第11讲 相似多边形与相似三角形的判定-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（解析版）

第11讲相似多边形与相似三角形的判定【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.3、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；4、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【基础知识】一．相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．二．相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．三．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【考点剖析】一．相似图形（共4小题）1．（2021秋•漳州期末）下列说法正确的是（）A．任意两个菱形都相似 B．任意两个正方形都相似 C．任意两个等腰三角形都相似 D．任意两个矩形都相似【分析】根据相似图形的判定和菱形、矩形、等腰三角形和等腰直角三角形的性质逐一判断即可得．【解答】解：A．任意两个菱形不一定相似，此选项不符合题意；B．任意的两个正方形形一定相似，此选项符合题意；C．任意两个等腰三角形不一定相似，此选项不符合题意；D．任意的两个矩形不一定相似，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的概念和菱形、矩形、等腰三角形和等腰直角三角形的性质．2．（2021秋•汨罗市期中）用同一张底片洗出的两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图象的相似比是1：3．【分析】利用相似图形的性质得出相似比即可．【解答】解：∵用同一张底片洗出的两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，∴这两张照片上的图象的相似比是：2：6＝1：3．故答案为：1：3．【点评】此题主要考查了相似图形的性质，得出对应边的比是解题关键．3．（2020秋•邵东市期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是②③⑤．【分析】直接利用相似图形的定义得出答案．【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例；⑤所有的圆都相似，正确．故答案为：②③⑤．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的定义是解题关键．4．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．【分析】如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值；如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案．【解答】解：如图1中，∵△ABC∽△A′B′C′，∴，α＝40°，∴x＝9；如图2中，∵∠D＝180°﹣65°﹣70°＝45°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴α＝∠D＝45°．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，对应角相等定理的应用是解此题的关键．二．相似多边形的性质（共3小题）5．（2021秋•旬邑县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）∠B＝69°．（2）求边x，y的长度．【分析】直接利用相似多边形的性质即可得到答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴∠C＝∠C'＝135°，∴∠B＝360°﹣60°﹣96°﹣135°＝69°，故答案为69°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，，解得x＝4，y＝18．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．6．（2020春•海淀区校级期末）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方列方程，解方程得到答案．【解答】解：设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，∴两个相似多边形的相似比为2：3，∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，∴＝，＝，解得，x＝16，y＝12，经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，答：较小多边形的周长为16cm，面积为12cm2．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2020•余干县模拟）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．【分析】内外矩形的对应角相等，所以当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可．【解答】解：当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．解得x＝1.2答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．【点评】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．三．相似三角形的判定（共7小题）8．（2022•未央区校级开学）如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由．【分析】不妨设正方形的边长为x，由条件可求得AE＝x，AF＝x，AC＝，且EF＝x，EC＝2x，则可得到＝＝＝，可判定△AEF∽△CEA．【解答】解：△AEF∽△CEA，相似比为，理由如下：设正方形的边长为x，由勾股定理可求得AE＝x，AF＝x，AC＝，且EF＝x，EC＝2x，∴＝＝＝，∴△AEF∽△CEA，且相似比为．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形判定的方法是解题的关键．9．（2021秋•东昌府区校级月考）已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且＝，求证：△ABC∽△A′B′C′．【分析】先根据题意得出∠ADC＝∠A′D′C′＝90°，再由＝得出△ADC∽△A'D'C'，故可得出∠A＝∠A′，再由∠C＝∠C'＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°，∵＝，∴△ADC∽△A'D'C'，∴∠A＝∠A′，∵∠C＝∠C'＝90°，∴△ABC∽△A'B'C'．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10．（2020秋•耒阳市期末）如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．【分析】由已知条件得到：∠BAC＝∠DAE，＝．则由“两边及夹角法”证得结论．【解答】证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，∴＝．又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．11．（2021秋•武功县期中）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【解答】证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，∴＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．12．（2020秋•金川区期末）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．【分析】利用相似三角形的判定解答即可【解答】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴．∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定；熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．13．（2020•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．【分析】根据相似三角形的判定方法即可求出答案．【解答】解：设AB＝4k，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4k，∠A＝∠D＝90°∴DF＝k，AE＝ED＝2k，∴＝＝，∴△ABE∽△DEF．【点评】本题考查相似三角形的判定以及正方形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．14．（2020•余干县模拟）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．【分析】直接利用相似三角的判定方法，两角对应相等的三角形相似进而得出答案．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．【点评】此题主要考查了相似三角的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•准格尔旗期末）如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（）A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可做出判断．【解答】解：由图可得：∠A＝∠A，∴当或∠ADC＝∠ACB或∠ACD＝∠B时，△ACD与△ABC相似，也可以；A选项中角A不是成比例的两边的夹角．故选：A．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形判定条件是解决问题的关键．2．（2022春•钦北区校级月考）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（）A．3对 B．4对 C．6对 D．8对【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，利用三角形内角和得到∠3＝∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠3＝∠5，于是可判断△ABD∽△AEC．