小学数学三年级下册 除数是一位数的除法 笔算除法（一）知识清单

小学数学三年级下册除数是一位数的除法笔算除法（一）知识清单一、核心概念建构：从“分物”到“竖式”的数学建模【基础】【核心素养】本课是整数除法从口算进阶到笔算的关键起点，其核心在于理解“为什么要从高位除起”以及“商的每一个数字是如何被确定的”。这不仅是技能的学习，更是数学建模思想的启蒙。我们将通过“分小棒”这一直观操作，建立与抽象竖式的一一对应关系，从而深刻理解笔算除法的算理。本质上，笔算除法是对“被除数”进行层层分解的过程：先将整十部分进行分配，剩余的部分再与个位合并，进行第二次分配。这种“先分整十，再分剩余”的逻辑，正是除法竖式每一步运算的现实依据。掌握本课内容，将为后续学习一位数除三位数乃至多位数除法奠定坚实的基础。二、教材与课标定位：承上启下的关键节点【重要】【课标要求】本课对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段“数与代数”领域的具体要求。在知识体系上，它承接了二年级下册的表内除法（用乘法口诀求商）和三年级上册的口算除法（如60÷3），同时也为本单元后续学习一位数除三位数（如256÷6）以及商的中间或末尾有0的除法做好铺垫。课标不仅要求掌握“如何算”的算法技能，更强调理解“为什么这样算”的算理，能够用数学语言表达计算过程，并在解决实际问题的过程中发展运算能力和推理意识。三、教材例1深度剖析：首位能整除（42÷2）【高频考点】【方法指导】（一）情境导入与问题提出教材通过“三年级平均每班种多少棵树？”这一贴近学生生活的实际问题，引出算式42÷2。这个问题的设计意图在于让学生体会除法在生活中的广泛应用，理解除法的平均分意义。（二）算理探究：操作与抽象的桥梁1.操作表征：拿出4捆（每捆10根）和2根小棒，代表42。平均分成2份。学生通过操作会发现，合理的分法是：先将4捆小棒（代表4个十）平均分成2份，每份得到2捆（代表2个十）；再将其余的2根小棒（代表2个一）平均分成2份，每份得到1根（代表1个一）。最终每份得到2捆和1根，即21根。2.符号表征（口算）：将操作过程转化为口算：40÷2=20，2÷2=1，20+1=21。3.抽象表征（竖式）：将口算的分步过程，用竖式的形式规范、简洁地记录下来。这是本课的难点。教师会引导学生将竖式的每一步与分小棒的动作和口算的每一步严格对应起来。（三）竖式书写规范与每一步的含义以42÷2为例，竖式书写需严格遵循以下步骤：1.写除号：先写“”，表示除号。把被除数42写在除号里面，除数2写在除号外面。2.除十位：从被除数的最高位（十位）除起。用2去除十位上的4，商是2。这个2表示2个十，所以要写在被除数的十位（4的上面）。3.乘减十位：将商得的2与除数2相乘，积是4，表示从被除数中已经分掉了4个十，写在被除数十位4的下面。然后用4减4得0（这里的0为了简洁通常省略不写，但要理解十位上的数已经分完）。4.落个位：将被除数个位上的2落下来，表示除了整十部分，还有2个一需要继续分。5.除个位：用2去除落下的2，商是1。这个1表示1个一，所以要写在被除数的个位（2的上面）。6.乘减个位：将商得的1与除数2相乘，积是2，表示又从被除数中分掉了2个一，写在落下来的2下面。然后用2减2得0（这个0要写出来，表示全部除尽）。7.验算：检查计算结果是否正确，可以用商和除数相乘，看是否等于被除数。即21×2=42。四、教材例2深度剖析：首位不能整除（52÷2）【难点】【热点】（一）认知冲突的产生算式52÷2，如果学生沿用例1的口算方法（50÷2=25，但50÷2不能用口诀直接得出，且不是整十数），会遇到困难。这就产生了学习新方法的必要性，凸显了笔算的通用性和优越性。（二）算理突破：如何分配“剩余”1.操作表征：拿出5捆（每捆10根）和2根小棒，代表52。平均分成2份。第一步：先分5捆。每份分得2捆（即2个十），共分掉4捆，还剩下1捆。第二步：关键步骤来了——剩下的1捆（代表1个十）不够直接分成两份，该怎么办？必须将这1捆拆开（即10个一），与剩下的2根合在一起，变成12根。第三步：再将这12根平均分成2份，每份分得6根（即6个一）。最终每份得到2捆和6根，即26根。2.抽象表征（竖式）：①除十位：用2去除被除数十位上的5，商2（表示2个十），写在十位上。2乘2得4，写在5下面，5减4得1。这个1就是分完后剩下的“1个十”。【易错点：这里必须有余数1，且一定要写出来。】②合并落位：将个位上的2落下来，与十位上剩下的1个十合并，组成“12”。这个12表示12个一。③除个位：用2去除12，商6（表示6个一），写在个位上。6乘2得12，写在12下面，12减12得0。3.结论：52÷2=26。验算：26×2=52。（三）例1与例2的对比归纳通过对比，我们可以总结出笔算除法的核心通则：1.相同点：都是从被除数的最高位（十位）除起，除到哪一位，商就写在那一位的上面。2.不同点：例2在除完十位后出现了余数，这个余数必须与下一位的数合并，再继续除。这揭示了除法竖式中的一个核心原则：每一次除完后，余下的数必须比除数小，并且要和下一位落下来的数合并成新的数，再继续除。