2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+第四章　数列的通项公式与递推公式

第二课时数列的通项公式与递推公式[目标导航]课标要求1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法2.能根据数列的递推公式写出数列及求简单数列的通项公式3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项4.理解数列的前n项和Sn与an的关系,能根据Sn与an的关系求出数列的通项公式新知导学·素养启迪新知梳理1.递推公式如果一个数列的

或

的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了

和递推公式,就能求出数列的每一项了.相邻两项多项之间首项2.数列的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=

.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.3.an与Sn的关系a1+a2+…+an(1)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式,由递推公式可以依次求出数列的各项,但并不是所有的数列都有递推公式.(2)通项公式与递推公式的区别:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化,如数列1,3,5,…,2n-1,…的一个通项公式为an=2n-1(n∈N*),用递推公式表示为a1=1,an=an-1+2(n≥2,n∈N*).小试身手1.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=

.

19解析:由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1,则a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an=

.

2n-1课堂探究·素养培育数列的单调性及最值即时训练1-1:将本例中数列{an}的通项公式换为an=n2-7n-8.数列{an}中是否有最小项?若有,求出其最小项;若没有,请说明理由.由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.(1)采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1>an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1<an恒成立,则{an}是递减数列.递推公式及应用探究角度1由递推公式求数列的项D递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项;而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否有规律性.探究角度2由递推公式求数列的通项公式即时训练3-1:已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an(n∈N*),写出数列的前5项,猜想an并加以证明.解:由a1=2,an+1=3an,得a2=3a1=3×2,a3=3a2=3×3×2=32×2,a4=3a3=3×32×2=33×2,a5=3a4=3×33×2=34×2,…猜想:an=2×3n-1.由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式,即(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.an与Sn的关系[例4]

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=

.

即时训练4-1:若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,求数列的通项公式an.(1)已知Sn,求an的三个步骤①先利用a1=S1求出a1;③注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.(2)Sn与an关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解;②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.当堂即练·素养达成1.数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则数列{an}各项中最小项是(

)A.第4项 B.第5项C.第6项 D.第7项当堂即练B2.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6等于(

)A.7B.11C.16D.17C解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.故选C.递减课堂小结