广东省河源市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

广东省河源市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如果a>b，那么下列各式中正确的是（）A．a−3<b−3 B．12a<12b 3．△ABC的三边长分别为a，b，A．a=5，b=6，C．a=6，b=8，4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角 B．等角对等边C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”5．不等式2x+1<x的解集在数轴上可以表示为（）A． B．C． D．6．下列命题是真命题的是（）A．有一个角是60°的三角形是等边三角形B．若a>b，则aC．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上D．三角形的一个外角大于任何一个内角7．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点8．在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF=5，BC=9，则点F到AB的距离为（）A．3 B．4 C．4.5 D．59．某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（）A．5x−330−x>80 C．5x−3x≥80 D．5x−310．如图，在△ABC中，∠B=37°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE=（）A．84° B．80° C．77° D．74°二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．“x的2倍减去y的3倍的差是负数”，用不等式表示：．12．已知点A1,−3先向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标为13．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是.14．如果关于x的不等式2x−3a<−2的解集与2x<4的解集相同，则a=．15．如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，AB>AC，∠DAB=∠CAE=50∘，连接BE，CD交于点F，连接AF．下列结论：①BE=CD；②∠EFC=50∘；③AF平分∠DFE；④点A到DC和三、解答题：本大题共8小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题8分，第19－21题各9分，第22、23题各12分，共75分．16．解不等式（组）（1）2x−1（2）3x−3<1+2x2x≥17．某市计划在张村，李村之间建一个活动中心P，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心P点必须满足下列条件：①P点到两条公路的距离相等，②P点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定P点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B（2）画出△A1B1C（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A19．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．（1）如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长．（2）若∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数．20．某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示：类型进价（元/台）售价（元/台）甲23002800乙33004000（1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台；（2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润．21．如图，已知直线y1=x+a经过点A−6,0，直线y2=−2x+b（1）根据图像，直接写出当x+a<−2x+b时，x的取值范围是______．（2）求a和b的值；（3）若点P在直线AB上，且S△ADP22．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x−6=0的解为x=3，不等式组x−1>0x<4的解集为1<x<4．因为1<3<4，所以称方程2x−6=0为不等式组x−1>0（1）在方程①3x−2=0，②25x+1=0，③x−3x+1（2）若不等式组x−1（3）若方程2x−1=x+2，x+3=2x+12都是关于x的不等式组x<2x−m23．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含30°的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．已知：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，AC=AE=2，∠B=∠D=30°．【初识图形】如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的边AB上时，连接CE、BD．则CE长为___________，BD长为___________．【深度探析】如图3，在△ADE绕点A旋转过程中，当AD∥BC时，连接BD、CE，延长CE交BD于点F．（1）∠BCF的度数为___________，∠DEF的度数为___________；（2）求证：点F为线段BD的中点．【拓展探究】在△ADE绕点A旋转过程中，试探究B、D、E二点能否构成以DE为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故答案为：D．

【分析】

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可．2．【答案】D【知识点】不等式的性质【解析】【解答】解：∵a>b，∴a−3>b−3，12a>1∴A，B，C不符合题意；∵a>b，∴−2a<−2b，D符合题意；故选：D．【分析】本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题关键．

不等式的基本性质1：两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质判断即可得出答案．3．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、∵a=5，∴a2∴a2又∵a<b<c，∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；B、∵∠B+∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵a=6，∴a2又∵a<b<c，∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵c2∴a2∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A．【分析】判断直角三角形的方法：若三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形就是直角三角形，用这个结论判断选项A、C、D，再结合三角形内角和定理判断选项B即可.4．【答案】D【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵BD=CD，∴AD⊥BC，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故答案为：D【分析】根据等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，再根据其性质即可求出答案.5．【答案】D【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集【解析】【解答】解：2x+1<x，x+1<0，x<−1，数轴表示不等式的解集如下：，故选：D；【分析】解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可.6．【答案】C【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；真命题与假命题；不等式的性质【解析】【解答】解：A．有一个角是60度的等腰三角形才是等边三角形，故A是假命题；B．取a=1，b=−2，满足a>b，但a2C．该选项是角平分线的判定定理，表述正确，故C是真命题；D．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于该钝角，故D是假命题．