五、算法模型归纳与解题步骤【必考】【核心要点】（一）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法1.一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用除数去除被除数十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合并，再用除数去除，除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。（二）标准解题步骤口诀（“三步走”策略）第一步：【商、乘、减】从高位除起。用除数试除被除数的前一位（十位）。如果十位上的数比除数大或相等，就直接除。商几，就写在那一位的上面。然后用商乘以除数，将积写在被除数的下面，再相减，得到第一次的余数。第二步：【落】如果第一步有余数，将被除数个位上的数落下来，与这个余数组成一个新的数。第三步：【商、乘、减】用除数去除这个新的数。商几，就写在被除数个位的上面。再用商乘以除数，积写在下面，相减。如果结果为零，表示除尽；如果不为零，且比除数小，就是最后的余数。（三）验算方法1.无余数除法：商×除数=被除数2.有余数除法（本课虽未重点涉及，但需建立意识）：商×除数+余数=被除数六、常见题型与考点全析【应试指南】（一）基础计算类1.直接写出竖式并计算：如46÷2，63÷3，84÷4等。这是最基本的考查形式，要求书写规范，步骤完整。2.计算并验算：如75÷3，91÷7。重点考查验算的格式和乘除法的互逆关系。（二）判断改错类1.诊断“病题”：给出错误的竖式，让学生找出错误并改正。常见的错误包括：商的位置写错（如把十位上的商写在个位上）、忘记写余数、余数比除数大、漏掉某一步的计算等。【典例分析】例如：计算52÷2，错误写法为：商2写在个位，十位5下面写4，余1，个位2落下来，商6写在……（逻辑混乱）。正确应为十位商2，个位商6。（三）填空题1.考查商的位数：如“48÷4的商是（）位数”。（答案是两）2.考查算理：如“计算84÷4时，先用4去除（）位上的8，商（），表示（）个（）；余下的（）和个位上的（）合起来是（），再用4除，商（），表示（）个（）。”这类题目直指算理核心。3.考查余数的性质：如“在算式□÷5=12……□中，余数最大是（），这时被除数是（）。”虽然本课以整除为主，但必须渗透余数要比除数小的概念。（四）解决问题类1.平均分问题：将总数平均分成若干份，求每份是多少。如“把84千克大米平均分给4个家庭，每个家庭分得多少千克？”2.包含除问题：求一个数里面包含几个另一个数。如“96人，每4人一组，可以分成多少组？”3.两步计算的实际问题：如“一本书共92页，小明计划4天看完，他平均每天要看多少页？”（一步除法即可解决，但会与其他知识点融合考查）七、易错点与难点突破【警示】【辨析】（一）易错点1：商的定位错误【错误表现】计算42÷2时，把商21写成201之类的形式，或者在竖式中把商写在错误的位置上。【突破策略】反复强调“除到哪一位，商就写在那一位的上面”。结合小棒图，让学生理解十位上的4除以2，得到的是2个“十”，所以这个“2”必须写在十位上，代表20；个位上的2除以2，得到的是1个“一”，所以“1”写在个位上。（二）易错点2：忽视余数，或忘记将余数与下一位合并【错误表现】计算52÷2时，十位5除以2商2余1后，忘记这个1，直接用个位的2除以2，得出商21。【突破策略】利用小棒图重点演示“剩下的1捆必须拆开，和2根合并”的过程。在竖式上，要强调“落”这个动作，并引导学生思考：这个落下来的数为什么要和上面的余数紧紧挨着写？因为它们要组成一个新的数。（三）易错点3：数位不对齐，书写潦草【错误表现】竖式书写杂乱，导致计算时减错或加错。【突破策略】从一开始就严格要求书写规范。使用方格纸或活页纸进行练习，要求数字上下对齐，横线用尺子画。良好的书写习惯是计算准确率的保障。（四）难点突破：从高位除起的“反常识”【学生困惑】之前学加减法竖式都是从个位（低位）算起，为什么除法要从高位算起？【解释策略】用生活实例解释。比如分苹果，你有36个苹果（3盒+6个），要分给2个小朋友。你一定会先分整盒的（30个），每人一盒（10个），还剩一盒（10个）不够分，于是拆开盒子和零散的6个一起分。你绝不会先把零散的6个分了，再去拆盒子。所以，从高位除起，更符合我们日常生活中“先分大份，再分小份”的思维习惯和操作逻辑。八、思维拓展与跨学科融合【跨学科视野】【高阶思维】（一）渗透“数形结合”思想本课是小棒图（形）与竖式（数）完美结合的典范。通过“形”的直观，理解“数”的抽象；通过“数”的精确，固化“形”的过程。这是小学数学中最重要的数学思想之一。（二）除法与逆向思维验算过程（商×除数=被除数）是逆向思维（乘除互逆）的体现。在解决一些填空题时，如“（）÷3=23”，就需要利用这种逆向思维，通过乘法求出被除数。（三）规律探索（学有余力者）观察一组算式：42÷2=21，63÷3=21，84÷4=21。你发现了什么？（被除数和除数都扩大2倍，商不变？）初步渗透“商不变的规律”，但仅限