2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册+课件第三章+分段函数

第2课时分段函数知识探究·素养启迪知识探究分段函数实例某市出租车按下列规则计价:(1)3km以内,费用为10元;(2)3km(含)以上,每千米按2元计费(不足1km的按1km计算).(3)超出(含)15km以上的,每千米按3元计费(不足1km的按1km计算).[问题1-1]出租车的行程x(km)与票价y(元)有函数关系吗?提示:有函数关系.[问题1-2]函数的表达式是什么?[问题1-3]x与y之间有何特点?提示:x在不同区间内取值时,与y对应的关系不同.梳理分段函数如果函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系,就称这样的函数为分段函数.小试身手B解析:因为f(2π)=-1,所以f[f(2π)]=f(-1)=π.故选B.2.若函数f(x)=|x|,则函数f(x)的图象是(

)C3.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为

,值域为

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解析:函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合.[-2,4]∪[5,8][-4,3]4.若函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式为

.

课堂探究·素养培育分段函数求值(2)若f(a)=6,求a的值.解:(2)由于x∈[-1,1]时,f(x)=2≠6,故a∉[-1,1].若a∈(-∞,-1),则-2a=6,得a=-3,符合题意;若a∈(1,+∞),则2a=6,得a=3,符合题意;所以a的值为-3或3.解析:(1)当a<1时,-a=1,a=-1,成立.当a≥1时,(a-1)2=1,解得a=2.综上,a的值为2或-1.故选B.B9(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.分段函数的图象解:(1)根据函数的定义域,描出关键点(-1,2),(0,3),(2,-1),(5,2),图象如图所示.(2)根据函数的图象直接写出函数f(x)的值域和方程f(x)=2的解集.解:(2)函数f(x)的值域为(-1,3],f(x)=2的解集为{-1,1,5}.解:(1)作出f(x)的图象,如图所示.(2)求f(x)的定义域和值域.解:(2)观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1].画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示;若端点不包含在内,则用空心圈表示,应按分段分别作出其图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可,即“整段作图分段取”.探究角度2根据函数图象写函数解析式[例3]如图,函数f(x)的图象为折线ACB,求函数的解析式.即时训练3-1:已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是

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解析:设线段AB所在直线的方程为y=k1x+b1,则由线段过点A(-1,0),B(0,1)知y=x+1;线段OC过原点与(1,-1),故方程为y=-x.根据分段函数的图象求分段函数解析式时,应根据各段图象的特征,结合待定系数法求函数解析式的方法求出各段的解析式;最后用分段函数形式写出,要注意各段端点的“含”与“不含”.分段函数的应用探究角度1涉及分段函数的不等式的解法解:由题意知,f(1)=3.当x≥0时,原不等式可化为x2-4x+3>0,解得0≤x<1或x>3;当x<0时,原不等式可化为x+4>3,所以-1<x<0.综上,f(x)>f(1)的解集为(-1,1)∪(3,+∞).解析:当a≤-2时,f(a)=a<-3,此时a的取值范围是(-∞,-3);当-2<a<4时,f(a)=a+1<-3,此时无解;当a≥4时,f(a)=3a<-3,此时无解.综上,a的取值范围是(-∞,-3).(-∞,-3)求解与分段函数有关的不等式,应在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将解集与每段的定义域取交集,最后将各交集“并”起来.探究角度2分段函数的实际应用[例5]某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.即时训练5-1:一个质点沿直线运动.质点由静止匀加速Ts后速度达到8m/s;然后质点以恒定速度8m/s运动了5Ts;之后质点在40s内匀减速到完全停下.(1)画出质点运动的速度-时间图象;(2)已知质点总共运动的位移是600m,求T的值;(3)画出质点运动的加速度-时间图象.关键是认真审题,弄清自变量取不同范围内的值时,函数对应关系有什么不同.找准分段点,逐段确定对应关系.C解析:当x≤0时,f(x)=x2+1=10,得x=-3或x=3(舍去);当x>0时,f(x)=-2x=10,得x=-5(舍去),综上所述,x=-3.故选C.C解析:当x>0时,f(x)=1;当x<0时,f(x)=-1.故选C.3.若函数y=f(x)的图象如