测试技术第二版课后习题答案1

解:

(1)瞬变信号一指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。

(2)准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散性。

(3)周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有"离散性、谐波性和收敛性。

解：x(t)=sin2可涓的有效值(均方根值)：

1-3用触战雕三解翅时敏做展肘,辘归触胤.21)的魁,并作雕吼

解：周期三角波的时域数学描述如下：

而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故a=0。

因此，其三角函数展开式如下：

4a1

—y—sin(/?ft?or+^/2)

冗n=l"

我频谱如下图所示:

单边幅频谱单边相频谱

（2）复指数展开式

且指数及三角函数展开式之间为关系如下:

C>=a,=A)=

Q=(a)-jb..)/2

RC=a/2=1

(\=(a+曲)/24

IXs=-b,/22〃

^=arctg^=arctS(-^)

RCa

2

2n兀〃=1,3,5,…

实频谱2

sinn~7T

n2;r2

T0〃=2,4,6,…

ICf/2=0

，>71

25/25万

■7

虚频谱

双边幅频谱JIQI

■■

2

2

2

二71

9?2

25后

0“

双边相频谱

解：该三角形窗出数是一非周期困数，其时域数学描述如卜.:

4GO

W)=，

2。"斗

-V20T(/2

用傅里叶变换求频谱。

方法一，直接根据傅里叶变换定义来求。

方法二，根据傅里叶变换的频移特性来求.

单边指数衰减函数：

0r<0

/(，)=

La>0,t>0

其傅里叶变换为

/3)=「fVdt

J—8

"e-”・e"dt

00

-(tz+jco)0

根据频些性可求匕该指数衰减振荡函数的频谱如下:

(a+j①)

a-jco

a2+"2

F(①)

解：利用频移特性来求，具体忠路如下:

口"O)cos2心|

H彳，QI）X）/乜

；［户（/一九）+产（［+几）］

当fRf,时，频谱图会出现混段，如下图所示。

解:

XQ)=W(，)COS。()，

FT[w(l)cos。(/]

由于窗函数的频谱W(G)=2Tsinc(coT),所以

其频谱图如上图所示。

解:

第二章习题(P68)

解：6()cinSOT

=/?v(())=lim(—)sin(5()r)=lim300(X-------)=3000

解：r->0r->050f

/?v(r)=limx(t)x(t+r)dt

解：对于周刑信哮打用一阳期代替其整体，故有

若X(哽羯』韩武豳理)二;力

=小曲用『/"'•一.力

=­]7盒式+0)cos[(yQ+7)+(/)]dt

=%；-」

\-iir--2atoc

)ee0

2.4求指数衰减函数x(2)=e-®cos与2的频谱函数X(J\(a>0,£20)。并定性画出信号

和其频谱图形。

解：(1)求单边指数函数y[f)=e~a2(a>0,2NO)的傅里叶变换和频谱

(2)求余弦振荡信号z«)=cos©oE的频谱。

利用5函数的卷积特性，可求出信号x«)=y(£)z(z)的频谱为

其幅值频谱为|X(/)1=,1

游+(2加±.))2

CC

2.5一线性系统，其传递函数为H@=-----，当输入信号为i«）=XoSin2班2时,

l+7s

求：⑴号（/）：⑵与⑺；⑶S冷（/）：（4）勺S.

解：（D线性系统的输入、输出关系为:

已知x（Z）=x0sm2班3则

由此可得:

（2）求号（f）有两种方法。其一是利用S7（/）的傅立叶逆变换;

其二是先求出丁«）,再求%&），其三是直接利用公式%（r）二|9（/）『•&（'）求。

下面用第一种方法。

⑶由次（力=双/）可（力可得:

（4）立》（汇）可以由S0（丁）的傅立叶逆变换求得，也可以直接由x（E）、y（2）积分求得:

2.6己知限带白噪声的功率谱常度为

求其自相关函数

解：R式汇）可由功率谱密度函数的逆变换求得:

2.7对三个余弦信号局«）=COS2乃仑X2（E）=COS6?TE,叼⑥=COSIOTTE,分别做理想采样，采

样频率为/=4%,求三个采样输出序列，画出信号波形和采样点的位置并解释混迭现象。

解：（D求采样序列砥〃）

采样输出序列为：1,0.-1,0,1,0,-1,0,­•

采样输出序列为：1,0,-1,0,1,0,-1,0.-

米样输出序列为：1,0,-1,0,1,0,-L0,…

(2)由计算结果和采样脉冲图形可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，

产生r频率混迭，这个脉冲序列反映不出三个信号的频率特征。原因是对于心(2)和与⑥，Z不符合

采样定理。脉冲图见下图。

2.8.利用矩形窗函数求积分「snc?(t)d1的值。

解：

(1)根据Paseval定理，时域能量及频域能量相等，而时域sinC(6)对应于频域的矩形窗。

即

(2)

