2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+第五章+函数的单调性

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性[目标导航]课标要求1.理解导数与函数的单调性的关系2.掌握利用导数判断函数单调性的方法3.会用导数求函数的单调区间新知导学·素养启迪新知梳理1.函数的单调性与其导数正负的关系一般地,函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调

;在某个区间(a,b)内,如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调

.递增递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得

,这时函数的图象就比较“

”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得

,函数的图象就比较“

”.较快陡峭较慢平缓对函数的单调性与其导数正负关系的三点说明(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形类似).(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.(3)在区间(a,b)上f′(x)>0是函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增的充分不必要条件.小试身手2.函数y=x3-3x的递减区间是

.

(-1,1)解析:令y′=3x2-3<0,解得-1<x<1,所以函数y=x3-3x的递减区间是(-1,1).3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的单调递增区间为

;单调递减区间为

.

(-∞,0),(2,+∞)(0,2)解析:由题意可知x<0或x>2时,f′(x)>0,函数是增函数,x∈(0,2),f′(x)<0,函数是减函数.4.若函数f(x)=x-klnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是

.

(-∞,1]课堂探究·素养培育[例1]

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为(

)函数与导函数图象间的关系D解析:(1)由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选D.(2)已知f′(x)是f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是(

)D即时训练1-1:如果函数y=f(x)的图象如下图,那么导函数y=f′(x)的图象可能是(

)A解析:y=f(x)的单调变化情况为先增后减、再增再减,因此y=f′(x)的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零,四个选项只有A符合,故选A.研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.利用导数求函数的单调区间探究角度1求不含参数函数的单调区间[例2]

求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-2lnx;当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:(2)f(x)=x2·e-x;解:(2)函数的定义域为(-∞,+∞).f′(x)=(x2)′e-x+x2(e-x)′=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),令f′(x)=0,由于e-x>0,所以x1=0,x2=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘↗↘所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).x(-∞,-1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+∞)f′(x)+0--0+f(x)↗↘↘↗即时训练2-1:求下列函数的单调区间:(1)f(x)=2x3+3x2-36x+1;解:(1)f′(x)=6x2+6x-36.由f′(x)>0,得6x2+6x-36>0,解得x<-3或x>2,由f′(x)<0,解得-3<x<2.故f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)和(2,+∞),单调递减区间是(-3,2).(2)f(x)=sinx-x(0<x<π).解:(2)f′(x)=cos

x-1.因为0<x<π,所以cos

x-1<0恒成立,故函数f(x)的单调递减区间为(0,π).求不含参数函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数.(4)结合定义域写出单调区间.注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用逗号“,”隔开即可.探究角度2求含参数函数的单调区间即时训练3-1:已知函数f(x)=ax2ex-1(a≠0),求函数

f(x)的单调区间.解:f′(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),令f′(x)=0,则x=0或x=-2.①若a>0,当x<-2时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当-2<x<0时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;②若a<0,当x<-2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当-2<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(0,+∞),单调递减区间为(-2,0);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-2,0),单调递减区间为(-∞,-2)和(0,+∞).求含参数函数的单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)解方程f′(x)=0,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点.(4)结合定义域,画数轴、标根.(5)判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间.注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解.已知函数的单调性求参数的范围[例4]

已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数,求实数a的取值范围.解:由已知得f′(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.即时训练4-1:若函数f(x)=x3-ax-1的单调减区间为(-1,1),求a的值.解:由f′(x)=3x2-a,①当a≤0时,f′(x)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.即时训练4-2:若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.即时训练4-3:若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求a的取值范围.(1)函数f(x)在(a,b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.(2)已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法①利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,区间(a,b)是相应单调区间的子集;②利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.f(x)与f′(x)共存问题导数问题中,若出现f(x)与f′(x)共存问题,一般要利用导数的求导法则构造函数,然后利用函数的单调性求解.[典例]

(1)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(

)A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)A因为f(x)是奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0,所以g(1)=f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又因为f(x)是奇函数,所以当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上,x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选A.(2)已知f(x)在R上可导,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则有(

)A.e2024f(-2024)<f(0),f(2024)>e2024f(0)B.e2024f(-2024)<f(0),f(2024)<e2024f(0)C.e2024f(-2024)>f(0),f(2024)>e2024f(0)D.e2024f(-2024)>f(0),f(2024)<e2024f(0)D(3)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为

.

(-∞,-3)∪(0,3)解析:(3)借助导数的运算法则,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0,所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).导数中的常见构造函数技巧(1)对于不等式f′(x)±g′(x)>0(或<0),构造函数

F(x)=f(x)±g(x).特别地,对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-kx.即时训练:(1)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,则下列不等式在R上恒成立的是(

)A.f(x)>0 B.f(x)<0C.f(x)>x D.f(x)<xA(2,+∞)(0,10)当堂即练·素养达成1.函数f(x)=xex+1的单调递减区间是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞)