2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册+课件第三章+抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质[目标导航]课标要求1.掌握抛物线的几何性质2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题新知导学·素养启迪新知梳理抛物线的简单几何性质类型y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形性质范围对称轴顶点离心率开口方向x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0x轴y轴O(0,0)e=1向右向左向上向下(1)抛物线只有一条对称轴,一个顶点,一个焦点,一条准线.无对称中心,无渐近线.标准方程只有一个参数,不同于椭圆、双曲线.(2)p的几何意义:焦点到准线的距离.它的大小,影响抛物线开口大小.小试身手1.抛物线y2=4x上一点P到该抛物线的焦点距离是10,则P点的横坐标为

.92.已知直线l:2x-y-1=0与抛物线x2=-4y

交于A,B两点,则|AB|=

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20164.已知抛物线y2=2px的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|MN|=2|NF|,则∠NMF=

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课堂探究·素养培育抛物线方程及其几何性质[例1]

已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.即时训练1-1:已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法,先“定形”,再“定量”.但要注意充分运用抛物线定义,并结合图形,必要时还要进行分类讨论.直线与抛物线的位置关系[例2]

直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点.当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程:Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k,①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交;②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点.(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点.(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.即时训练2-1:已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n.直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.①若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有交点.②若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.考查角度一焦点弦问题[例3]已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点.求证:直线与抛物线的相交弦问题(2)|AB|=x1+x2+p.变式训练3-3:在本例条件下,若M是AB的中点,过点A,B,M向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,B1,M1.试证:(1)以AB为直径的圆与准线l相切.(2)∠AM1B=90°.证明:(2)由(1)知,以AB为直径的圆与准线l相切于点M1,则∠AM1B=90°.(3)∠A1FB1=90°.证明:(3)如图.因为|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1,∠BB1F=∠BFB1.又AA1∥x轴,BB1∥x轴,所以∠AA1F=∠A1FO,∠BB1F=∠B1FO.所以∠AFA1=∠A1FO,∠BFB1=∠B1FO.所以∠A1FO+∠B1FO=90°,即∠A1FB1=90°.解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时,一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用,简化运算.考查角度二相交弦问题[例4]已知F为抛物线C:y2=2px的焦点,点A(2,m)在抛物线C上,且|AF|=4.(1)求抛物线C的方程.(2)过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P,Q两点,求△APQ的面积.即时训练4-1:如图,已知抛物线C:y2=4x,A(1,2),B(m,0),其中m>0,过B的直线l交抛物线C于M,N.(1)当m=5,且直线l垂直于x轴时,求证:△AMN为直角三角形;(1)求抛物线弦长问题的方法①一般弦长公式②焦点弦长设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点.当堂即练·素养达成1.直线y=2与抛物线y2=8x的公共点的个数为(

)A.0个

B.1个

C.2个

D.无数个当堂即练B解析:直线y=2与抛物线y2=8x的对称轴平行,故直线与抛物线只有一个公共点.故选B.2.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的最短弦长为4,则该抛物线的焦点坐标为(

)A.(1,0)

B.(2,0)

C.(0,1)

D.(0,2)解析:因为过抛物线焦点的最短弦长即为抛物线的通径,所以2p=4,p=2,抛物线方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为(1,0).故选A.A3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(

)A.(6,+∞) B.[6,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)D4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),过点A作准线l的垂线,垂足为M,则△AFM的面积为

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5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且|FA|=4,则|AB|=

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1.由抛物线性质求抛物线方程时,一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线动点的规律,