2.9什么是窗函数，描述窗函数的各项频域指标能说明什么问题？

解：

(D窗函数就是时域有限宽的信号。其在时域有限区间内有值，频谱延伸至无限频率。

(2)描述窗函数的领域指标主要有最大旁诳峰值及主城峰值之比、最大旁寤10倍频程衰减率、主繇宽度。

(3)主瀚宽度窄可以提高频率分辨力，小的旁瓣可以减少泄漏。

2.10什么是泄漏？为什么产生泄漏？窗函数为什么能减少泄漏？

解：

(D信号的能量在频率轴分布犷展的现象叫泄漏。

(2)由于窗函数的频谱是•个无限带宽的函数，即是x(t)是带限信号，在截断后也必然成为无限带宽的信号，

所以会产生泄漏现象。

(3)尽可能减小旁第幅度，使频谱集中于主版附近，可以减少泄漏。

2.11.什么是“栅栏效应”？如何减少“栅栏效应''的影响？

解：

(1)对一函数实行采样，实质就是“摘取”采样点上对应的函数值。其效果有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，

只有落在缝隙前的少城景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，称这种现象为栅栏效应。

(2)时域米样时满足米样定理要求，栅栏效应小会有什么影响。翔率米样时提高频率分辨力，减小频率为

样间隔可以减小栅栏效应。

2.12.数字信号处理的一股步骤是什么？有哪些问题值得注意？

答：

(1)数字信号处理的一般步骤如下图所示：

其中预处理包括

I)电压幅侑调理.以便话宜干采样：2)必要的淞波：3)隔离信号的自沛分寸：4)如原信号经过调制,则先讲

行解调。

(2)数字信号处理器或计算机对离散的时间序列进行运算处理。运算结果可以直接显示或打印。要注意以卜.•

些问题：要适当的选取采样间隔，采样间隔太小，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长，计算工作员迅速增

大：如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生较大的误差：若采样间隔大(采样频率低)，

则可能造成频率混叠，丢掉有用的信息：应视信号的具体情况和量化的精度要求适当选取A/D转换器；在数字信

号处理的过程中，要适当的选取窗函数，以减小截断误差的影响。

2.14频率混交是怎样产生的，有什么解决办法？

答：

(1)当采用过大的采样间隔T,忖两个不同频率的正弦波采样时，将会得到一组相同的采样值，造成无法辩识

两者的差别，将其中的高频信号误认为低频信号，于是就出现了所谓的混柱现象。

(2)为了避免频率混在，应使祓采样的模拟信号x(t)成为有限带宽的信号，同时应使采样频率f,大于带

限信号的最高频率fh的2倍。

2.15相关函数和相关系数有K么区别？相关分析有什么用途，举例说明。

答：

(I)通常，两个变最之间若存在若••对应关系，则称两者存在着函数关系，相关函数又分为自相关函数和互

相关函数。当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一个变埴数值的确定，另一变量却可能取许多不同的值，

但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变殳存在相关关系，对于变量X和Y之间的相关程度通常用相关系

数P来表示。

(2)在测试技术技术领域中，无论分析两个随机变量之间的关系，还是分析两个信号或一个信号在一定时移前

后的关系，都需要应用相关分析。例如在振动测试分析、雷达测距、声发射探伤等都用到相关分析。

3.I说明线性系统的频率保持性在测成中的作用。

答:

(1)线性系统的频率保持性，在测试工作中具有非常里要的作用。因为在实际测试中，测试得到的信号常常

会受到其他信号或噪声的干扰，这时农据频率保持特性可以认定测得信号中只有及输入信号相同的频率成分才是真

正由输入引起的输出。

(2)同样，在故障诊断中，根据测试信号的主要频率成分，在排除干扰的基础上，依据频率保持特性推出输

入信号也应包含该频率成分，通过寻我产生该频率成分的原因，就可以诊断出故障的原因。

解：

S=S6S=80nc/MP.X0.005V/ncX25nm/V=10mm/帜

△P=Ax/S=30inm/10(min/MP,)=3MP。

解：

S=S,S2=404XI0'Pc/PaXO.226mV/Pc=9.I3X10mV/Pa

lOxmnMPa

&=s/s产2.48XlOmV/Pc

404xl04Pc/Pa

解：F=2s,T=150s,6y=2n/T

3(川一0.9965X1UU=2U0.3bC

300+0.9965x100=399.65℃

故温度变化范用在200.35'3%.65'C.