故答案为：C

【分析】根据等边三角形判定、不等式性质、角平分线判定定理、三角形外角性质逐项进行判断即可求出答案.7．【答案】C【知识点】角平分线的性质【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．故选：C．【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.8．【答案】B【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线【解析】【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图，∵BF=5，BC=9，∴FC=BC−BF=4，由作图痕迹得AM平分∠BAC，∵FC⊥AC，FH⊥AB，∴FH=FC=4，即点F到AB的距离为4．故选：B．【分析】过F点作FH⊥AB于H点，根据边之间的关系可得FC，再根据角平分线性质即可求出答案.9．【答案】D【知识点】列一元一次不等式【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共30−x道，由题意可得：5x−330−x故答案为：D．【分析】设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.10．【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，∠B=37°，∴∠ADE=∠B=37°，AD=AB，∴∠ADB=∠B=37°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=37°+37°=74°，故选D．【分析】根据旋转性质可得∠ADE=∠B=37°，AD=AB，根据等边对等角可得∠ADB=∠B=37°，再根据角之间的关系即可求出答案.11．【答案】2x−3y<0【知识点】列一元一次不等式【解析】【解答】解：由题意可得，x的2倍为2x，y的3倍为3y，二者的差是负数，负数小于0，因此列出不等式为2x−3y<0．

故答案为：2x−3y<0【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.12．【答案】(3,1)【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征【解析】【解答】解：将点A1,−3向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点B∴点B的坐标为1+2,−3+4，即3,1．

故答案为：(3,1)【分析】根据点的平移即可求出答案.13．【答案】10【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n−2)×180°，依题意得：(n−2)×180°=360°×4，解得：n=10，∴这个多边形的边数是10.故答案为：10.【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.14．【答案】2【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题【解析】【解答】解：2x−3a<−2，解得x<3a−22x<4，解得x<2，∵关于x的不等式2x−3a<−2的解集与2x<4的解集相同，∴3a−22解得a=2，故答案为：2．

【分析】先分别解一元一次不等式得到x<3a−22，x<2，再根据不等式的解集相同可得15．【答案】4【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型【解析】【解答】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△ADC和△ABE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABESAS∴BE=CD，故①正确；∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE，∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∵∠DAB=50°，∴∠ADB+∠ABD=180°−50°=130°，∵∠EFD=∠FDB+∠FBD=∠FDB+∠ABD+∠ABE=∠FDB+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=130°，∴∠EFC=180°−∠EFD=50°，故②正确；④过点A作AP⊥CD于点P，AQ⊥BE于点Q，如图，∵△ADC≌△ABE，∴S△ADC=∴1∴AP=AQ，∴点A到DC和BE的距离相等，故④正确；③∵AP=AQ，AP⊥CD，AQ⊥BE∴点A在∠PFE的平分线上，∴FA平分∠DFE，故③正确．综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，故答案为：4．【分析】利用SAS证明△ADC≌△ABE，可判断①；

