x^2k+-,keZ.解.

3

所以，函数的定义域是<X£R|xw2A+g,k£Z,.

由于/(XI=tan(yx+y)=tan[(yx+?)+4]

讲

=tan_(x+2)H—=f(x+2),

3

因此函数的周期为2.

由-2+k乃<—r+—<—+”/r,A，e7解得

2232

解

----F2kVrV—F2k,kwZ.

3---------3

因此，函数的单调递增区间是

(--F2k,—F2k)、k€Z.

33

教学环节教学过程及师生互动设计意图

课堂练习：

1、观察正切曲线，写出满足以下条件的x值的范围：

引导学生

(1)tanx>0;(2)tanx=0;(3)tanx<0.

运用所学知识

来解决问题，逐

2、求函数）=tan3x的定义域步渗透数型结

课合思想，提高学

3、求以下函数的周期:生解决问题的

能力.

■jrLrr

(1)y=tan2x,xw—•k——(xeR.keZ);

-42

堂

(2))，=5lan；,x。(2k+1)^,(XGR.keZ).

4、利用正切函数的单调性比拟以下各组中两个正切值

检的大小：

（1）tan1380_____tan143°;

测c/13、/17、

12）tan（一--Jr）_____tan（一-—万）.

课堂小测验：

1、产所旧"+宗攵"）在定义域上的单调性为

（）.

A、在整个定义域上为增函数

B、在整个定义域上为减函数

C、在每一个开区间（-工+版■二+版）（旌Z）上为增函

22

数

D、在每一个开区间（一工+2攵万,工+2%乃）（女wZ）上为增

22

函数

教学环节教学过程及师生互动

设计意图

2、函数y=tan(?+x)的定义域为().

课(A){x\R]

4

(B){x\-—,xeR}

4

(C)[x\k/r+—,xeR,keZ}

堂4

(D){x\x^=k7r+—,XGR,keZ}引导学生

4构建知识网络

3、函数j=2tan(3x+马的周期是().并对所学内容

4进行简单的反

检