解：T=15s,T=30/5=6s,3=2”/T

h高度处的实际温度t=t,「h*O.15/30

而在h高度处温度计所记录的温度t=A(6y)t=A(6y)(t[.-h*O.15/30)

由于在3000m高度温度计所记录的温度为一I'C,所以有

-1=AS(to-3000*0,15/30)

求得to=-0.75'C

当实际温度为t=-1C时，其真实高度可由下式求得：

t=to-h*O.15/30,h=(t0-t)/0005=(-0.75+1)/0.005=50m

解：

⑴11

则rvrwxiosJI+(5)2JI+(IOOX2一)

(2)

AA(G)=1-A(®)=1--1=1--/1<2.81%

_/(»,)=-arctgr?=-arctg(50^1硼碗力x1(T1#丑仇)附2〃x7.7ix!0-4)2

解：r=o.04s,ii

AA(o)=1-=1--=1--

⑴当f=0.5Hz时，，1+(0r)2，l+(2中

⑵当f=lHz时,

(3)当f=21lz时,

解：r=0.0025S

则粉雪四叉3性仁等i吟恩1-,1,<5%

相位差：J(»)=-arctgwr=-arctJ枯笆％0025M墟密2切尸

解：f.=800Hz,4=0.14,f=400a)/o)n=f/fn=400/800=0.5

3.10对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量M的数值为L5,同时测得其

周期为6.28s。设已知装置的静态增益为3,试求该装值的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解：（1）求解阻尼比、固有频率。

（2）求解传递函数。

传递函数为：将力n=1.008.(f=0128,K=3

将一=10128和K=3代，可得该装置在无阻尼固有频率处的频率响应

以

第四章习题（P127）

解：

由._AC_Q_纪°A

、=--=--=--;"

得Ab友苑

AC=-^2.A^=-1X8.85x10-'2x^x42x（±lx10-6）/0.32

笳第五章习题（P162）

解：⑴鞠赢'I。*（尸）=±4.94X1（T"PF）

（2）半桥双臂

半桥双臂是半桥单臂灵敏度的两倍。

AO|

解：均不能提高灵敏度，因为半桥双臂灵敏度S=/）/（——）=-«,.及供桥电压成正比，及桥臂上应变片

R2

数无关。

由已知：£(t)=Acos10/+Bcosl(X)r,w0=EsinKXXM)t

得全桥输出电压：

得电桥输入和输出信号的傅里升变换：

0电桥输出信号的频谱，可以看成是£（/）的频谱移动到土八处。

电桥输入及输出信号的频谱图如下图所示。

A/2

2B/2

-10010100

G)

1矶（3）

SEV4

SEB/4

-3。<*>0-1003o-103o+]03(,+100

-(<Jo+100)-(30+10)-(G>(1-10)-(w0-100)

wo=l0000一SEB/4

-SEA/4

本身题也可用三角函数的积化和差公式来计算:

由已知：£(t)=AcosIOf+Bcosl()()/,"o=Esin100()0/

得全桥输出电压：

AD

〃、=一〃o=Scuo=S球⑺sin10000/

R

=SE(AcoslOr+Bcosl00/)sin10000/

=SEAsin10000/cosIOr+SEBsin10000/cosl00;

=-SE4sin(10000-10)/+sin(100004-10)/]+-S£Blsin(10000-100)/+sin(10000+100)/]

22

sinacos/?=—[sin(a-y0)4-sin(tz+^)],cosacosP=~!"[cos@—/?)+cos@+夕)]

[注：22

cos(a±/?)=cosacos^+sinasin/?,sin(a±/7)=sinacos/?±cosasinB

解：调幅波中所包含的各分后的频率和幅值大小:

调制信号及调幅波的频谱分别如下图班不。

ReX(f)

100

1515

10

f10

t

tr

-1.5-0.5)0.51,5f(kHz)

ReU,(f)

5050

7.57.57.57.5

G5tt，5G5ttG5,

-11.5-10.5-10-9.5-8.508.59.51010.511.5

f(kHz)

解:

1)各环节输出信号的时域波形图如下:

2)各环节输出信号的频谱图

信号的调制：/

sin2%=J-眸(/+Z))-^(/-.A：)l

信号的解调：21]

x(r)sin17T//-sin2〃fy=—x(t)——x(0cos4^f()t

解：22

得电桥输出电压的傅里叶变换:

电桥输出信号的频谱，可以看成是△/?(1)的频谱移动到土。处。

电桥输入及输出信号的频谱图如下图所示。

Rc△/?(/)

o

ImU.(f)

1/16

i：~~~

fo+f

1______________________I

-►

-(fo+f)-(fo-f0f

-1/16----------------------------------------------:，

附注：常用公式

常用三角函数公式：

（1）傅里叶级数的三角函数展开：

<2）三角函数是正交函数

（3）欧拉公式

（4）傅里叶级数的复指数展开:

（5）第指数及三角函数展开式之间的关系如下：

1。=4二%

jcb

=arctg