【解答】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，即△ABC∽△ADE，∴∠3＝∠4，∴△AFE∽△DFC；∴AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC；∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，∴∠3＝∠5，∴△ABD∽△AEC．∴图中共有4对相似三角形．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．3．（2021秋•莲池区期末）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．A．因为＝＝，对应边＝＝，≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B．因为＝＝，对应边＝＝，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；C．因为＝，对应边＝＝，即：≠．故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、因为＝，对应边＝＝，≠．故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．4．（2021秋•滦州市期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．5．（2021秋•三明期末）下列各组图形中，不一定相似的是（）A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形【分析】对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A．所有的等腰直角三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；B．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；C．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；D．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．6．（2021秋•赞皇县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3，∴甲和丙相似，故选：A．【点评】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例．二．填空题（共7小题）7．（2021秋•雁塔区校级期中）已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，其中四边形ABCD的周长为18cm，则四边形A′B′C′D′的周长为24cm．【分析】根据周长之比等于相似比，四边形A′B′C′D′的周长为15cm即可求出答案．【解答】解：∵已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，∴四边形ABCD的周长为18×＝24cm．故答案为24．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．8．（2021秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长2.8或1或6．【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP的长．【解答】解：分两种情况：①如果△PAD∽△PBC，则PA：PB＝AD：BC＝2：3，又PA+PB＝AB＝7，∴AP＝7×2÷5＝2.8；②如果△PAD∽△CBP，则PA：BC＝AD：BP，即PA•PB＝2×3＝6，又∵PA+PB＝AB＝7，∴PA、PB是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的两根，解得x1＝1，x2＝6，∴AP＝1或6．综上，可知AP＝2.8或1或6．故答案为2.8或1或6．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．（2021秋•金塔县期末）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝2cm或4.5cm时，△ABC与△DEF相似．【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE两种情况进行讨论．【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，∴当△ABC∽△DEF时，＝，即＝，解得：DF＝2；当△ABC∽△DFE时，＝，即＝，解得：DF＝4.5．综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似．故答案为：2cm或4.5cm．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．10．（2021秋•船营区校级期末）已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或条件（只添一种即可）．【分析】已知两对边对应成比例，要想使两三角形相似，可以添加该对边的夹角相等，也可再添加其中一对边与另一对边对应成比例．【解答】解：∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或．【点评】这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性的题，答案不唯一．11．（2021秋•永年区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为3或3时，△ACB与△ADC相似．【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可．【解答】解：∵AD＝2，CD＝，∴AC＝＝．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．故答案为：3或3．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．12．（2021秋•秦淮区期末）将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比是：1．【分析】设AE＝ED＝a，AB＝b，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知，再由a，b均为正数可知b＝a，由此即可得出结论．【解答】解：设AE＝ED＝a，AB＝b，∵每一个小长方形与原长方形相似，∴，∴b2＝2a2，∵a，b均为正数，∴b＝a，∴＝＝＝，∴原长方形的长与宽之比为：1．故答案为：：1．【点评】本题考查的相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比叫做相似比．13．（2022•通州区一模）如图，在△ABC中，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是∠ACD＝∠B（写出一个即可）．【分析】利用相似三角形的判定方法可求解．【解答】解：添加的条件为：∠ACD＝∠B，理由如下：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故答案为：∠ACD＝∠B．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．三．解答题（共7小题）14．（2021秋•东港区校级期末）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD＝∠CAE．（1）请你写一个适当的条件，使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是∠ADC＝∠ABC或∠AED＝∠ACB，并选择其中之一证明．（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由．【分析】（1）利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可；（2）利用相似三角形的性质得出＝，进而求出即可．【解答】解：（1）使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是：∠ADC＝∠ABC或∠AED＝∠ACB，理由：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠CAE，即∠DAE＝∠CAB，又∵∠ADC＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADC＝∠ABC或∠AED＝∠ACB；（2）△ABD∽△ACE．理由：∵△ADE∽△ABC，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE，∴＝，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．15．（2020春•肇源县期末）如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．【分析】由在△ABC和△ADE中，＝＝，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD＝∠CAE，又由＝，即可证得：△ABD∽△ACE．【解答】证明：∵在△ABC和△ADE中，＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2021秋•六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1．【分析】根据四边形的内角和等于360°求出∠D，再根据相似多边形的对应角相等可得∠D1＝∠D，再根据相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C＝125°，∠A＝80°，∠B＝75°，∴∠D＝360°﹣125°﹣80°﹣75°＝80°，∵两个四边形相似，∴∠D1＝∠D＝80°，，解得x＝10．【点评】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应角相等，对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．17．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EF的长度x．【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可