根据△ADC≌△ABE可得∠ADC=∠ABE，利用三角形内角和及三角形外角的性质可求得∠EFC的度数，从而可判断②；

根据△ADC≌△ABE，可得S△ADC=S△ABE，DC=BE，再根据面积相等可得AP=AQ，即点A到DC和BE的距离相等，故可判断④；

根据④可得，点A在16．【答案】（1）解：2x−12x−2−x≤2x+1，2x−x−2x≤1+2，−x≤3，x≥−3．（2）解：3x−3<1+2x①解不等式①可得：x<4，解不等式②可得：x≥−1，所以该不等式组的解集为−1≤x<4．解集作数轴上表示为：​​​​​​​【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组【解析】【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出答案.（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可求出答案.（1）解：2x−12x−2−x≤2x+1，2x−x−2x≤1+2，−x≤3，x≥−3．（2）解：3x−3<1+2x①解不等式①可得：x<4，解不等式②可得：x≥−1，所以该不等式组的解集为−1≤x<4．解集作数轴上表示为：17．【答案】解：如图，点P即为所求．【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线【解析】【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质分析（作线段CD的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT，交EF于点𝑃，点𝑃即为所求）即可.18．【答案】（1）解：如图1，△A（2）解：如图2，△A（3）−2,0【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称【解析】【解答】（3）解：如图3，根据图形可知：旋转中心的坐标为：−2,0，故答案为：−2,0．【分析】（1）根据平移性质做做图即可.

（2）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.

（3）根据旋转性质即可求出答案.19．【答案】（1）解：∵BC边的垂直平分线交AC边于点D，

∴DC=BD，CE=EB=12BC，

∵EC=4，

∴BE=4，

∴BC=8，

∵△BDC的周长为18，

∴BD+DC+BC=18，（2）解：∵∠ADM=60°，

∴∠CDN=60°，

∵BC边的垂直平分线交AC边于点D，

∴∠DEC=90°，

∴∠C=30°，

又∵BD=CD，

∴∠DBC=∠C=30°，

∵∠ABD=20°，

∴∠ABC=50°，

∴∠A=180°−∠C−∠ABC=100°．【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，CE=EB=1（2）由对顶角相等的性质得∠CDN=60°，根据垂直的定义得到∠DEC=90°，由（1）知DC=BD，从而根据等腰三角形“等边对等角”的性质得∠DBC=∠C=30°，进而得∠ABC=50°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可.（1）解：∵MN垂直平分BC，∴DC=BD，CE=EB=1又∵EC=4，∴BE=4，∴BC=8，又∵△BDC的周长为18，∴BD+DC+BC=18，∴BD=5．（2）解：∵∠ADM=60°，∴∠CDN=60°．又∵MN垂直平分BC，∴∠DEC=90°，∴∠C=30°．又∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=30°，∵∠ABD=20°，∴∠ABC=50°，∴∠A=180°−∠C−∠ABC=100°．20．【答案】（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．根据题意，得x+y=502300x+3300y=130000解得x=35y=15答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．（2）解：设购进甲空调m台，则购进乙空调50−m台．根据题意，得m≥1050−m≥10解得10≤m≤40．设获得的总利润为W元，则

W=2800−2300∵−200<0，∴W随m的减小而增大，∵10≤m≤40，∴当m=10时，W的值最大，W最大50−10=40（台）．答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）设购进甲空调x台，购进乙空调y台，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调50−m台，根据题意，列出不等式组，求出m的取值范围，设获得的总利润为W元，列出一次函数解析式，结合一次函数的性质即可求出答案.（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．根据题意，得x+y=502300x+3300y=130000解得x=35y=15答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调50−m台．根据题意，得m≥1050−m≥10解得10≤m≤40．设获得的总利润为W元，则W=2800−2300∵−200<0，∴W随m的减小而增大，∵10≤m≤40，∴当m=10时，W的值最大，W最大50−10=40（台）．答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．21．【答案】（1）x<−3（2）解：将点A−6,0代入可得：0=−6+a，解得：a=6∴y1∵点M的横坐标为−3，∴点M的纵坐标为−3+6=3，即M−3,3将点M−3,3的坐标代入y2=−2x+b得3=−2×（3）解：设Pm,m+6由（2）可得y把y=0代入y=−2x−3得，x=−3∴D−∴S△ADM∴S△ADP=12×∴P6,12或P【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】（1）解：由图像可知，当x<−3时，y1=x+a在∴当x+a<−2x+b时，x的取值范围是x<−3．故答案为：x<−3【分析】（1）当直线y1=x+a的图象在直线y2=−2x+b下方时，有x+a<−2x+b，结合函数图象即可求出答案.

（2）根据待定系数法将点A坐标代入直线y1=x+a可得y1=x+6，再将x=-3代入解析式可得M−3,3（1）解：由图像可知，当x<−3时，y1=x+a在∴当x+a<−2x+b时，x的取值范围是x<−3．（2）解：将点A−6,0代入y1=x+a可得：0=−6+a∴y1∵点M的横坐标为−3，∴点M的纵坐标为−3+6=3，即M−3,3将点M−3,3的坐标代入y2=−2x+b得3=−2×（3）解：设Pm,m+6由（2）可得y把y=0代入y=−2x−3得，x=−3∴D−∴S△ADM∴S△ADP=12×∴P6,12或P22．【答案】（1）①③（2）x−1=0（3）解：x<2x−m①解不等式①，得x>m，解不等式②，得x≤m+2，∴原不等式组的解集为m<x≤m+2，解方程2x−1=x+2，得x=3，解方程x+3=2x+12∵方程2x−1=x+2和方程x+3=2x+∴x=3和x=2都在m<x≤m+2的范围内，∴m<2≤m+2m<3≤m+2，解得0≤m<2∴1≤m<2，∴m的取值范围是1≤m<2．【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组【解析】【解答】（1）解：解方程①3x−2=0得：x=2解方程②25x+1=0得：解方程③x−3x+1=−5得：解不等式组2x+3>3x−1−4x−3<x+2得：−1<x<4∵上述3个方程的解中x=23和x=2都在∴不等式组2x+3>3x−1−4x−3<x+2的关联方程是方程①③故答案为①③．（2）解：解不等式组x−12<1∵原不等式组的关联方程的解为整数，∴解为x=1的一元一次方程都是原不等式组的关联方程，如x−1=0，故答案为：x−1=0（答案不唯一）．【分析】（1）解出三个方程的解，再求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可求出答案.

（2）解不等式组，再根据关联方程的定义建立方程即可求出答案.

（3）解不等式组，解两个方程的解，再根据关联方程的定义建立不等式组，解不等式组即可求出答案.（1）解：解方程①3x−2=0得：x=2解方程②25x+1=0得：解方程③x−3x+1=−5得：解不等式组2x+3>3x−1−4x−3<x+2得：−1<x<4∵上述3个方程的解中x=23和x=2都在∴不等式组2x+3>3x−1−4x−3<x+2的关联方程是方程①③故答案为①③．（2）解：解不等式组x−12<1∵原不等式组的关联方程的解为整数，∴解为x=1的一元一次方程都是原不等式组的关联方程，如x−1=0，故答案为：x−1=0（答案不唯一）．（3）解：x<2x−m①解不等式①，得x>m，解不等式②，得x≤m+2，∴原不等式组的解集为m<x≤m+2，解方程2x−1=x+2，得x=3，解方程x+3=2x+12∵方程2x−1=x+2和方程x+3=2x+∴x=3和x=2都在m<x≤m+2的范围内，∴m<2≤m+2m<3≤m+2，解得0≤m<2∴1≤m<2，∴m的取值范围是1≤m<2．23．【答案】初识图形：2，4，深度探析：（1）15°，15°；（2）证明：延长CF、AD相交于点H，如图所示：∵AH∥BC，∠BCF=15°，∴∠DHF=∠BCF=15°，∵∠DEF=15°，∴∠DEF=∠DHF，∴DH=DE，∵DE=BC，∴DH=BC，∵∠DFH=∠BFC，∴△DFH≌△BFC，∴DF=BF，∴点F为线段BD的中点．拓展探究：BE=2或BE=6或BE=2【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质【解析】【解答】解：初识图形：连接BD，CE，如图所示：∵在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，AC=AE=2，∠ABC